En este artículo hablaremos del concepto de notación científica. Además, conoceremos una técnica que demuestra cómo podemos convertir un número de la forma estándar a su correspondiente notación científica y viceversa.
¿Qué es una notación científica?
Para empezar nuestro tema, definamos primero el significado de una notación científica.
Lanotación científica, también conocida como forma estándar, es un método que expresa (o reescribe) un número de varios dígitos de forma compacta. Tiene la forma
$$a veces 10^b$$
donde \(1\leq |a|< 10\) y \(b\) es un número entero.
Es una forma muy eficaz de escribir números muy grandes o también muy pequeños. Puede ser útil observar que para la estructura introducida anteriormente, es decir
$$a\veces 10^b$$
donde\(1\leq |a|< 10\), \(a\) es el coeficiente y \(10\) es una base constante. La tabla siguiente muestra varios ejemplos en los que tiene lugar la notación científica.
Número | Notación científica | valores a y b |
\(2\) | \(2 veces 10^0) | \(a=2, b=0) |
\(20\) | \(2 veces 10^1) | \(a=2,b=1) |
\(200\) | \(2 veces 10^2) | \(a=2,b=2) |
Lo que esto significa es que un número mayor puede reescribirse de forma más corta aumentando la potencia de \(10\). O lo que es lo mismo, el valor de \(b\).
Casualmente, esto también funciona a la inversa. Los números especialmente próximos a cero también pueden expresarse de este modo cambiando el signo del exponente. Aquí tienes una tabla que muestra algunos ejemplos.
Número | Notación científica | Valores \(a\) y \(b\) |
\(0.2\) | \(2 veces 10^{-1}\) | \(a=2,b=-1) |
\(0.02\) | \(2 veces 10^-2}) | \(a=2,b=-2) |
\(0.002\) | \(2 veces 10^3}) | \(a=2,b=-3) |
Escribir números en notación científica
Un número puede escribirse en notación científica expresando el valor como un número entre \(1\) y \(10\) multiplicado por una potencia de \(10\). Por ejemplo, el número \(700\) puede escribirse como \(7\veces 10^2\). El número \(7 veces 10^2\) es la notación científica de \(700\).
El formato de la notación científica es \(a por 10^b) donde
\(a\) es un número o decimal tal que el valor absoluto de \(a\) es mayor o igual que uno y menor que diez y;
\(b\) es la potencia de \(10\) necesaria para que la notación científica sea matemáticamente equivalente al número original.
Reglas para escribir números en notación científica
Para escribir un número en notación científica, hay que atenerse a las siguientes reglas:
La base es siempre \(10\).
El valor del coeficiente siempre es mayor o igual que \(1\) y menor que \(10\).
Los coeficientes también pueden ser valores positivos o negativos.
El resto de las cifras significativas del número lo lleva la mantisa.
La mantisa es la parte de un logaritmo situada después de la coma decimal.
Ejemplos de notación científica
En esta sección, veremos un ejemplo práctico de notación científica.
- \(650.000.000=6,5 veces 10^8)
- \(75=7,5 veces 10^1=7,5 veces 10\)
- \(5,05 veces 10^7)
- \(0,00001=1 veces 10^{-5}})
- \(1,230,000,000=1.23\times 10^9\)
Observa que en el ejemplo anterior se cumplen todas las condiciones para escribir notaciones científicas:
- la base de cada ejemplo es \(10\);
- los coeficientes son mayores o iguales que \(1\) y menores que \(10\);
- y el exponente de la base se contabiliza en la mantisa.
Errores comunes en la notación científica
Aunque el método que hay detrás de la notación científica puede ser sencillo, todavía hay algunos errores comunes que debes tener en cuenta para no caer en la trampa de cometer errores por descuido en tu trabajo. He aquí un ejemplo en el que la notación científica no es válida.
\(76400=76,4 veces 10^3\).
Esto es incorrecto porque el coeficiente tiene que estar entre \(1\) y \(10\). En este caso, debería ser \(7,64\), no \(76,4\). La respuesta correcta sería$$76400=7,64 veces 10^4$$
Aquí tienes otro ejemplo trabajado.
\(160=2,5 veces 8^2)
Aunque esta ecuación puede ser cierta, no es una notación científica válida. Fíjate en la base utilizada en el ejemplo anterior. Recuerda que todas las notaciones científicas tienen una base de \(10\). La base en esta situación es \(8\). Por tanto, la respuesta correcta debería ser$$160=1,6 veces 10^2$$
Veamos un ejemplo más antes de pasar al siguiente apartado.
\(0,034=34 veces 10^{-3}\}).
Como antes, el coeficiente tiene que estar entre \(1\) y \(10\). En este caso, \(34\) es efectivamente más que \(10\). La notación científica correcta sería$$0,034=3,4 veces 10^{-2}$$
Forma estándar y notación científica
En este apartado aprenderemos a intercambiar un número dado entre su forma estándar y la notación científica.
Conversión de números en forma estándar a notación científica
Para entender cómo podemos convertir números en forma estándar a su notación científica apropiada, te mostraremos dos casos para que los tengas en cuenta.
Caso 1: El punto decimal se desplaza a la izquierda si el número dado es mayor que \(10\).
Esto significa que la potencia de \(10\) aquí será un valor positivo. He aquí un ejemplo.
La población mundial es actualmente de \(7.000.000.000\). Para expresarlo en notación científica, podemos escribirlo como
$$7\times 10^9$$
Caso 2: El punto decimal se desplaza a la derecha si el número dado es menor que \(1\).
En este caso, la potencia de \(10\) se convertirá en un valor negativo. He aquí un ejemplo.
Si tenemos que escribir el diámetro de un grano de arena, que es de \(24\) diezmilésimas de pulgada o \(,0024\) pulgada, obtendríamos
$$0,0024=2,4 veces 10^{-3}$$
Conversión de un número en notación científica a la forma estándar
No hay ninguna regla concreta que deba seguirse al convertir un número en notación científica a forma estándar. Sin embargo, hay algunas indicaciones que debemos tener en cuenta al hacerlo.
Mueve el punto decimal a la derecha si el exponente de la base es positivo.
Mueve el punto decimal a la izquierda si el exponente de la base es negativo.
Mueve el punto decimal tantas veces como indique el exponente.
En la forma estándar, ya no se escribe multiplicar por 10.
Veamos algunos ejemplos para ver cómo se hace.
La notación científica de la distancia de la Tierra a la Luna es \(3,825 veces 10^8\) metros. ¿Cómo representarías este número en forma estándar?
Solución
Como el exponente de la base es positivo, mueve la coma decimal hacia la derecha. Al tercer movimiento, deberíamos estar en \(3825\). Esto significa que cualquier movimiento posterior añade un \(0\) a la cifra. Esto añadirá \(5\) ceros más al número. De este modo, el resultado es \(382.500.000\) metros.
He aquí otro ejemplo.
Se considera que la longitud de onda más corta de la luz visible es de \(4,0 veces 10^{-7}\) metros. Escríbelo en forma estándar.
Solución
El punto decimal se moverá a la izquierda, ya que el exponente de la base es negativo. Un movimiento del punto decimal nos dejará en \(0,4\). Sin embargo, necesitamos hacer todos los movimientos de \(7\). Cada uno de los siguientes añadirá un cero antes de \(4\). Por tanto, tendremos \(0,0000004\) metros.
Operaciones aritméticas con notación científica
En este segmento, hablaremos de cómo podemos realizar operaciones aritméticas básicas con números en notación científica. Puede resultar bastante complejo y confuso cuando se trata de números extremadamente grandes o significativamente pequeños. El propósito de la notación científica es hacer que los números sean más fáciles de leer, escribir y calcular. Los números en notación científica se pueden sumar, restar, multiplicar y dividir mientras estén en notación científica.
Sumar y restar números en notación científica
A continuación se indican los pasos para sumar y restar números en notación científica.
Haz que los dos números que intentas sumar o restar tengan el mismo exponente reescribiendo el número con el exponente más pequeño y moviendo el punto decimal a su número decimal el número de veces necesario.
Suma o resta estos números decimales.
Escribe tu número en notación científica si es necesario.
He aquí un ejemplo que lo demuestra.
\((6,7 veces 10^4)+(5,87 veces 10^5)\).
Reescribiendo el número tendremos
$$(0,67 veces 10^5)+(5,87 veces 10^5)$$
Ahora tendremos$$(0,67+5,87)\times 10^5$$
Con nuestro ejemplo, tendremos
$$6,54 veces 10^5$$
Ejemplo real de suma y resta en notación científica
En esta sección, observaremos un problema del mundo real que hace uso de la suma y la resta de números en notación científica.
Amy recorre \(2,33 veces 10^8\) metros desde su casa hasta su lugar de trabajo. Después del trabajo, le han dicho que asista a una reunión en la ciudad. Desde su lugar de trabajo, recorre 8,2 (por 10^9) metros hasta el lugar de la reunión. Halla la distancia total que ha recorrido hoy.
Solución
Este problema te pide que sumes los dos números dados en notación científica, es decir, 2,33 veces 10^8 y 8,2 veces 10^9, ya que estamos buscando el recorrido total. Al hacerlo, podemos escribirlo como
$$(2,33 veces 10^8)+(8,2 veces 10^9)$$
Reescribe ambos para que tengan el mismo exponente.
$$(0,233 veces 10^9)+(8,2 veces 10^9)$$
Suma los decimales
$$(0,233+8,2)\times 10^9$$
Por lo tanto, tenemos \(8,433\veces 10^9\) metros en total.
Multiplicar y dividir la notación científica
A continuación se indican los pasos para multiplicar o dividir números en notación científica.
Multiplica o divide los números decimales.
Ahora multiplica sumando exponentes o divide restando los exponentes del \(10\).
Escribe tu respuesta en notación científica si es necesario.
Aquí tienes un ejemplo práctico.
Resolviendo \((8,4 veces 10^{-3})(6,1 veces 10^6)\), tendremos
$$8,4 veces 6,1=51,24$$
Entonces
$$10^{-3}\times 10^6=10^{-3+6}=10^3$$
Ahora tendremos
$$51,24 veces 10^3$$
Ejemplo real de multiplicación y división en notación científica
En esta sección, observaremos un problema del mundo real que hace uso de la multiplicación y división de números en notación científica.
Dado que el perímetro de un rectángulo es \(6 veces 10^7), y su longitud \(8 veces 10^5), halla su anchura.
Solución
Si (perímetro = longitud multiplicada por anchura), reordenando la ecuación se obtiene
$${texto{anchura}={dfrac{texto{perímetro}}{{texto{longitud}}$$
Divide los números decimales.
$$6\div 8=0,75$$
Resta los exponentes de \(10\).
$$10^{7-5}=10^2$$
$$0,75 veces 10^2$$
Siguiendo las reglas de la notación científica, el coeficiente tiene que estar entre \(1\) y \(10\). Por tanto, se puede trabajar más moviendo el punto decimal a la derecha en 1 decimal. Mover la coma decimal a la derecha en 1 reduce también en 1 el exponente de su base.
$$\text{Ancho}=7,5 veces 10^1\text{ cm}$$
Multiplicar en notación científica es hallar el producto de sus coeficientes y sumar sus exponentes. En este sentido, dividirlos también equivale a hallar su cociente y restar sus exponentes.
Notación científica - Puntos clave
- La notación científica es una forma de reescribir números de varios dígitos de forma compacta en la forma \(a\times 10^b\) donde \(1\leq |a|<10\) y \(b\) es un número entero.
- El valor del coeficiente siempre es mayor o igual que \(1\) y menor que \(10\).
- La base en notación científica es siempre \(10\).
- Al sumar o restar números en notación científica, asegúrate de que todos los exponentes implicados tienen el mismo valor.
- Al multiplicar en notación científica, multiplica los coeficientes y suma los exponentes de la base.
- Al dividir en notación científica, divide los coeficientes y resta los exponentes de la base.
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