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Supón que tienes dos trozos de cuerda. Un trozo mide \(36\) pulgadas y el otro mide \(24\) pulgadas. Quieres cortar ambos trozos en tiras de igual longitud que sean lo más largas posible. ¿Cómo debes cortar los trozos?
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Equipo de profesores de Máximo Común Divisor
Puedes utilizar el concepto de máximo común divis or para resolver esto, porque estás dividiendo las longitudes de cuerda en trozos más pequeños (factores) de \(48\) y \(32\), y estás buscando la longitud más larga (mayor) posible que sea común a ambos trozos originales. Así, como el máximo común divisor de \(48\) y \(32\) es \(1\), debes cortar cada trozo de \(12\) pulgadas de largo.
Aquí estás utilizando el concepto del máximo común divisor para dividir algo en secciones más pequeñas. Hay muchas otras aplicaciones del máximo común divisor y este artículo te explicará qué es el máximo común divisor y dos métodos diferentes para hallarlo.
¿Qué es el máximo común divisor?
El máximo común divisor de un grupo de números enteros, a menudo abreviado como MCD, se define como el mayor número natural posible que divide a los números dados con cero como resto.
Para cubrir el caso en que ambos números enteros sean cero, se define \text{GCD}(0, 0)\ como \(0\).
El máximo común divisor tiene muchas aplicaciones prácticas, desde la simplificación de fracciones y la teoría de números hasta los algoritmos de cifrado.
El máximo común divisor (MCD) también se denomina máximo común divisor (MCD) o máximo común divisor (MCD).
Veamos un ejemplo rápido.
¿Qué es \( \text{GCD}(4, 12)\)?
Respuesta:
El GCD de \(4\) y \(12\) es \(4\), ya que \(4\) es el mayor número natural que divide a \(4\) y \(12\) a la vez.
Otro ejemplo rápido.
¿Qué es \(\text{GCD}(-36, 16)\)?
Responde:
Sabes que los divisores de \(-36\) son \(\pm 36, \pm 18, \pm 9, \pm 3, \pm 2, \pm 1\). Los divisores de \(16\) son \(16, 8, 4, 2, 1\). Recuerda que cuando eliges el MCD siempre tomas el mayor número natural que divide a ambos, por lo que el MCD siempre es un número positivo. Observando las listas de divisores, puedes ver entonces que \text{GCD}(-36, 16) = 2\).
¿Qué tipo de cosas son ciertas sobre el MCD?
Para los enteros \(a, b\) y \(c\), el MCD tiene las siguientes propiedades:
Propiedad de identidad: \(\text{GCD} (a,0)=|a|\\).
Propiedad conmutativa: \(\text{GCD} (a,b)=\text{GCD} (b,a)\).
La propiedad asociativa: \(\text{GCD} (a, \text{GCD} (b, c)) = \text{GCD} (\text{GCD} (a, b),c)\).
La propiedad distributiva: \(\text{GCD} (ab, ac) =a \text{GCD} (b,c)\).
Veamos un ejemplo que aplique las propiedades.
Encuentra lo siguiente:
(a) \(\text{GCD} (-4,0) \)
(b) \(\texto{GCD} (10, 24, 35) \)
(c) \(\texto{GCD} ( 24, 36) \)
Responde:
(a) Utilizando la propiedad de identidad y la propiedad conmutativa,
\[\ncomienza{alinea} \text{GCD} (-4,0)&=\text{GCD} (0,-4)\\\} &=|-4| \\\\=4 .\end{align}\]
(b) Utilicemos la propiedad de asociación, que nos dice que
\[ \iniciar{alinear} \text{GCD} (10, 24, 35) &= \text{GCD} (10, \text{GCD} (24, 35)) &= \text{GCD} (\text{GCD} (10, 24),35).\end{align} \]
Empezando por la que parece más fácil, \( \text{GCD} (24, 35) = 1\). Así que
\[ \nterminar{alinear} \text{GCD} (10, 24, 35) &= \text{GCD} (10, \text{GCD} (24, 35)) &= \text{GCD} (1,24).&= 24. \fin \]
(c) Éste es un buen lugar para utilizar la Propiedad Distributiva, ya que tanto \(24\) como \(36\) son divisibles por \(2\). Es decir
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (24, 36) &= \text{GCD} (2\cdot 12, 2\cdot 18) &= 2\cdot \text{GCD} (12, 18). \fin \]
Sabes que tanto \(12\) como \(18\) son divisibles por \(2\), así que puedes volver a usar la Propiedad Distributiva para obtener
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (24, 36) &= 2\cdot \text{GCD} (12, 18) &= 2\cdot \text{GCD} (2\cdot 6, 2\cdot 9)&= 2\cdot 2\cdot \text{GCD} (6, 9) &= 4\cdot \text{GCD} (6, 9) .\end{align} \]
Pero ahora \(3\) divide tanto a \(6\) como a \(9\), así que puedes usar la Propiedad Distributiva una vez más para obtener
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (24, 36) &= 4 \cdot \text{GCD} (6, 9) \cdot \text{GCD} (3\cdot 2, 3\cdot 3)&= 4\cdot 3 \cdot \text{GCD} (2, 3) \cdot \text{GCD} (2, 3) &= 12 \cdot \text{GCD} (2, 3) .\end{align} \]
Como \(\text{GCD} (2, 3) = 1 \) ahora puedes decir que
\[\text{GCD} (24, 36) = 12.\]
Fíjate en que, antes de hallar el DGC, necesitas saber qué divisores (o factores) tienen los números, sobre todo qué divisores comunes tienen. Recuerda que un factor de un número \(a\) es un número \(b\) que se divide en \(a\) sin resto.
Hay dos formas principales de hallar el Máximo Común Divisor (MCD):
hallando todos los divisores comunes (también llamado método del factor común); y
utilizando el algoritmo euclídeo.
En este método utilizas la inspección para escribir todos los divisores o factores de los números dados y eliges el mayor. Éste será tu máximo común divisor. Esto es más fácil de ver con un ejemplo.
Supongamos que queremos hallar el DGC de \(12, 46\) y \(78\).
Responde:
Por inspección, puedes enumerar todos los factores de los tres números:
Como el mayor número que aparece en las tres listas es \(2\), escribirías \(\text{GCD} (12,46,78)=2\).
Veamos otro ejemplo.
Halla el máximo común divisor de \(15\) y \(36\).
Responde:
Puedes empezar escribiendo todos los divisores de \(15\) y \(36\):
Ahora puedes ver que hay dos divisores comunes a \(15\) y \(36\): \(1\) y \(3\).
Elige el que sea mayor, así que \(3\) es el máximo común divisor de \(15\) y \(36\).
Ahora bien, para hallar el MCD de números mayores, el método de hallar los divisores comunes se convertirá en un proceso muy largo y tedioso. Por eso se utiliza el Algoritmo del Máximo Común Divisor, también conocido como Algoritmo Euclídeo.
El algoritmo euclídeo es un proceso computacional que calcula el MCD de dos números enteros positivos. Utiliza residuos para hallar el máximo común divisor entre los dos números.
Veamos primero el proceso de la división larga. Tomemos dos números enteros positivos, \(a\) y \(b\) tales que \(a>b\). La división euclídeaes un proceso para escribir \(a\) y \(b\) de la forma
\[a=qb+r\]
donde \(q\) es un entero positivo llamado cociente, y \(0\leq r<b\) se llama resto.
Veamos un ejemplo rápido de división larga.
Tomando los enteros \(44\) y \(17\) y realizando la división larga se obtiene
$$\begin{array}{r}2\phantom{)} \$ 17{overline{\smash{\big)}\$,44\phantom{)}}\$ \underline{-~\phantom(}0\phantom{-b)}\$ 44\phantom{)}\$ \underline{-~\phantom{()}34}\$ 10\phantom{)}\$end{array}$$.
Por tanto, 44 dividido por 17 da el cociente 2 con resto 10.
Así pues, si \(a=44\) y \(b=17\), al sustituir en la fórmula se obtiene
\[\begin{align} a&=qb+r \\a44&=2\cdot17+10. \end{align}\a].
Toma dos enteros positivos, \(a\) y \(b\) tales que \(a>b\). Para calcular el \(\texto{GCD} (a,b)\), los pasos del Algoritmo Euclídeo son:
Paso 1: Divide \(a\) entre \(b\) de modo que \(a=bq_1+r_1\) donde \(r_1\) es el resto cuando \(b\) se divide entre \(a\). Entonces
\[\text{GCD} (a,b)=\text{GCD} (b,r_1) .\]
Paso 2: Como \(b>r_1\), divide \(b\) entre \(r_1\) de modo que \(b=r_1q_2+r_2\). Entonces
\text{GCD} (b,r_1)=\text{GCD} (r_1,r_2).
Paso 3: Como \(r_1>r_2\), sabes que \(r_1=r_2q_3+r_3\). Es decir
\[\text{GCD} (r_1, r_2)=\text{GCD} (r_2, r_3).\]
Paso 4: Repite esto para los restos hasta que \(r_k=0\).
Paso 5: Entonces tienes
\[\inicio{alineación} \text{GCD} (a,b)&=\text{GCD} (b,r_1) \text{GCD} (r_1, r_2) \text{GCD} (r_1, r_2) \text{GCD} (r_{k-1}, r_k) \text{GCD} (r_{k-1},0) \text{GCD} (r_{k-1},0) \text{GCD} (r_{k-1}) . \end{align}\}]
Por tanto, el GCD es el último resto distinto de cero de la división euclídea. Por supuesto, la mejor forma de entenderlo es con algunos ejemplos.
Empecemos con uno en el que sabes que la respuesta debe ser \(1\), para que veas que el Algoritmo Euclídeo funciona.
Utiliza el Algoritmo Euclídeo para hallar el MCD de \(44\) y \(17\).
Contesta:
Paso 1: Como \(44>17\), divide \(44\) entre \(17\) de modo que \(44=17\cdot 2+10\) donde \(10\) es el resto al dividir \(44\) entre \(17\). Entonces
\[\text{GCD} (44,17)=\text{GCD} (17,10) .\\]
Paso 2: Ahora divide \(17\) entre \(10\), de modo que \(17=1 \cdot 10+7\). Así que
\[\text{GCD} (17,10)=\text{GCD} (10,7).\]
Paso 3: Ahora \(10=1\cdot 7+3\), así que
\[\text{GCD} (10,7)=\text{GCD} (7,3) .\\]
Paso 4: Aquí \(7=2\cdot 3+1\), así que
\[\text{GCD} (7, 3)=\text{GCD} (3, 1).\]
Paso 5: En este paso, \( 3=1\cdot 3\) sin resto. Por tanto, \(\text{GCD} (44,17)=1\).
Veamos otro ejemplo.
Halla el DGC de \(12\) y \(30\) utilizando el Algoritmo Euclídeo.
Contesta:
Como \(30 > 12\), \(a=30\) y \(b=12\) en el Algoritmo Euclídeo.
Paso 1: Ahora tienes que escribir \(a\) en la forma \(a=bq+r\), lo que te da \(30=(12\cdot 2)+6\).
Sabes que \(\text{GCD} (a, b) =\text{GCD} (b, r)\), por lo que
\[\text{GCD} (30, 12) = \text{GCD} (12, 6).\]
Paso 2: Ahora, deja que \(b=12\) y \(r_1=6\) y vuelve a realizar el mismo proceso. Es decir, \(12=(6\cdot 2)+0\).
Ahora \(r_1=6\) y \(r_2=0\), entonces
\[\text{GCD} (r_1,r_2)=\text{GCD} (6,0)=6 .\]
Paso 4: Espera, el algoritmo termina en cuanto obtienes un resto de \(0\), ¡que ya tienes! Eso significa que puedes saltarte el Paso 4.
Paso 5: Ahora ya sabes que
\[ \inicio{alineación} \text{GCD} (6,0) &=\text{GCD} (12,6) \\text{GCD} (30,12) \\\=6 . \fin].
Por tanto, el MCD de \(30\) y \(12\) es \(6\).
¡Ya has visto ejemplos en los que has hallado el DGC de tres números! Recuerda que utilizabas
la Propiedad Asociativa:
\[\text{GCD} (a, \text{GCD} (b, c)) = \text{GCD} (\text{GCD} (a, b),c) .\]
Si quieres, puedes utilizar el Algoritmo Euclídeo para hallar el MCD de dos de los números y luego volver a utilizarlo para hallar el MCD de los tres.
Halla el máximo común divisor de \(32\), \(254\) y \(372\).
Respuesta:
Primero utilizarías el Algoritmo Euclídeo para hallar \(\text{GCD} (32,254) = 2\). Luego puedes volver a utilizar el Algoritmo Euclídeo para ver que \(\text{GCD} (2,372) =2\).
Entonces, por la Propiedad Asociativa
\[ \año{comienzo{alineación} \text{GCD} (32, 254, 372) &=\text{GCD} (\text{GCD} (32,254), 372) \\ &=texto{GCD} (2,372)&=2 . \fin].
¿Te preguntarás qué pasa con el MCD de los polinomios?
Hallar el MCD de dos polinomios es muy parecido a hallar el MCD de dos números. Requiere la factorización de polinomios y, a veces, la división larga de polinomios. Para más información sobre estos temas, consulta Operaciones con polinomios y Factorización de polinomios.
Propiedad de identidad: \(\text{GCD} (a,0)=|a|\\).
Propiedad Conmutativa: \(\text{GCD} (a,b)=\text{GCD} (b,a)\).
La propiedad asociativa: \(\text{GCD} (a, \text{GCD} (b, c)) = \text{GCD} (\text{GCD} (a, b),c)\).
La propiedad distributiva: \(\text{GCD} (ab, ac) =a \text{GCD} (b,c)\).
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