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¿Podemos calcular qué fracción de la tarta le tocó al final a Amy? La respuesta es dividiendo la fracción de Juan por 2, es decir, \(\dfrac{dfrac{1}{8}}{2}=\dfrac{1}{16}\) de la tarta.
En este artículo aprenderemos a realizar las operaciones de multiplicación y división con fracciones.
Multiplicación y división de fracciones paso a paso
Nos interesa ver las operaciones de multiplicación y división con fracciones. Ante todo, recordemos nuestros conocimientos sobre las fracciones.
Una fracción representa una parte de un todo. Tiene dos partes: el numerador y el denominador. El numerador se escribe encima de la línea y el denominador debajo de la línea. El denominador no puede ser cero.
\(\dfrac{2}{3}, \dfrac{1}{2}, \dfrac{7}{8}, \cdots\) son ejemplos de fracciones.
Estamos familiarizados con la multiplicación y la división de dos números. Ahora la cuestión es cómo realizar estas operaciones con fracciones en lugar de con números enteros.
Supongamos que nos dan dos fracciones, digamos \(\dfrac{a}{b}\}) y \(\dfrac{c}{d}\}), queremos saber qué queremos decir con \(\dfrac{a}{b}\}veces \dfrac{c}{d}\}) y \(\dfrac{a}{b}}{dfrac{c}{d}.\}).
Reglas de multiplicación y división de fracciones
Reglas de la multiplicación de fracciones
Para multiplicar dos fracciones \(\dfrac{a}{b}) y \(\dfrac{c}{d}), esencialmente se multiplican los numeradores juntos y los denominadores juntos. Así, tenemos
\[\dfrac{a}{b}{veces \dfrac{c}{d}=\dfrac{a}{veces b}{c\veces d}].
De hecho, seguimos los siguientes pasos para multiplicar fracciones juntas.
Paso 1. Multiplica los numeradores de las dos fracciones juntos y los denominadores juntos.
Paso 2. Divide los números resultantes para obtener la nueva fracción.
Podemos detenernos en este punto. Sin embargo, si el numerador y el denominador de la nueva fracción tienen factores comunes, procedemos con otro paso para obtener la forma más simple de la fracción.
Paso 3. Encuentra el factor común del numerador y el denominador de la nueva fracción. Divide el numerador y el denominador por este factor común. Así se obtiene la forma más simple de la fracción.
Paso 4. Multiplica las fracciones \(\dfrac{3}{7}\}) y \(\dfrac{5}{11}\}).
Solución
Paso 1. Multiplicando los numeradores de las fracciones, obtenemos \[3 veces 5=15,\}].
Multiplicando los denominadores de las fracciones, obtenemos
\7 veces 11 = 77.
Paso 2. Dividiendo los números resultantes obtenemos la nueva fracción \(\dfrac{15}{77}.\})
Como el numerador y el denominador de la nueva fracción no tienen factores comunes, ésta es la forma más sencilla.
Multiplica \dfrac{2}{5}} y \dfrac{7}{9}}.
Solución
Multiplicando los numeradores y denominadores, obtenemos
\[\dfrac{2}{5} veces \dfrac{7}{9}=\dfrac{2} veces 7}{5} veces 9}=\dfrac{14}{45}.\}
Multiplica \(\dfrac{5}{8}\}) y \(\dfrac{2}{3}.\})
Solución
Paso 1. Multiplicando los numeradores de las dos fracciones, obtenemos
\(5 veces 2=10,00) Si hacemos lo mismo con los denominadores, obtenemos (8 veces 3=24,00).
Paso 2. Dividiendo los números resultantes obtenemos la nueva fracción (10 veces 24).
Observamos que el numerador y el denominador de la nueva fracción tienen un factor común de 2.
Paso 3. Obtenemos la forma más simple de esta fracción dividiendo el factor común 2 entre el numerador 10 y el denominador 24. Esto nos da, \(10 \divsímbolo 2=5\) y \(24\divsímbolo 2=12\).
Por tanto, la fracción más simple es \(\dfrac{5}{12}.\)
Reglas de división de fracciones
Para dividir dos fracciones, básicamente inviertes la fracción con la que estás dividiendo y luego la multiplicas por la primera. Así, la división de dos fracciones de la forma
\[\frac{a}{b}\divsymbol\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}}{\frac{c}{d}}\]
es lo mismo que multiplicar las fracciones
\[\frac{a}{b}\times \frac{d}{c}.\]
Y así tenemos
\[\frac{a}{b}\divsymbol\frac{c}{d} =\frac{a}{b}\times\frac{d}{c}.\]
Como ya hemos visto cómo multiplicar dos fracciones, a partir de aquí sólo tienes que seguir esos pasos.
En resumen, seguimos los siguientes pasos para realizar la división entre fracciones,
Paso 1. Invierte la fracción divisora: el numerador pasa a ser el denominador y el denominador pasa a ser el numerador.
Paso 2. Tras la inversión, multiplica las fracciones resultantes utilizando los pasos descritos para la multiplicación de fracciones.
Divide \(\dfrac{5}{8}\}) entre \(\dfrac{2}{3}.\})
Solución
Paso 1. Invirtiendo el divisor, obtenemos \(\dfrac{3}{2}\).
Paso 2. Ahora realizamos la multiplicación de las fracciones obtenidas,
\(\dfrac{5}{8}\) y \(\dfrac{3}{2}\) para obtener
\[\dfrac{5}{8}veces \dfrac{3}{2}=\dfrac{5}veces 3}{8}veces 2}=\dfrac{15}{16}.\}
Como el numerador y el denominador no tienen factores comunes, ésta es la forma más sencilla.
Halla \(\dfrac{2}{5}divsímbolo \dfrac{3}{8}).
Solución
Aquí \(\dfrac{2}{5})es la fracción dividendo y \(\dfrac{3}{8})es la fracción divisor.
Paso 1. Invierte el divisor, obtenemos \(\dfrac{8}{3}.\)
Paso 2. Ahora multiplica las fracciones y obtendremos
\[\frac{2}{5}\divsímbolo\frac{3}{8}=\frac{2}{5}veces \frac{8}{3}=\frac{2}{8}{3} =\frac{16}{15}.\]
Como el numerador y el denominador no tienen factores comunes, ésta es la forma más sencilla.
Al multiplicar o dividir una fracción con un número entero \(a\), \(a\) puede escribirse como su forma equivalente \(\dfrac{a}{1}}) y, por tanto, no es necesario cambiar de procedimiento.
Find \(\dfrac{\dfrac{2}{5}}{3}.\)
Solución
Aquí \ (\dfrac{2}{5}})es la fracción dividendo y \(3=\dfrac{3}{1}}) es la fracción divisor.
Paso 1. Invierte el divisor, obtenemos\( \dfrac{1}{3}\}).
Paso 2. Ahora multiplica las fracciones para obtener
\[\dfrac{2}{5}veces \dfrac{1}{3}=\dfrac{2}veces 1}{5}veces 3}=\dfrac{2}{15}.\]
Como el numerador y el denominador no tienen factores comunes, ésta es la forma más sencilla.
Simplify \(\dfrac{4}{\dfrac{7}{9}}\).
Solución
Aquí \(4=\dfrac{4}{1}})es la fracción dividendo y \(\dfrac{7}{9}})es la fracción divisor.
Solución
Paso 1. Invierte el divisor, obtenemos \( \dfrac{9}{7}\).
Paso 2. Ahora multiplica las fracciones para obtener
\[\dfrac{4}{\dfrac{7}{9}}=\dfrac{4}{1}\times \dfrac{9}{7}=\dfrac{4\times 9}{1\times 7}=\dfrac{36}{7}.\]
Como el numerador y el denominador no tienen factores comunes, ésta es la forma más sencilla.
Para simplificar nuestro trabajo evitando multiplicaciones gigantescas, podemos "cancelar" los factores comunes entre los numeradores y denominadores al principio, antes de multiplicar los términos entre sí. Esto modificaría los pasos para multiplicar fracciones entre sí a los siguientes,
Paso 1. Si algún numerador y denominador tienen un factor común, divide el numerador y denominador correspondientes por el factor común para "cancelar" el factor común. Hazlo hasta que no quede ningún factor común entre numeradores y denominadores.
Paso 2. Realiza la multiplicación de las fracciones resultantes.
En los ejemplos siguientes, hemos utilizado el método anterior.
Ejemplos de multiplicación y división de fracciones
Hasta ahora hemos visto ejemplos de operaciones de multiplicación y división entre dos fracciones. Puedes multiplicar/dividir varias fracciones a la vez utilizando las mismas reglas descritas anteriormente. Si hay una cadena de multiplicaciones y divisiones múltiples, primero debes invertir los términos del divisor.
Simplify \(\dfrac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}\)
Solución
Aquí tenemos tres fracciones en multiplicación. El primer paso consiste en multiplicar los numeradores de las fracciones juntos \(5\times 18\times 21\) y los denominadores juntos \(9\times 13\times 20.\)
Aquí vemos que acabamos con una multiplicación de números enormes. Para evitarlo, vamos a anular primero los factores comunes, siempre que sea posible.
Paso 1 . Los numeradores son 5,18,21 y los denominadores 9,13,20. Vemos que 9 y 18 tienen 9 como factor común y 5 y 20 tienen 5 como factor, por lo que tenemos
\[\frac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{1}{1}\times\dfrac{2}{13}\times\dfrac{21}{4}.\]
Además, podemos simplificar 2 y 4 dividiendo por 2, para obtener
\[\dfrac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{1}{13} \times\dfrac{21}{2}.\]
Paso 2. Y la respuesta final es
\[\dfrac{5}{9}\times\dfrac{18}{13}\times\dfrac{21}{20}=\dfrac{21}{13\times 2}=\dfrac{21}{26}.\]
Simplifica
\[\dfrac{14}{39}\times\dfrac{12}{35}\divsymbol\dfrac{8}{13}\times\dfrac{2}{9}\]
Solución
Paso 1. Invierte la fracción del divisor para obtener
\[\dfrac{14}{39}\times\dfrac{12}{35}\divsymbol\dfrac{8}{13}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{14}{39}\times\dfrac{12}{35}\times\dfrac{13}{8}\times\dfrac{2}{9}\]
Paso 2. Ahora intentamos llevar los términos a la forma más simple. Dividiendo 14 y 35 entre 7, 13 y 39 entre 13, 12 y 9 entre 3, 2 y 8 entre 2 obtenemos
\[\dfrac{14}{39}\times\frac{12}{35}\times\dfrac{13}{8}\times\dfrac{2}{9}=\dfrac{2}{3}\times\dfrac{4}{5}\times\dfrac{1}{4}\times\dfrac{1}{3}\]
Paso 3. Cancela el 4, y obtendremos[\dfrac{2}{3}tiempos\dfrac{4}{5}tiempos\dfrac{1}{4}tiempos\dfrac{1}{3}=dfrac{2}{5}tiempos\dfrac{1}{5}tiempos\dfrac{1}{3}=dfrac{2}{45}].
En el siguiente ejemplo, realizamos la multiplicación y división de fracciones mixtas.
Una fracción mixta es una combinación de un número entero y una fracción. Para multiplicar o dividir fracciones mixtas, primero, conviértelas en fracciones impropias y luego continúa con el proceso estándar.
Simplifica
\[4\dfrac{2}{7} veces 2\dfrac{1}{3}div \dfrac{3}{5}.\]
Solución
Convirtiendo las fracciones mixtas en fracciones impropias, obtenemos
\[4\dfrac{2}{7}veces 2\dfrac{1}{3}div \frac{3}{5} = \dfrac{30}{7}veces \dfrac{7}{3} \div \dfrac{3}{5}.\]
Invirtiendo el divisor, obtenemos
\[\dfrac{30}{7}\times\dfrac{7}{3}\div\dfrac{3}{5}= \dfrac{30}{7} \tiemposdfrac73 \veces \dfrac{5}{3}]
Dividiendo 30 y 3 entre 3, anulando el 7 en el numerador y el denominador, tenemos
\[\dfrac{30}{7}\times\dfrac{7}{3}\times \dfrac{5}{3}= \dfrac{10}{1} \tiempos -dfrac1-1 \veces 5} {3}.
Multiplicando las fracciones anteriores se obtiene
\[\dfrac{10}{1}veces\dfrac{5}{3}= \dfrac{50}{3} = 16\dfrac{2}{3}.\]
Puedes expresar tu respuesta como fracción mixta o fracción impropia, según sea necesario.Multiplicación y división de fracciones algebraicas
Puedes realizar multiplicaciones y divisiones en fracciones algebraicas que contengan variable en el numerador y/o denominador, siguiendo los mismos pasos que hemos venido utilizando hasta ahora.
Simplifica \(\dfrac{4xy}{5} veces \dfrac{2y}{x^3}div \dfrac{y}{x}).
Solución
Invirtiendo el divisor, obtenemos
\[\dfrac{4xy}{5} \veces \dfrac2y}{x^3}. \div \dfrac{y}{x} = \dfrac{4xy}{5} \vecesdfrac2yx^3 \veces \dfrac{x}{y}.\}
Dividiendo \(4xy\) y \(x^{3}\) por \(x\) y \(2y\) y \(y\) por \(y\), obtenemos
\[ \dfrac{4xy}{5}\times\dfrac{2y}{x^3}\times\dfrac{x}{y}= \dfrac{4y}{5} \tiemposdfrac2x2 \times \dfrac{x}{1}.\]
Dividiendo \(x^2\) y \(x\) por \(x\) obtenemos,
\[ \dfrac{4y}{5}\times\dfrac{2}{x^2}\dfrac{x}{1}= \dfrac{4y}{5} \tiempos \dfrac{2}{x} \vecesdfrac1}{1}].
Multiplicando las fracciones anteriores se obtiene
\[ \dfrac{4y}{5}\times\dfrac{2}{x}\times\dfrac{1}{1}= \dfrac{8y}{5x}.\]
Multiplica \( 2y^3 + 3xy + 5x^2 + 7\) por \(4x^2\).
Solución
\&(2y^3 + 3xy + 5x^2 + 7) \times 4x^2 &= (2y^3 \times 4x^2) + (3xy\times 4x^2) + (5x^2\times 4x^2) + (7\times 4x^2)\\= 8x^2y^3 + 12x^3 y + 20x^4 + 28x^2.\end{align}].
Simplifica \(\dfrac{2x^2 y^3}{7}{veces \dfrac{14}{xy}{veces \dfrac{y}{x^3}).
Solución
Dividiendo \(2x^2y^3) y \(xy\) entre \(xy\), y 7 y 14 entre 7, obtenemos
\[ \frac{2x^2y^3}{7} \veces \frac{14}{xy} \veces \frac{y}{x^3} = \frac{2xy^2}{1} \tiempos \frac{2}{1} \veces frac {y} {x^3}.
Dividiendo \(2xy^2) y \(x^3) entre \(x\), obtenemos,
\[\frac{2xy^{2}}{1}\times\frac{2}{1}\times\frac{y}{x^3}= \frac{2y^2}{1} \tiempos \frac{2}{1} \veces frac {y} {x^2}.
Multiplicando las fracciones anteriores, obtenemos
\...[ \frac{2y^2}{1} \veces \frac{2}{1} \veces \frac{y}{x^2} = \frac{4y^3}{x^2}. \]
Multiplicación y división de fracciones - Puntos clave
- Para multiplicar fracciones, esencialmente multiplicas los numeradores juntos y los denominadores juntos. Así, una multiplicación de la forma {{dfrac{a}{b}}veces {dfrac{c}{d}}) equivale a {{dfrac{a}veces c}{b}veces d}}.
- Para dividir un número (entero o fracción) por una fracción, primero hay que invertir el divisor y aplicar el proceso de multiplicación al resto de la expresión.
- Para multiplicar o dividir fracciones mixtas, primero hay que convertirlas en fracciones impropias y luego continuar con el proceso estándar.
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