Métodos Iterativos

Ejemplos prácticos de cálculo iterativo

Veamos un ejemplo más difícil.

¿Cómo vemos los métodos iterativos en un gráfico?

Los métodos iterativos consisten en acercarse cada vez más a la raíz de una ecuación. Los utilizamos cuando no podemos resolver directamente las ecuaciones con ningún otro método.

Cuanto mayor sea el valor de $n$ en $x_n$más cerca estaremos de la raíz de esta ecuación, ya que realizamos este proceso cada vez más veces.

Podemos ver esto en una gráfica de dos formas: un diagrama de escalera o un diagrama de telaraña.

Diagrama en escalera

Un diagrama en escalera funciona para una función que converge directamente a una raíz, lo que significa que a partir de $x_0$estamos aumentando o disminuyendo directamente hacia nuestra raíz con cada valor iterativo.

Veamos nuestro ejemplo inicial $f\left(x\right)=x^2-3x-5$.

Nos centraremos únicamente en la raíz positiva (la de la derecha).

Una gráfica de $f\left(x\right)=x^2-3x-5$

Sabemos por reordenación que $x=\sqrt{3x+5}$cuando$f\left(x\right)=0$ . Por tanto, si trazamos las rectas $y=x$ y $y=\sqrt{3x+5}$la intersección es la raíz de esta ecuación.

La intersección entre las rectas $y=x$ y$y=\sqrt{3x+5}$

Tracemos ahora nuestros puntos para $x_0,x_1,x_2$ y $x_3$.

Valores $x_0,x_1,x_2,x_3$ marcados.

Texto alternativo: Valores marcados en el gráfico.

Esta es una versión más ampliada y podemos ver que estos puntos convergen lentamente hacia la intersección. Si añadimos algunas líneas, podemos ver nuestra escalera.

Un diagrama en escalera uniendo todos los puntos mencionados.

Si continuamos y utilizamos más valores nos acercaremos cada vez más a esa intersección. En realidad, nunca llegaremos a ella, pero podemos conseguirla con una gran precisión.

Diagramas de telaraña

Un diagrama de telaraña se produce cuando convergemos en una raíz en más de una dirección, lo que significa que nuestros valores se vuelven tanto demasiado altos como demasiado bajos alrededor de la raíz.

Nuestro segundo ejemplo $f\left(x\right)=x{e}^{-x}-x+3$ lo demuestra. Nos centraremos en la raíz negativa, la de la izquierda.

Pie de foto

Esquema de la gráfica $f\left(x\right)=x{e}^{-x}-x+3$

Una vez más, reordenando sabemos que $x=-\ln (1-\frac{3}{x})$cuando $f\left(x\right)=0$. Por tanto, podemos trazar las rectas $y=x$ y $y=-\ln (1-\frac{3}{x})$y su intersección es la solución de la ecuación $f\left(x\right)=0$.

Intersección entre las líneas $y=x$ y $y=-\ln (1-\frac{3}{x})$,

Ahora vamos a trazar nuestros puntos para $x_0,x_1,x_2$ y $x_3$.

Puntos $x_0,x_1,x_2,x_3$ marcados.

Podemos ver claramente que estos puntos no están en orden. Por lo tanto, no tenemos una escalera, tenemos una telaraña y estamos convergiendo en el valor desde distintas direcciones. Esto es lo que parece

Un diagrama de telaraña uniendo todos los puntos marcados.

Podemos ver que es como una telaraña, y que converge hacia un valor a partir de valores mayores y menores que la intersección.