Supón que tienes dos trozos de cuerda. Un trozo mide \(36\) pulgadas y el otro mide \(24\) pulgadas. Quieres cortar ambos trozos en tiras de igual longitud que sean lo más largas posible. ¿Cómo debes cortar los trozos?
Puedes utilizar el concepto de máximo común divis or para resolver esto, porque estás dividiendo las longitudes de cuerda en trozos más pequeños (factores) de \(48\) y \(32\), y estás buscando la longitud más larga (mayor) posible que sea común a ambos trozos originales. Así, como el máximo común divisor de \(48\) y \(32\) es \(1\), debes cortar cada trozo de \(12\) pulgadas de largo.
Aquí estás utilizando el concepto del máximo común divisor para dividir algo en secciones más pequeñas. Hay muchas otras aplicaciones del máximo común divisor y este artículo te explicará qué es el máximo común divisor y dos métodos diferentes para hallarlo.
Significado del máximo común divisor
¿Qué es el máximo común divisor?
El máximo común divisor de un grupo de números enteros, a menudo abreviado como MCD, se define como el mayor número natural posible que divide a los números dados con cero como resto.
Para cubrir el caso en que ambos números enteros sean cero, se define \text{GCD}(0, 0)\ como \(0\).
El máximo común divisor (MCD) también se denomina máximo común divisor (MCD) o máximo común divisor (MCD).
Veamos un ejemplo rápido.
¿Qué es \( \text{GCD}(4, 12)\)?
Respuesta:
El GCD de \(4\) y \(12\) es \(4\), ya que \(4\) es el mayor número natural que divide a \(4\) y \(12\) a la vez.
Otro ejemplo rápido.
¿Qué es \(\text{GCD}(-36, 16)\)?
Responde:
Sabes que los divisores de \(-36\) son \(\pm 36, \pm 18, \pm 9, \pm 3, \pm 2, \pm 1\). Los divisores de \(16\) son \(16, 8, 4, 2, 1\). Recuerda que cuando eliges el MCD siempre tomas el mayor número natural que divide a ambos, por lo que el MCD siempre es un número positivo. Observando las listas de divisores, puedes ver entonces que \text{GCD}(-36, 16) = 2\).
¿Qué tipo de cosas son ciertas sobre el MCD?
Reglas del máximo común divisor
Para los enteros \(a, b\) y \(c\), el MCD tiene las siguientes propiedades:
Propiedad de identidad: \(\text{GCD} (a,0)=|a|\\).
Como \(\text{GCD} (2, 3) = 1 \) ahora puedes decir que
\[\text{GCD} (24, 36) = 12.\]
Fíjate en que, antes de hallar el DGC, necesitas saber qué divisores (o factores) tienen los números, sobre todo qué divisores comunes tienen. Recuerda que un factor de un número \(a\) es un número \(b\) que se divide en \(a\) sin resto.
Hay dos formas principales de hallar el Máximo Común Divisor (MCD):
hallando todos los divisores comunes (también llamado método del factor común); y
utilizando el algoritmo euclídeo.
El método del factor común
En este método utilizas la inspección para escribir todos los divisores o factores de los números dados y eliges el mayor. Éste será tu máximo común divisor. Esto es más fácil de ver con un ejemplo.
Supongamos que queremos hallar el DGC de \(12, 46\) y \(78\).
Responde:
Por inspección, puedes enumerar todos los factores de los tres números:
Los factores de \(12\) son \(1, 2, 3, 4, 6, 12\).
Los factores de \(46\) son \(1, 2, 23, 46\).
Los factores de \(78\) son \(1, 2, 3, 6, 13, 26, 39, 78\).
Como el mayor número que aparece en las tres listas es \(2\), escribirías \(\text{GCD} (12,46,78)=2\).
Veamos otro ejemplo.
Halla el máximo común divisor de \(15\) y \(36\).
Responde:
Puedes empezar escribiendo todos los divisores de \(15\) y \(36\):
Los divisores de \(15\) son \(1, 3, 5, 15.\)
Los divisores de \(36\) son \(1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18,36.\)
Ahora puedes ver que hay dos divisores comunes a \(15\) y \(36\): \(1\) y \(3\).
Elige el que sea mayor, así que \(3\) es el máximo común divisor de \(15\) y \(36\).
Ahora bien, para hallar el MCD de números mayores, el método de hallar los divisores comunes se convertirá en un proceso muy largo y tedioso. Por eso se utiliza el Algoritmo del Máximo Común Divisor, también conocido como Algoritmo Euclídeo.
Algoritmo del Máximo Común Divisor
El algoritmo euclídeo es un proceso computacional que calcula el MCD de dos números enteros positivos. Utiliza residuos para hallar el máximo común divisor entre los dos números.
Veamos primero el proceso de la división larga. Tomemos dos números enteros positivos, \(a\) y \(b\) tales que \(a>b\). La división euclídeaes un proceso para escribir \(a\) y \(b\) de la forma
\[a=qb+r\]
donde \(q\) es un entero positivo llamado cociente, y \(0\leq r<b\) se llama resto.
Veamos un ejemplo rápido de división larga.
Tomando los enteros \(44\) y \(17\) y realizando la división larga se obtiene
Si quieres, puedes utilizar el Algoritmo Euclídeo para hallar el MCD de dos de los números y luego volver a utilizarlo para hallar el MCD de los tres.
Halla el máximo común divisor de \(32\), \(254\) y \(372\).
Respuesta:
Primero utilizarías el Algoritmo Euclídeo para hallar \(\text{GCD} (32,254) = 2\). Luego puedes volver a utilizar el Algoritmo Euclídeo para ver que \(\text{GCD} (2,372) =2\).
¿Te preguntarás qué pasa con el MCD de los polinomios?
Máximo común divisor de polinomios
Hallar el MCD de dos polinomios es muy parecido a hallar el MCD de dos números. Requiere la factorización de polinomios y, a veces, la división larga de polinomios. Para más información sobre estos temas, consulta Operaciones con polinomios y Factorización de polinomios.
Máximo común divisor - Puntos clave
El máximo común divisor de un conjunto de números es el mayor número natural por el que se pueden dividir todos los números del conjunto.
El MCD puede hallarse encontrando todos los factores del conjunto de números e identificando el mayor factor común a todos los números de ese conjunto. Alternativamente, el DGC puede determinarse utilizando el Algoritmo Euclídeo. Esto significa, para dos números enteros \(a\) y \(b\), escribir \(a\) en la forma \(a=bq+r\) y repetir este proceso hasta \(r=0\). Ambos métodos te dan la misma respuesta.
El GCD satisface las siguientes propiedades:
Propiedad de identidad: \(\text{GCD} (a,0)=|a|\\).
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Gabriel Freitas es un ingeniero en inteligencia artificial con una sólida experiencia en desarrollo de software, algoritmos de aprendizaje automático e IA generativa, incluidas aplicaciones de grandes modelos de lenguaje (LLM). Graduado en Ingeniería Eléctrica de la Universidad de São Paulo, actualmente cursa una maestría en Ingeniería Informática en la Universidad de Campinas, especializándose en temas de aprendizaje automático. Gabriel tiene una sólida formación en ingeniería de software y ha trabajado en proyectos que involucran visión por computadora, IA integrada y aplicaciones LLM.
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