Métodos Iterativos: Jacobi, Gauss-Seidel

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Utilización del método iterativo

Se puede utilizar un método iterativo para encontrar un valor de $x$ cuando $f (x) = 0$ . Para realizar esta iteración, primero tenemos que reordenar la función.

La base de esto es que necesitamos reordenar $f (x) = 0$ en $x = g (x)$ . Por tanto, tenemos que hacer $x$ el sujeto de $f (x) = 0$ . Sin embargo, no importa si tenemos $x$ términos restantes en el otro lado.

Esto se debe a que podemos realizar $x_{n + 1} = g (x_{n})$ es decir, tomamos nuestro valor de $x$ y lo iteramos.

Veamos a continuación dos ejemplos trabajados clave.

Ejemplos prácticos de cálculo iterativo

1. $x^{2} - 3 x - 5 = 0$

a) Demuestra que $x = \sqrt{3 x + 5}$ .

b) Utilizando la fórmula iterativa

x_{n + 1} = \sqrt{3 x_{n} + 5}

y dejando que

x_{0} = 4

encuentra los valores de

x_{1}, x_{2}, x_{3}

. SOLUCIÓN: 1a)

x^{2} - 3 x - 5 = 0 x^{2} = 3 x + 5 x = \sqrt{3 x + 5}

1b)

x_{0} = 4 \Rightarrow x_{1} = \sqrt{3 (4) + 5} x_{1} = \sqrt{17} = 4.123105626 x_{2} = \sqrt{3 (4.123105626) + 5} = 4.167651242 x_{3} = \sqrt{3 (4.167651242) + 5} = 4.183653156

Al iterar utilizamos todos los dígitos que nos ha dado nuestra calculadora para encontrar nuestro siguiente valor. Puedes hacerlo fácilmente utilizando el botón ANS de tu calculadora

Veamos un ejemplo más difícil.

2. $f (x) = x e^{- x} - x + 3$

a) Demuestra que $f (x) = 0$ puede reordenarse para formar $x = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ .

b) Utilizando la fórmula iterativa $x_{n + 1} = - \ln (1 - \frac{3}{x_{n}})$ y dejando que $x_{0} = - 1 .$

SOLUCIÓN:

2a)

x e^{- x} - x + 3 = 0 x e^{- x} = x - 3 e^{- x} = 1 - \frac{3}{x} - x = \ln (1 - \frac{3}{x}) x = - \ln (1 - \frac{3}{x})

2 B)

x_{0} = - 1 \Rightarrow x_{1} = - \ln (1 - \frac{3}{- 1}) x_{1} = - \ln (4) = - 1.386294361 x_{2} = - \ln (1 - \frac{3}{- 1.386294361}) = - \ln (3.164042561) = - 1.151850501 x_{3} = - \ln (1 - \frac{3}{- 1.151850501}) = - \ln (3.604504661) = - 1.282184358

¿Cómo vemos los métodos iterativos en un gráfico?

Los métodos iterativos consisten en acercarse cada vez más a la raíz de una ecuación. Los utilizamos cuando no podemos resolver directamente las ecuaciones con ningún otro método.

Cuanto mayor sea el valor de $n$ en $x_{n}$ más cerca estaremos de la raíz de esta ecuación, ya que realizamos este proceso cada vez más veces.

Podemos ver esto en una gráfica de dos formas: un diagrama de escalera o un diagrama de telaraña.

Diagrama en escalera

Un diagrama en escalera funciona para una función que converge directamente a una raíz, lo que significa que a partir de $x_{0}$ estamos aumentando o disminuyendo directamente hacia nuestra raíz con cada valor iterativo.

Veamos nuestro ejemplo inicial $f (x) = x^{2} - 3 x - 5$ .

Nos centraremos únicamente en la raíz positiva (la de la derecha).

Métodos iterativos Gráfico utilizado para el método iterativo StudySmarter

Una gráfica de $f (x) = x^{2} - 3 x - 5$

Sabemos por reordenación que $x = \sqrt{3 x + 5}$ cuando $f (x) = 0$ . Por tanto, si trazamos las rectas $y = x$ y $y = \sqrt{3 x + 5}$ la intersección es la raíz de esta ecuación.

Métodos iterativos Resolución de la iteración de intersección StudySmarter

La intersección entre las rectas $y = x$ y $y = \sqrt{3 x + 5}$

Tracemos ahora nuestros puntos para $x_{0}, x_{1}, x_{2}$ y $x_{3}$ .

Valores $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ marcados.

Texto alternativo: Valores marcados en el gráfico.

Esta es una versión más ampliada y podemos ver que estos puntos convergen lentamente hacia la intersección. Si añadimos algunas líneas, podemos ver nuestra escalera.

Métodos iterativos Diagrama de escalera de iteración StudySmarter

Un diagrama en escalera uniendo todos los puntos mencionados.

Si continuamos y utilizamos más valores nos acercaremos cada vez más a esa intersección. En realidad, nunca llegaremos a ella, pero podemos conseguirla con una gran precisión.

Diagramas de telaraña

Un diagrama de telaraña se produce cuando convergemos en una raíz en más de una dirección, lo que significa que nuestros valores se vuelven tanto demasiado altos como demasiado bajos alrededor de la raíz.

Nuestro segundo ejemplo $f (x) = x e^{- x} - x + 3$ lo demuestra. Nos centraremos en la raíz negativa, la de la izquierda.

Métodos terativos Esquema gráfico para la iteración StudySmarter Pie de foto

Esquema de la gráfica $f (x) = x e^{- x} - x + 3$

Una vez más, reordenando sabemos que $x = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ cuando $f (x) = 0$ . Por tanto, podemos trazar las rectas $y = x$ y $y = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ y su intersección es la solución de la ecuación $f (x) = 0$ .

Métodos iterativos Intersección entre líneas antes de la iteración. EstudiaMejor

Intersección entre las líneas $y = x$ y $y = - \ln (1 - \frac{3}{x})$ ,

Ahora vamos a trazar nuestros puntos para $x_{0}, x_{1}, x_{2}$ y $x_{3}$ .

Métodos iterativos Valores marcados en el gráfico StudySmarter

Puntos $x_{0}, x_{1}, x_{2}, x_{3}$ marcados.

Podemos ver claramente que estos puntos no están en orden. Por lo tanto, no tenemos una escalera, tenemos una telaraña y estamos convergiendo en el valor desde distintas direcciones. Esto es lo que parece

Métodos Iterativos Diagrama de Cobweb Iteración EstudioSmarter

Un diagrama de telaraña uniendo todos los puntos marcados.

Podemos ver que es como una telaraña, y que converge hacia un valor a partir de valores mayores y menores que la intersección.

Métodos iterativos - Puntos clave

Los métodos iterativos pueden utilizarse para encontrar soluciones a Ecuaciones que no podemos resolver de otra forma.
Nos proporcionan fórmulas para ayudarnos a converger en determinadas raíces de ecuaciones.
Podemos utilizar gráficos que nos ayuden a visualizar cómo las raíces son cada vez más exactas (cuanto más cerca de la intersección, más exacta es nuestra respuesta).
Un diagrama en escalera es aquel en el que nos movemos en una dirección hacia la intersección.
Un diagrama de telaraña es aquel en el que nos movemos alrededor de la intersección en más de una dirección.

Tarjetas en Métodos Iterativos 5

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¿Qué es la iteración?

La iteración es el proceso en el que partimos de un valor aproximado y, mediante una fórmula iterativa, nos acercamos a un valor mucho más exacto (más próximo al valor real).

¿Por qué utilizamos la iteración?

Principalmente utilizamos la iteración cuando no tenemos métodos claros para resolver las raíces de una ecuación.

¿Qué es un diagrama de escalera?

Cuando convergemos a un valor en la misma dirección (creciente o decreciente), entonces podemos dibujar un diagrama en escalera entre todos los valores que obtengamos.

¿Qué es un diagrama de telaraña?

Un diagrama de telaraña es cuando convergemos en un valor por encima o por debajo del valor real. Así que obtenemos un valor un poco demasiado alto, luego un poco demasiado bajo y, finalmente, nuestro margen de error es cada vez menor. Nos acercamos a nuestra intersección.

¿Por qué no podemos resolver los problemas iterativos gráficamente?

Ya que a veces podemos obtener valores irracionales que no podemos leer en un gráfico con bastante exactitud.

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Preguntas frecuentes sobre Métodos Iterativos

¿Qué son los métodos iterativos en matemáticas?

Los métodos iterativos son procedimientos repetitivos utilizados para aproximar soluciones de ecuaciones o sistemas de ecuaciones.

¿Cuál es la diferencia entre métodos iterativos y directos?

Los métodos iterativos refinan progresivamente una solución aproximada, mientras que los métodos directos buscan una solución exacta en un número finito de pasos.

¿Cuáles son ejemplos de métodos iterativos?

Ejemplos comunes son el método de Jacobi, método de Gauss-Seidel y método de relajación.

¿Cuándo se utilizan los métodos iterativos?

Se utilizan especialmente para grandes sistemas lineales donde los métodos directos son impracticables debido a su complejidad computacional.

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