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Si lo pensamos un momento, los números están por todas partes en nuestra vida cotidiana. Nos ayudan a pensar con lógica y a llevar la cuenta de las cosas que hacemos. Por ejemplo, los números nos ayudan en tareas sencillas como calcular el tiempo que tardas en ir de casa al trabajo, la cantidad de dinero que necesitas para pagar la compra y la cantidad de bolsas que necesitas para llevar la compra a casa. Además, también son especialmente útiles para resolver problemas más complejos en el mundo de la ciencia y la ingeniería, como calcular la cantidad de combustible que se necesitará para que un cohete llegue al espacio, o el número de camiones que necesita un almacén para transportar los pedidos de sus clientes de forma segura y puntual.
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Enviar comentariosEn este artículo definiremos qué son los números y exploraremos los principales tipos de números que puedes encontrar para que puedas reconocerlos más fácilmente. También explicaremos qué estudia la teoría de los números, los distintos sistemas numéricos y el concepto de secuencia numérica.
Los números se consideran el corazón de las Matemáticas, y con razón, porque sin números las Matemáticas sencillamente no existirían.
Un número es un concepto matemático que representa una cantidad, que tiene muchas aplicaciones, como contar, medir, etiquetar y realizar cálculos que nos ayudan a resolver problemas, entre otras.
Hay muchos tipos de números. Veamos algunos ejemplos a continuación.
Ejemplos de números de distintos tipos:
\[-3,0,2,3,8,\dfrac{3}{4},\pi, \text{y} \sqrt{2}\}].
Como ves, hay muchos tipos de números, vamos a identificar cada uno de ellos en el siguiente apartado para que puedas reconocerlos más fácilmente.
Los números pueden clasificarse en distintos grupos según los tipos de cifras que incluyen. Veámoslos.
Los númerosnaturales también se conocen como números para contar, porque son los números con los que primero se aprende a contar. Incluyen todos los números positivos mayores que cero. Es decir, \(1, 2, 3, 4, 5, 6\), y así sucesivamente.
Se representan con la letra \(\mathbb N\). La notación de conjuntos para los números naturales es la siguiente:
\[\mathbb{N}=\{1,2,3,4,5,...\}\]
Los números enteros están estrechamente relacionados con los números naturales, con una diferencia principal, como puedes ver en la siguiente definición.
Losnúmeros enteros son básicamente los números naturales más el cero. No incluyen números negativos, fracciones ni decimales.
Se representan con la letra \(\mathbb{W}\), y su notación de conjunto se muestra a continuación:
\[\mathbb{W}=\{0,1,2,3,4,5,...\}\]
Todos los números naturales son números enteros, pero no todos los números enteros son números naturales, es el caso del cero. Veámoslo en un diagrama.
Representación de los números naturales y enteros - StudySmarter Originals
Los números naturales y enteros pueden representarse en la recta numérica de la siguiente manera:
Números naturales y enteros en la recta numérica - StudySmarter Originals
Los números enteros incluyen todos los números positivos, el cero y los números negativos. De nuevo, los números enteros no incluyen fracciones ni decimales.
Se representan con la letra \(\mathbb{Z}\), y su notación de conjunto es la siguiente:
\[\mathbb{Z}=\{...,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,...\}\]
Si ampliamos el diagrama anterior para incluir los números enteros, quedará así:
Representación de los números enteros - StudySmarter Originals
Observando el diagrama anterior, podemos decir que no todos los números enteros son números naturales y enteros, sino que todos los números naturales y enteros son enteros. En la recta numérica, los números enteros pueden representarse así:
Números enteros en la recta numérica - StudySmarter Originals
Algunos ejemplos de números enteros son
\[-45,12,-1,0,23\space\text{and}\space 946\]
Losnúmeros racionales incluyen todos los números que pueden expresarse como una fracción de la forma \(\dfrac{p}{q}\), donde \(p\) y \(q\) son números enteros y \(q\neq 0\). Este grupo de números incluye fracciones y decimales. Los números racionales se representan con la letra \(\mathbb{Q}\).
Todos los números enteros, naturales y enteros son números racionales, ya que pueden expresarse como una fracción con denominador \(1\). Por ejemplo, \(3\) puede expresarse como una fracción así \(\dfrac{3}{1}\).
Representación de los números racionales - StudySmarter Originals
Algunos ejemplos de números racionales son
\[-5.7,-\dfrac{3}{2},0,\dfrac{1}{2},\space\text{and}\space 0.75\]
Definamos ahora qué entendemos por números irracionales.
Los númerosirracionales son números que no pueden expresarse como fracción de dos enteros. Los números irracionales tienen decimales que no se repiten nunca y no tienen ningún patrón. Se representan con la letra \(\mathbb{Q}'\}).
Representación de los números irracionales - StudySmarter Originals
Algunos ejemplos de números irracionales son
\[\sqrt{2},\sqrt{3},\sqrt{5}\space \text{y}\space \pi\].
Hay números con decimales no terminales que en realidad son racionales. Es el caso de los números con decimales no terminales que se repiten siguiendo un patrón, ya que pueden expresarse como fracción de dos enteros. Por ejemplo, \(\dfrac{1}{9}=0,\bar{1}\), la barra sobre el decimal \(1\) significa que se repite eternamente. Por tanto, es un número racional.
Lee Convertir entre fracciones y decimales para saber más sobre los distintos tipos de números decimales.
Los númerosreales incluyen todos los números que se te ocurran y que puedas encontrar en el mundo real, aparte de los números imaginarios. Los números reales se representan con la letra \(\mathbb{R}\), e incluyen todos los números racionales e irracionales, por lo que el conjunto de los números reales puede representarse como \(\mathbb{R}=\mathbb{Q}\cup \mathbb{Q}'\).
Representación de los números reales - StudySmarter Originals
Algunos ejemplos de números reales son:
\[-\dfrac{5}{2},-1,0,0.\bar{3},2.45,\sqrt{5},\space\text{and}\space \pi\]
Aparte de los números reales, los matemáticos idearon un tipo especial de número para poder resolver la raíz cuadrada de los números negativos, incluidos en ecuaciones cuadráticas sencillas como \(x^2+9=0\). Si intentamos resolver esta ecuación utilizando el álgebra, acabamos con lo siguiente
\[\begin{align}x^2+9&=0\\x^2+9-9&=-9\\x^2&=-9\\\sqrt{x^2}&=\sqrt{-9}\\x&=\sqrt{-9}\end{align}\]
Pero utilizando sólo números reales, no podemos ir más allá. Es entonces cuando entran en juego los números imaginarios.
Los númerosimaginarios son la raíz de los números negativos.
Sabemos que no podemos sacar la raíz cuadrada de los números negativos, porque no hay ningún número que al elevarlo al cuadrado dé como resultado un número negativo. En este caso, tenemos que utilizar los números imaginarios. Para ello, decimos que \(\sqrt{-1}=i\). Veámoslo más claramente con un ejemplo.
Resuelve \(\sqrt{-9}\) utilizando números imaginarios.
\(\sqrt{-9}\) puede escribirse como \(\sqrt{9(-1)}=\sqrt{9}\veces\sqrt{-1}\)
Si sustituimos \(\sqrt{-1}\) por \(i\)
podemos decir que
\[\sqrt{-9}=3\veces i\].
\[\sqrt{-9}=3i\]
Exploremos ahora otros conceptos relacionados con el tema de los números.
¿Qué entendemos por teoría de números?
La teoría denúmeros es la rama de las Matemáticas que estudia los números enteros positivos, sus propiedades y relaciones.
Los tipos de números que estudia la teoría de números pueden clasificarse en algunas de las categorías que se muestran en la tabla siguiente.
| Nombre | Definición | Ejemplos |
| Par | Números enteros que se pueden dividir por 2. | \(2,4,6,8,10,12,14,...\) |
| Impares | Números enteros que no se pueden dividir por \(2\). | \(1,3,5,7,9,11,13,...\) |
| Cuadrados | Números enteros que resultan de multiplicar un número por sí mismo. | \(1,4,9,16,25,36,49,...\) |
| Cubo | Números enteros que resultan de multiplicar un número por sí mismo 3 veces. | \(1,8,27,64,125,216,343,...\) |
| Primos | Este tipo de números sólo tienen 2 factores, porque sólo son divisibles por sí mismo y por 1. | \(2,3,5,7,11,13,17,...\) |
| Compuesto | Este tipo de números tiene más de 2 factores. | \(4,6,8,9,10,12,14,...\) |
| Perfecto | Números enteros que resultan de la suma de sus divisores propios. | \(6\) es un número perfecto, porque si sumas los divisores de \(6\), que son \(1\), \(2\) y \(3\), obtienes como resultado \(6\). Otros ejemplos son \(28, 496, 8128, ...\) |
| Fibonacci | Serie de números enteros, en la que cada número resulta de sumar los dos números anteriores, empezando por \(1\). | \(1,1,2,3,5,8,13,...\) |
Cuando ves una lista de números en orden y puedes identificar un patrón entre ellos, entonces has encontrado una secuencia numérica.
Una secuencia numérica es una lista de números en orden ascendente o descendente que sigue un patrón o regla para obtener el siguiente número (término) de la secuencia.
Las secuencias numéricas pueden ser finitas, si tienen un final, e infinitas, si no tienen final.
Aquí tienes algunos ejemplos que te ayudarán a reconocer una secuencia numérica.
Identifica si las siguientes listas de números representan una secuencia:
a) 1, 3, 5, 7, 9, ...
Sí, se trata de una secuencia numérica, porque es una lista de números en orden ascendente, y existe un patrón coherente para encontrar el término siguiente en la secuencia (sumar 2).
b) 4, 0, 3, 1, 7, ...
No, esto no es una secuencia numérica, porque es una lista de números sin ningún orden específico.
c) 2, 4, 6, 8, 0, ...
No, no es una secuencia numérica, porque el patrón no es coherente. Aunque los términos2º,3º y4º se obtienen sumando 2 al término anterior, el cero (0) del término5º rompe el patrón.
Lee Secuencias para saber más sobre los distintos tipos de secuencia numérica.
Los sistemasnuméricos son sistemas que representan números utilizando un conjunto específico de cifras y letras.
El sistema numérico más común, que utilizamos habitualmente, es el sistema decimal, que utiliza los dígitos del 0 al 9. En la tabla siguiente, también puedes ver otros tipos de sistemas numéricos que utilizan sobre todo los ordenadores.
| Nombre | Base | Dígitos/Letras | Ejemplo |
| Decimal | \(10\) | \((0 - 9)\) | \(15\) |
| Binario | \(2\) | \((0, 1)\) | \(15\) en binario:\((1111)_2\) |
| En octal: | \(8\) | \((0 - 7)\) | \(15\) en octal:\((17)_8\\) |
| En hexadecimal: | \(16\) | \(0 - 9, A - F) | \(15\) en hexadecimal:\((F)_{16}\) |
La tabla siguiente te muestra la equivalencia entre los distintos sistemas numéricos para los números del 0 al 15:
| Decimal | Binario | Octal | Hexadecimal |
| 0 | 0000 | 0 | 0 |
| 1 | 0001 | 1 | 1 |
| 2 | 0010 | 2 | 2 |
| 3 | 0011 | 3 | 3 |
| 4 | 0100 | 4 | 4 |
| 5 | 0101 | 5 | 5 |
| 6 | 0110 | 6 | 6 |
| 7 | 0111 | 7 | 7 |
| 8 | 1000 | 10 | 8 |
| 9 | 1001 | 11 | 9 |
| 10 | 1010 | 12 | A |
| 11 | 1011 | 13 | B |
| 12 | 1100 | 14 | C |
| 13 | 1101 | 15 | D |
| 14 | 1110 | 16 | E |
| 15 | 1111 | 17 | F |
Esto es sólo una introducción a los distintos tipos de sistemas numéricos, también puedes convertir números entre los distintos sistemas numéricos y realizar operaciones aritméticas con ellos, pero eso va más allá del alcance de este artículo.
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