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En este apartado comprenderemos el concepto de números racionales y fracciones y en qué se diferencian.
Significado de los números racionales y las fracciones
Los números racionales y los números fraccionarios son dos conceptos matemáticos que parecen estar muy relacionados y que la mayoría de las veces se utilizan indistintamente. Sin embargo, esta sección introducirá el significado de los números racionales y las fracciones, y en qué se diferencian.
Los númerosracionales son un tipo de número real que puede escribirse como el cociente de dos números enteros. Se expresan de la forma \(\frac{p}{q}\).
Observa que \(p\) y \(q\) son enteros y \(q\) es distinto de cero. Ejemplos de números racionales son \(12, 10/12, 3/10,\) y \(0,5\). El conjunto de los números racionales se denota siempre por \(\mathbb{Q}\).
Los números enteros son el conjunto de todos los números positivos, negativos y el cero. No contienen ninguna forma decimal ni fraccionaria.
Las fracciones son números que definen una parte o porción de cualquier cantidad entera escrita como cociente de números enteros. Tienen la forma \(a / b\) donde \(a\) es el numerador y \(b\) es el denominador.
Ten en cuenta que tanto el numerador como el denominador son números enteros y que el denominador no puede ser cero. Ejemplos de fracciones son \(10/32, 12/10, 4/23,\) y \(6/7\).
Losnúmeros enteros son un conjunto de números naturales y cero. Es decir, todos los números enteros positivos con cero sin ninguna parte decimal, fraccionaria o negativa.
Aunque tanto las fracciones como los números racionales se parecen, no siempre son iguales. Como los números racionales tienen números enteros y contienen números negativos, no pueden considerarse fracciones. Como las fracciones no incluyen números negativos.
Número racional
Según la definición anterior, un número racional es un tipo de número real que se expresa de la forma \(p / q\), donde \(p\) y \(q\) son números enteros y no iguales a \(0\). Sencillamente, puede decirse que cualquier fracción con denominador distinto de cero es un número racional.
La forma estándar de los números racionales se expresa cuando no tiene factores comunes distintos de uno entre el dividendo y el divisor y, por tanto, el divisor es positivo. Así pues, la forma estándar de las fracciones se consigue simplificando las fracciones. Por ejemplo, \(3/9\) es un ejemplo de número racional, pero además puede ser divisible para tener \(1/3\). En la forma \(1/3\), se considera la forma estándar, puesto que el número ya no es divisible por ningún otro número que no sea \(1\) y él mismo.
Recuerda que el número que divides se llama dividendo, y el número por el que realizas la división se llama divisor.
Fracciones
El concepto matemático de fracción se utiliza para describir partes de un todo. Cuando tomamos una porción de pizza del todo, por ejemplo, decimos que tenemos una fracción del mismo. Las fracciones son números dados de la forma \(\frac{a}{b}) donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) no es igual a \(0\).
La fracción con numerador \(0\) es \(0\), pero la fracción con \(0\) como denominador es indefinida. Una fracción se denota con la simple "/" en la forma \(a/b\) donde \(a\), el número superior se llama numerador, y \(b\), el número inferior se llama denominador. Ejemplos de fracciones son \(12/20, 5/6,\) y \(50/100\).
Fig. 1. Fracción de las partes de un círculo.
Diferencias entre números racionales y fracciones
Existen diferencias significativas entre los números racionales y las fracciones, y son las siguientes:
| Números racionales | Fracción |
| 1. Los números racionales tienen la forma \(p/q\), donde \(p\) y \(q\) son números enteros. | 1. Los números racionales tienen la forma \(a/b\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros. |
| 2. Los números racionales tienen la forma de números positivos y negativos. | 2. La fracción sólo tiene la forma positiva de los números. |
| 3. Los números racionales no pueden considerarse fracciones. | 3. La fracción puede considerarse un número racional. |
| 4. Ejemplos - \(-3/7, 1/3, 12\) | 4. Ejemplos - \(4/5, 1\frac{2}{5}, 23/6\) |
Tipos de números racionales
Hay varios tipos de números racionales, y son los siguientes;
Números enteros, por ejemplo, \(-3, 5,\) y \(4\).
Fracciones de la forma \(p / q\) donde \(p\) y \(q\) son enteros, Por ejemplo, \(1/2\).
Números que no tienen infinitos decimales, por ejemplo, \(1/4\) de \(0,25\). También se llaman decimales terminales.
Números que tienen infinitos decimales, por ejemplo, \(1/3\) de \(0,333....., 1,222.....\), etc. Se conocen como decimales no terminales.
Números enteros.
Tipos de fracciones
Hay bastantes tipos de fracciones. Si queremos utilizar el numerador y el denominador como base, pueden considerarse tres: fracción propia, fracción mixta y fracción impropia. Sin embargo, éstas se subdividen a su vez en distintos tipos.
Fracción propia
Las fracciones propias son aquellas en las que los numeradores son menores que el denominador (numerador < denominador). Por ejemplo, \(3/4\) es una fracción propia.
Fracción mixta
Las fracciones mixtas son combinaciones de números enteros y fracciones propias. Se escriben como \(a\frac{m}{n}) donde \(a\) es el número entero. Un ejemplo de fracción mixta es \(1\frac{2}{5}\).
Fracción impropia
Las fracciones impropias, a diferencia de las fracciones propias, son aquellas cuyo denominador es menor que los numeradores. (denominador < numerador). Un ejemplo es \(4/3\).
Fracciones semejantes
Las fracciones semejantes son fracciones que tienen los mismos denominadores. Un ejemplo es \(1/7\) y \(4/7\). Ambas fracciones tienen el mismo denominador que \(7\), por lo que se consideran fracciones semejantes.
Fracciones distintas
Este tipo de fracciones se contraponen a las fracciones semejantes. Tienen valores diferentes en su denominador. Un ejemplo de fracción distinta es \(11/13\) y \(4/9\).
Fracción equivalente
Dos fracciones pueden considerarse equivalentes cuando después de simplificarlas realizando una multiplicación o división. ambas dan lo mismo. Por ejemplo, \(2/3\) y \(4/6\) son fracciones equivalentes porque \(4/6\) puede simplificarse adicionalmente para que sea \(2/3\).
Fracciones unitarias
Cuando el numerador de una fracción es igual a \(1\), se denomina fracción unitaria. Algunos ejemplos son \(1/2\) (la mitad de un entero) y \(1/4\) (la cuarta parte de un entero).
Suma y resta de números racionales y fracciones
El denominador desempeña un papel importante en la suma y multiplicación de números racionales y fracciones. Veamos cómo podemos realizar la operación de sumar y restar en números racionales y fracciones.
Suma y resta de fracciones
Para sumar y restar fracciones hay que seguir los pasos indicados:
Comprueba el tipo de fracción si son fracciones semejantes o no.
Convierte la fracción dada en una fracción semejante, si no lo son. Pasa al paso 4 si son fracciones semejantes.
Encuentra el mínimo común múltiplo de los denominadores dados. A continuación, multiplica por el número equivalente a todos los denominadores dados para obtener el mismo valor del denominador.
Suma/resta el numerador manteniendo el denominador tal cual.
Si es posible, reduce las fracciones obtenidas.
Suma y resta de números racionales
Seguimos el mismo proceso de las fracciones para sumar y restar números racionales:
Convierte todos los denominadores en números positivos si alguno de ellos es negativo.
Utiliza LCM para que todos los denominadores sean iguales, si son diferentes.
Suma/resta los números enteros del numerador siguiendo las reglas de los números enteros. Y mantén el denominador tal cual.
Simplifica el número racional.
Multiplicación y división de números racionales y fracciones
La multiplicación y división de números racionales y fracciones siguen la misma regla con la suma de las reglas de los números enteros para los números racionales.
Multiplicación de números racionales y fracciones
La multiplicación de números racionales y fracciones sigue las reglas dadas:
Multiplica entre sí los numeradores de todos los números dados.
Multiplica entre sí los denominadores de todos los números.
Simplifica la fracción/número racional obtenido.
Recuerda que cuando trates con números racionales sigue siempre las reglas de multiplicación de signo positivo y negativo.
División de números racionales y fracciones
La división de números racionales es como sigue:
Toma el recíproco de la segunda fracción/número racional intercambiando el numerador con el denominador y viceversa.
Cambia el signo de división por el de multiplicación después de realizar el recíproco.
Sigue las reglas de multiplicación de los números racionales y las fracciones anteriores.
Ejemplo de números racionales y fracciones
Veamos algunos ejemplos de números racionales y fracciones.
Identifica los tipos de fracciones.
1. \(\frac{6}{7}, \frac{4}{7})
2. \(2frac {3} {8})
3. \(\frac{12}{9}})
Solución:
1. Como ambos denominadores son iguales.
2. Fracción mixta - Tiene una fracción con un número entero.
3. Fracción impropia - El numerador es mayor que el denominador.
Divide el número racional \(\frac{-3}{10}}) entre \(\frac{7}{5}}).
Solución:
Aquí tenemos que realizar
\[\frac{-3}{10}\div\frac{7}{5}\]
Paso 1- Tomar el recíproco de \(\frac{7}{5}})
\[flecha derecha \frac{5}{7}]
Paso 2 - Cambiando el signo de división por el de multiplicación tras obtener el recíproco tenemos
\[\frac{-3}{10}\times \frac{5}{7}\]
Paso 3 - Ahora multiplicamos el numerador de ambos números entre sí y lo mismo con los denominadores.
\empezar \frac{-3} {10} veces \frac{5} {7} &= \frac{-3} {5} {10} {7} veces \\ &=\frac{-15}{70} \\ fin{align}
Paso 4 - Ahora reducimos el número racional obtenido.
\[Flecha derecha \frac{-15}{70} = \frac{-3}{14}\]
Calcula la fracción dada.
\[\frac{1}{3}+\frac{4}{5}\]
Solución:
Paso 1 - Aquí las dos fracciones no son fracciones semejantes. Por tanto, las convertimos en fracciones semejantes.
Paso2 - Consideramos el MCD de los denominadores \(3\) y \(5\) para convertir las fracciones dadas en fracciones semejantes.
Por tanto, el MCL de \(3\) y \(5\) es \(15\).
Paso 3 - Ahora multiplicamos \(5\) por \(\frac{1}{3}}) para que el denominador sea \(15\). Del mismo modo, multiplicamos \(3\) a \(\frac{4}{5}\) y sumamos ambos numeradores que obtenemos,
\Inicio \Flecha derecha \frac {1 veces 5} {3 veces 5} + \frac {4 veces 3} {5 veces 3} &= \frac {5} {15}+ \frac {12} {15} \ &=\frac{5+12}{15} \ &=\frac{17}{15} \\ fin{align}
Aquí, \(\frac{17}{15}\) ya está en la forma reducida.
Números racionales y fracciones - Puntos clave
- Un número racional es un tipo de número real que se expresa en la forma \(p / q\), donde \(p\) y \(q\) son enteros y no iguales a \(0\).
- Las fracciones son números expresados de la forma \(a / b\), donde \(a\) y \(b\) son números enteros y \(b\) no es igual a \(0\).
- Todas las fracciones son números racionales, mientras que no todos los números racionales son fracciones.
Los números racionales son los que tienen decimales terminados o no terminados.
Los distintos tipos de fracciones son: fracción propia, fracción impropia, fracción mixta, fracción semejante, fracción distinta, fracción equivalente y fracción unitaria.
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