mínimo común denominador: 'Matemáticas', 'Álgebra'

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Este artículo explorará la definición del mínimo común denominador, y ejemplos de la aplicación de este concepto.

¿Qué es el mínimo común denominador?

Dada una lista de fracciones, el mínimo común denominador (MCD) es el múltiplo más pequeño que es común a los denominadores de las fracciones. A menudo se denomina Mínimo Común Múltiplo (MCD) de los denominadores.

Esto parece complicado, pero en realidad no lo es. Veamos un ejemplo:

El mínimo común denominador de $ \frac{2}{3}$ y $ \frac{3}{4}$ es $12$, ya que $12$ es múltiplo de ambos denominadores $(3$ y $4),$ y es el múltiplo más pequeño de estos números que puedes encontrar.

Cuando se da una lista de fracciones y se quiere determinar el LCD, buscamos el menor número lo suficientemente grande como para dividirlo por cada denominador de la lista sin que quede resto.

¿Qué es un denominador común?

Un denominador común es un número que puede dividirse por otros denominadores sin que quede resto. Este número es múltiplo de otros denominadores.

Considera las fracciones $\frac{3}{4}$ y $\frac{5}{6}$ : su denominador común debe ser divisible por ambos denominadores (4 y 6) sin resto. Por tanto, para hallar su denominador común, tienes que considerar los múltiplos de cada denominador.

Los múltiplos de 4 son: 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, ...

Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, ...

Entre los múltiplos de ambos denominadores enumerados anteriormente, los múltiplos comunes son 12, 24, 36... Esto es cierto porque cuando estos números se dividen por los denominadores 4 y 6, no tienen resto.

Sin embargo, los múltiplos de un número son infinitos. Imagina cuántos números se escribirían como múltiplos de 4 y 6, probablemente nos quedaríamos sin papel. Por eso, los matemáticos idearon el mínimo común denominador o mínimo común múltiplo, que utiliza sólo el número más pequeño que es múltiplo entre un conjunto de números.

Por tanto, el MCD entre 4 y 6 es 12.

¿Cómo hallar el mínimo común denominador?

Hay cuatro métodos que se pueden utilizar para hallar el LCD:

Reglas LCD
Listado de múltiplos
Producto de factores primos
Producto combinado de factores primos.

Reglas sencillas para hallar el LCD

Una forma de resolver LCM o LCD es aplicando las reglas de LCD. Ten en cuenta que estas reglas se aplican mejor sólo entre un conjunto de dos números. También se pueden utilizar en una lista de números superior a dos, pero pueden resultar más complejas si no se aplican bien.

Las siguientes son las reglas LCD:

Denominadores iguales

Cuando dos fracciones tienen el mismo denominador, el LCD es ese denominador.

Un denominador los domina a todos

Si un número de un conjunto de denominadores es múltiplo de todos los demás números de ese conjunto, el MCL es ese múltiplo.

Denominadores primos

El LCM de un conjunto de denominadores que son números primos es el producto de esos números primos. Debes asegurarte de que esos denominadores son números primos.

Sin factores comunes

La CDL de una lista de denominadores que no tienen ningún factor común es el producto de esos denominadores. Debes asegurarte de que ningún número puede dividir ningún par sin que quede un resto.

El truco del factor común

Si existe un factor común entre un conjunto de dos números, el LCD se obtiene mediante los dos pasos siguientes:

Divide uno de los dos números por su mayor factor común para obtener el primer resultado.
Multiplica el primer resultado por el otro número. Esta respuesta se convierte en el LCD.

Ejemplos de reglas del mínimo común denominador

Denominadores iguales - ejemplo

Por ejemplo, el LCD entre fracciones $\frac{3}{2}$ y $\frac{1}{2}$ es 2 porque el denominador de las fracciones es el mismo.

Un denominador los rige a todos - ejemplo

El LCD entre $\frac{3}{4}$ , $\frac{1}{2}$ y $\frac{3}{20}$ es 20. Esto se debe a que, en la lista de denominadores de 2, 4 y 20, tenemos que 2 y 4 son factores de 20. Así pues, 20 es múltiplo de 2 y 4, por lo que 20 es el LCD.

Ejemplo de denominadores primos

El LCD entre $\frac{2}{3}$ y $\frac{1}{5}$ es 15. Los denominadores 3 y 5 son números primos. Por tanto

$3 \times 5 = 15$

15 es aquí el LCD.

Sin factores comunes - ejemplo

La pantalla LCD entre $\frac{7}{9}$ y $\frac{3}{10}$ es 90. Los denominadores 9 y 10 no son números primos. Y lo que es más importante, no hay factor común entre estos dos números. Así que el LCD es

$9 \times 10 = 90$

El complicado con un factor común - ejemplo

El LCD entre $\frac{3}{8}$ y $\frac{7}{20}$ es 40. El mayor factor común entre 8 y 20 es 4. Divide 8 por 4 y tu primera respuesta es 2. Luego multiplica tu primer resultado, que es dos, por el otro número 20,

$2 \times 20 = 40$

Así que el LCD, en este caso, es 40.

En algunos casos, es posible que no sepas qué regla LCD debes aplicar. En estos casos, resultan útiles los siguientes métodos para hallar el mínimo común denominador de una lista de fracciones.

Método de la lista de múltiplos

En este método, debes enumerar algunos múltiplos de cada denominador. Después, eliges el mínimo común múltiplo entre todos los múltiplos enumerados, es decir, el número situado más a la izquierda que aparece en ambas listas. Para aplicar este método, debes estar familiarizado con la tabla de multiplicar

Encuentra la LCD de $\frac{1}{2}$ , $\frac{3}{4}$ y $\frac{5}{6}$ .

Solución:

Paso 1. ¿Cuáles son los denominadores?

Los denominadores son 2, 4 y 6

Paso 2. Escribe el múltiplo de estos números.

Los múltiplos de 2 son 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

Los múltiplos de 4 son 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24 , 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

Los múltiplos de 6 son 0, 6 12, 18, 24 , 30, 36, 42, 48, 54, 60, 66, 72, ...

Observarás que 12 y 24 son múltiplos comunes de 2, 4 y 6. Pero queremos el mínimo común múltiplo. Por tanto, nuestro mínimo común múltiplo es 12. Esto significa que nuestro LCD es 12 .

Cuándo debes utilizar el método de listado de múltiplos

Ten en cuenta que el método de listado de Múltiplos se utiliza mejor cuando

Los números implicados son pequeños, algo entre 2 y 12, por ejemplo, 2, 3, 4, 5, 6, 7... 12. Por encima de 12 es difícil escribir los múltiplos.
No hay más de 3 fracciones.

Más técnicamente, el número de elementos de un conjunto se denomina cardinalidad del conjunto. Así que el método de enumeración se aplica mejor en conjuntos de fracciones con cardinalidad 3 o inferior.

Por ejemplo, encontrar la LCD entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{2}{7}$ o entre $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ y $\frac{3}{4}$ . Esto reduciría los errores y el tiempo empleado en encontrar la LCD.

Encuentra el LCD entre $\frac{2}{5}$ y $\frac{2}{7}$

Solución:

Paso 1. ¿Cuáles son los denominadores?

Los denominadores son 5 y 7

Paso 2. Escribe el múltiplo de estos números.

Los múltiplos de 5 son 0, 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, ...

Los múltiplos de 7 son 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 49, 56, 63, 70, 77, 84, ...

De lo anterior se deduce que el LCD es 35.

Halla el LCD entre $\frac{1}{2}$ , $\frac{1}{3}$ y $\frac{3}{4}$ .

Solución:

Paso 1. ¿Cuáles son los denominadores?

Los denominadores son 2, 3 y 4

Paso 2. Escribe el múltiplo de estos números.

Los múltiplos de 2 son 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, 22, 24, ...

Los múltiplos de 3 son 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24 , 27, 30, 33, 36, ...

Los múltiplos de 4 son 0, 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, 44, 48, ...

Verás que 12 y 24 son múltiplos comunes de 2, 4 y 6. Pero queremos el mínimo común múltiplo. Por tanto, nuestro mínimo común múltiplo es 12. Esto significa que nuestro LCD es 12.

3. La diferencia entre dos números cualesquiera de una lista no es superior a 10.

Todo esto debe tenerse en cuenta antes de aplicar este método , porque te ayuda a mantenerte dentro del rango de tu tabla de multiplicar.

Método del producto de factores primos

El método del producto de factores primos se realiza escribiendo cada número de un conjunto como producto de sus factores primos. Recuerda que un factor primo es un número primo que divide a otro número sin resto.

Encuentra el LCD entre $\frac{11}{24}$ y $\frac{7}{10} .$

Solución:

Paso 1: Escribe los denominadores.

Los denominadores son; 24 y 10.

Paso2: Expresa cada denominador como producto de su factor primo. Para conseguirlo, tienes que seguir unos sencillos subpasos.

Subpaso A: Dibuja una tabla de columnas con el denominador en la segunda columna.

	24

Subpaso B: Utiliza el factor más pequeño del denominador y divide el número gradualmente hasta llegar a 1. Recuerda que el factor se escribe en la primera columna.

2	24
	12

2	24
2	12
	6

2	24
2	12
2	6
	3

2	24
2	12
2	6
3	3
	1

Subpaso C: Escribe todos los factores de la primera columna como producto.

2	24
2	12
2	6
3	3
	1

Repite el mismo paso para el otro denominador y tendrías

2	10
5	5
	1

Paso 3: Ordena estos factores primos que se multiplican y rodea los factores semejantes.

Mínimo común denominador Tercer paso del método del factor primo para hallar el LCD StudySmarter Tercer paso del método del factor primo para hallar el LCD, StudySmarter Originals

Esto significa que el factor común entre 24 y 10 es 2.

Cuarto paso: Multiplica el resto de los factores que no están encerrados en un círculo por tu factor común.

Mínimo común denominador Cuarto paso del método del factor primo para hallar el LCD StudySmarter

Cuarto paso del método del factor primo para hallar la VCL, StudySmarter Originals

Así pues, nuestro LCD es

$2 \times 5 \times 2 \times 2 \times 3 = 120$

Método combinado del producto del factor primo

Como variación del Método del Producto del Factor Primario, el Método del Producto del Factor Primario Combinado requiere que encuentres los factores primos de los denominadores en una sola tabla. Una vez que te hayas familiarizado con la técnica, este método tiene la ventaja de ser más conciso.

Encuentra el LCD entre $\frac{11}{24}$ y $\frac{7}{10} .$

Solución:

Paso 1. Escribe los denominadores.

Los denominadores son 24 y 10.

Paso 2. Crea una tabla con el número de columnas según el número de denominadores. En este caso, el número de columnas es 3 (una más que el número de denominadores). Deja la primera columna para los factores.

	24	10

Paso 3. Utiliza el factor primo más pequeño para dividir los denominadores. Ten en cuenta que es posible que un factor sólo pueda dividir un denominador y no pueda dividir el resto. En los casos en que el factor no pueda dividir uno de los números de la columna del denominador, escribe el mismo número en la celda de abajo. Sólo necesitas que ese factor divida al menos uno de los denominadores. Es más fácil probando primero con los números más pequeños, como 2,3, ... Recuerda que el factor se escribe en la primera columna.

2	24	10
	12	5

Observa que en este caso 2 puede dividir tanto a 24 como a 10 sin resto.

2	24	10
2	12	5
	6	5

Observa que 2 puede dividir a 12 pero no puede dividir a 5, por lo que seguimos bajando 5 en la casilla de abajo.

2	24	10
2	12	5
2	6	5
	3	5

2	24	10
2	12	5
2	6	5
3	3	5
	1	5

2	24	10
2	12	5
2	6	5
3	3	5
5	1	5
	1	1

Paso 4: Escribe todos los factores de la primera columna como producto.

2	24	10
2	12	5
2	6	5
3	3	5
5	1	5
	1	1

Cuando te queden unos en la última fila, puedes calcular el LCD como el producto de los factores de la primera columna.

El LCD entre los denominadores 24 y 10 es entonces

$2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120$

El método del producto combinado de factores primos es el mejor método para un conjunto grande de denominadores.

Aplicaciones del LCD

Como ya hemos dicho, el mínimo común denominador se utiliza para simplificar fracciones que implican sumas y restas. También se utiliza para ordenar fracciones en orden ascendente y descendente. Veamos algunos ejemplos para comprender mejor sus aplicaciones.

LCD en fracciones

Simplifica

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4}$

Solución:

Paso 1. Halla la LCD de los denominadores.

Utilizando el método de las reglas LCD, la^2ª regla dice que si uno de los denominadores es múltiplo de los otros denominadores, entonces la LCD es dicho múltiplo.4 es múltiplo de 2, por lo que la LCD entre 2 y 4 es 4.Paso 2. Utiliza el LCD como denominador general. A continuación, divide el LCD por cada denominador y multiplícalo por el numerador.

$\frac{1}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1 \times (4 \div 2) - 1 \times (4 \div 4)}{4}$

Paso 3. Resuelve la aritmética.

$\frac{1 \times (2) - 1 \times (1)}{4} = = \frac{2 - 1}{4} = \frac{1}{4}$

Simplifica

$\frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{1}{28}$

Solución:

Paso 1: Halla el LCD de los denominadores.

Utiliza el método del producto combinado de factores primos.

2	5	7	28
2	5	7	14
5	5	7	7
7	1	7	7
	1	1	1

El LCD de $\frac{3}{5}$ , $\frac{5}{7}$ y $\frac{1}{28}$ es el producto de los números de la primera columna, es decir

$2 \times 2 \times 5 \times 7 = 140$ .

Paso 2: Utiliza la LCD como denominador general. Luego divide la LCD por cada denominador y multiplícalo por el numerador.

$\frac{3}{5} + \frac{5}{7} + \frac{1}{28} = \frac{3 \times (140 \div 5) + 5 \times (140 \div 7) + 1 \times (140 \div 28)}{140}$

Paso 3: Resuelve la aritmética.

$\frac{3 \times (28) + 5 \times (20) + 1 \times (5)}{140} = = \frac{84 + 100 + 5}{140} = \frac{189}{140}$

Paso4: Comprueba si algún número puede dividirse entre el numerador y el denominador para simplificar tu fracción.

Divide el numerador y el denominador entre 7

id="5110665" role="matemáticas" $\frac{189 \div 7}{140 \div 7} = \frac{27}{20} = 1 \frac{7}{20}$

LCD en la comparación de fracciones

Con la aplicación de la LCD ahora se pueden comparar fracciones para averiguar qué fracciones son mayores o menores. A partir de este conocimiento, las fracciones pueden ordenarse de forma ascendente o descendente.

Ordena las siguientes fracciones en orden descendente:

\frac{2}{5}' \frac{1}{6}, \frac{3}{20}

\frac{1}{8}

Solución:Al ordenar fracciones en orden descendente, se espera que escribas las fracciones de mayor a menor.Paso 1. Halla el LCD de las fracciones dadas.Utilizando el método del factor primo combinado, tenemos;

2	6	20	8	5
2	3	10	4	5
2	3	5	2	5
3	3	5	1	5
5	1	5	1	5
	1	1	1	1

La LCD de los denominadores 6, 20, 8 y 5 es

$2 \times 2 \times 2 \times 3 \times 5 = 120$ .

Paso 2: Utiliza el LCD como denominador general. A continuación, divide el LCD por cada denominador y multiplícalo por el numerador por separado.

$\frac{1}{6} = \frac{1 \times (120 \div 6)}{120} = \frac{1 \times (20)}{120} = \frac{20}{120} \frac{3}{20} = \frac{3 \times (120 \div 20)}{120} = \frac{3 \times (6)}{120} = \frac{18}{120} \frac{1}{8} = \frac{1 \times (120 \div 8)}{120} = \frac{1 \times (15)}{120} = \frac{15}{120} \frac{2}{5} = \frac{2 \times (120 \div 5)}{120} = \frac{2 \times (24)}{120} = \frac{48}{120}$

Paso3: Utiliza sólo los numeradores en negrita. Ahora ordénalos de mayor a menor.

48, 20, 18 y 15, es decir

$\frac{2}{5}' \frac{1}{6}, \frac{3}{20}$ y $\frac{1}{8}$

Mínimo común denominador - Puntos clave

El mínimo común denominador (MCD) es el múltiplo más pequeño que es común entre un conjunto de denominadores.
Hay cuatro métodos que se pueden utilizar para hallar el LCD: las reglas del LCD, el listado de múltiplos, el producto del factor primo y el producto combinado del factor primo.
El LCD se aplica al sumar y restar fracciones. Del mismo modo, se utiliza al ordenar fracciones en orden ascendente o descendente.

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Preguntas frecuentes sobre mínimo común denominador

¿Qué es el mínimo común denominador?

El mínimo común denominador (MCD) es el menor múltiplo común compartido por dos o más denominadores.

¿Cómo se calcula el mínimo común denominador?

Para calcular el MCD, encuentra el mínimo común múltiplo (MCM) de los denominadores.

¿Por qué es importante el mínimo común denominador?

El MCD es importante para sumar o restar fracciones con diferentes denominadores, unificándolos bajo un denominador común.

¿Cuándo usamos el mínimo común denominador?

Usamos el MCD al operar con fracciones, especialmente al sumarlas o restarlas, para que tengan el mismo denominador.

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