Módulo y Fase

El módulo de un número complejo

Denotemos la distancia del punto al origen como r, y podemos utilizar el teorema de Pitágoras para calcular su distancia al origen, que es

$r^2={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2$

Esta distancia r se conoce como el Módulo de z por lo que obtenemos

$\left|\mathrm{z}\right|=\mathrm{r}=\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}$

donde $\left|\mathrm{z}\right|$ denota el módulo de z.

Relación entre un número complejo, su conjugado y su módulo

Sea $\mathrm{z}=\mathrm{a}+\mathrm{ib}$ un número complejo, su conjugado es $\overline{\mathrm{z}}=\mathrm{a}-\mathrm{ib}$ ¡(recuerda la sección sobre conjugados del artículo sobre números complejos)!

Paso 1: Si multiplicamos los conjugados entre sí, así

$\mathrm{z}\stackrel{-}{\mathrm{z}}=\left(\mathrm{a}+\mathrm{ib}\right)\left(\mathrm{a}-\mathrm{ib}\right)$

Paso 2: Y cuando expandimos los paréntesis, obtenemos

$$\begin{gathered} \mathrm{z}\stackrel{\mathrm{\_}}{\mathrm{z}}={\mathrm{a}}^2-\mathrm{abi}+\mathrm{abi}-{\mathrm{i}}^2{\mathrm{b}}^2 \\ ={\mathrm{a}}^2-{\mathrm{i}}^2{\mathrm{b}}^2 \end{gathered}$$

Y como $\mathrm{i}=\sqrt{-1}$por tanto

${\mathrm{i}}^2=-1$

Paso 3: Sustituyendo ${\mathrm{i}}^2=-1$ en la ecuación del paso 2, obtenemos

$$\begin{gathered} \mathrm{z}\stackrel{\mathrm{\_}}{\mathrm{z}}={\mathrm{a}}^2-\left(-1\right){\mathrm{b}}^2 \\ \mathrm{z}\stackrel{\mathrm{\_}}{\mathrm{z}}={\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2 \end{gathered}$$

El lado derecho no es más que el cuadrado del módulo. Por tanto, tenemos

$\mathrm{z}\stackrel{\mathrm{\_}}{\mathrm{z}}={\left|\mathrm{z}\right|}^2$

En otras palabras,

$(complexnumber)\times (it\text{'}sconjugate)=modulu{s}^2$

Módulo y ángulo de fase

Volvamos a la visión geométrica del número complejo,

La fase de un número complejo es el ángulo entre el eje x positivo y el brazo terminal, StudySmarter Originals

Sea $\mathrm{\theta }$ el ángulo que forma z con el eje x positivo. Llamamos a este ángulo $\mathrm{\theta }$ ángulo de fase de z, también llamado argumento de z. En forma polar, z se expresa como

$\mathrm{z}=\mathrm{r}\left(\mathrm{cos\theta }+\mathrm{isin\theta }\right)$

y a partir de la gráfica, podemos utilizar las razones trigonométricas para decir que,

$\mathrm{tan\theta }=\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}$

Resolviendo para $\theta$ obtenemos

$\mathrm{\theta }={\tan }^{-1}\left(\frac{\mathrm{b}}{\mathrm{a}}\right)$

Una forma alternativa de calcular el ángulo de fase es utilizando el seno y el coseno.

$\sin \theta =\frac{oppositeside}{hypotenuse}$

Subyugando las variables de la figura 2 anterior, obtenemos:

$\sin \theta =\frac{b}{r}$

Acabamos de aprender que r es el módulo, $\sqrt{a^2+b^2}$. Sustituyendo esta expresión para r en la ecuación anterior, obtenemos

$\mathrm{sin\theta }=\frac{\mathrm{b}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}$

Utilizando el teorema de Pitágoras, podemos determinar r en función de a y b:

$r=\sqrt{a^2+b^2}$

Sustituyendo r en el coseno, obtenemos (como hicimos para el seno):

$\mathrm{cos\theta }=\frac{\mathrm{a}}{\sqrt{{\mathrm{a}}^2+{\mathrm{b}}^2}}$

Argumentos principales de los números complejos

Se puede observar que si el ángulo se modifica en ${360}^0,{720}^0$ y así sucesivamente, el número complejo sigue siendo el mismo. Por tanto, no habrá un único valor de $\mathrm{\theta }$ sino infinitos. De ahí que llamemos al primer valor de $\mathrm{\theta }$ el argumento principal de z, Arg(z).

Teorema de De Moivre

El Teorema de De Moivre es fundamental en los números complejos. El teorema se enuncia como sigue

Teorema: Sean ${\mathrm{z}}_1,{\mathrm{z}}_2$ son dos números complejos distintos y sus formas polares son

${\mathrm{z}}_1={\mathrm{r}}_1\left({\mathrm{cos\theta }}_1+{\mathrm{isin\theta }}_1\right)$ y ${\mathrm{z}}_2={\mathrm{r}}_2\left({\mathrm{cos\theta }}_2+{\mathrm{isin\theta }}_2\right)$

Entonces el producto ${\mathrm{z}}_1{\mathrm{z}}_2$ será un número complejo con la fase ${\mathrm{\theta }}_1+{\mathrm{\theta }}_2$.

Una consecuencia importante del Teorema de De Moivre: Hemos definido $\mathrm{\theta }$ como el ángulo de fase de un número complejo z. Ahora veremos cómo cambia el ángulo de fase en función de la potencia elevada a z. Multipliquemos z por sí mismo n veces. Tenemos un nuevo número complejo ${\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}$con un ángulo de fase distinto. Una consecuencia del teorema anterior es que

${\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{r}}^{\mathrm{n}}{\left(\mathrm{cos\theta }+\mathrm{isin\theta }\right)}^{\mathrm{n}}$

se simplifica a

${\mathrm{z}}^{\mathrm{n}}={\mathrm{r}}^{\mathrm{n}}\left(\mathrm{cosn\theta }+\mathrm{isinn\theta }\right)$

que tiene un ángulo de fase de $\mathrm{n\theta }$. Esto es cierto para todos los valores enteros de n, es decir $\mathrm{n}\in \mathrm{\mathbb{Z}}$

Esta consecuencia nos ayuda a encontrar el argumento de un número complejo elevado a una potencia de forma mucho más eficiente que multiplicando todos los términos.

Ejemplos de módulo y fase

Aplicaciones de los números complejos

El concepto de números complejos no es totalmente puro y abstracto, sino que tiene aplicaciones en todas partes.

Una de las aplicaciones más sencillas de los números complejos es encontrar las raíces de una ecuación cuadrática. También es uno de los lugares donde surgió el concepto de número complejo.

Toda una rama de las matemáticas conocida como Análisis Complejo se basa en estudiar los números complejos y aplicar sus propiedades a otros campos de las matemáticas.

Una ecuación muy popular en física también emplea el uso de números complejos, la Ecuación de Schrodinger:

$\stackrel{\_}{h}\frac{\partial \psi }{\partial t}=\stackrel{\wedge }{H}\psi$

Que es una ecuación de onda utilizada para modelizar las órbitas de los electrones alrededor del núcleo de un átomo.

Las aplicaciones son muchas, desde la ecuación diferencial de un circuito inductor-condensador (LC) hasta el modelado de las señales recibidas.