\( f(x) = 3x^2 + 2x + 5\) es lo mismo que \ ( f(x) = 3x^2 + 2x^1 + 5x^0\)
De las Reglas exponenciales, recuerda que \(x^1 = x\) y \(x^0 = 1\).
Es un polinomio porque sigue la Forma de Función Polinómica.Función polinómica
La Función Polinómica sigue la forma estándar:
\[ f(x) = a_n x^n + a_{n-1}x^{n-1} + a_{n-2}x^{n-2} + \ puntos + a_1 x + a_0 .\]
Observa que escribimos los términos de un polinomio en orden decreciente, del exponente mayor al menor.
La mayor potencia o exponente presente en un polinomio se denomina grado del polinomio.
No todos los términos deben estar presentes en un polinomio. Si falta algún término, puedes suponer que su coeficiente es cero (0).
Por ejemplo, si tienes \(3x^2 + 8 = 0\), es lo mismo que \(3x^2 + 0x + 8 = 0\ )
Evaluación de polinomios
Para evaluar un polinomio, basta con sustituir \(x\) por un número para hallar su solución.
Evalúa \ ( f(x) = 3x^2 + 2x + 5\) cuando \(x=4\).
\[ \begin{align} f(4) &= 3\cdot 4^2 + 2\cdot 4 + 5 &= 3\cdot 16 + 8 + 5 &= 48 + 13 &= 61 \end{align} \]
Sumar o restar polinomios
Para sumar polinomios, puedes utilizar la propiedad distributiva para combinar términos semejantes de modo que acabes con un solo término por cada exponente, así:
Suma \( 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5\) y \(x^4 + x^2 + 3x + 2\)
Combinando términos semejantes,
\(3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 )+ (x^4 + x^2 + 3x + 2 ) &= x^4 + 3x^3 + (2x^2 + x^2) + (6x + 3x) + (5+2) \= x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 9x + 7.\pend{align} \}
Otro método consiste en apilar los polinomios uno sobre otro para que puedas ver más fácilmente los términos semejantes. En este caso, tienes que completar los términos que faltan suponiendo que tienen coeficiente cero (0):
\[ \begin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \& \phantom{0}x^4 + 0x^3 + \phantom{0} x^2 + 3x + 2 \hline & \phantom{0} x^4 + 3x^3 + 3x^2 + 9x + 7 \end{array} \b]
Puedes ver que el resultado es el mismo que antes, pero este método te proporciona una forma más organizada de identificar términos similares y evita confusiones.
Para restar polinomios, puedes seguir el mismo método, pero recuerda tener cuidado con los signos. Ahora restaremos los mismos polinomios que antes:
\[ \bbegin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \ - & (\phantom{0}x^4 + 0x^3 + \phantom{0} x^2 + 3x + 2) \end{array} \]
es lo mismo que
\[ \begin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \ + & -x^4 - 0x^3 - \phantom{0} x^2 - 3x - 2 \end{array} \].
así que
\[ \begin{array}{ll} &0x^4 + 3x^3 + 2x^2 + 6x + 5 \+& -x^4 + 0x^3 - \phantom{0} x^2 - 3x - 2 \hline & -x^4 + x^3 + 3x^2 + 9x + 7 \end{array} \].
¿Cómo factorizar polinomios?
Factorizar polinomios consiste en reescribir polinomios como producto de dos o más términos más sencillos. Debes abordar estos problemas de forma diferente, dependiendo del grado del polinomio y del coeficiente del término de mayor potencia:
Si el grado es 2 y el coeficiente de \(x^2\) es 1, basta con encontrar los factores que hacen que el polinomio sea igual a cero.
\(x^2+5x+6=0\)
Encuentra los factores de 6 que al multiplicarse sean iguales a +6 y al sumarse sean iguales a +5. En este caso, los factores que cumplen los requisitos son 2 y 3.
\[ (x+2)(x+3)=0\]
Si el grado es 2 y el coeficiente de \(x^2\) no es 1: Aquí tienes que seguir algunos pasos más:
\(2x^2+13x+15 = 0\)
1. Multiplica el coeficiente de \(x^2) y la constante.
\(2 \cdot 15 = 30\)
2. Encuentra los factores de 30.
Si el signo de la constante es positivo, tienes que sumar los factores de 30 que dan el coeficiente de x cuando se suman. Si el signo de la constante es negativo, tienes que incluir los factores de 30 que dan el coeficiente de x cuando se restan.
| 1 | |
| 2 | |
| 3 | |
| 5 | |
Los factores de 30 que dan 13 al sumarlos son 3 y 10.
3. Copia el término \(2x^2\) y la constante como en el polinomio original, y entre estos términos, añade los factores hallados en el paso anterior.
\[2x^2 + 3x+10+15=0\]
4. Factoriza agrupando los dos primeros términos \(2x^2+3x\) y los dos últimos términos \(10x+15\)5. Extrae el factor común de ambos grupos:
\[ 2x^2 + 3x + 10x + 15 = 0 \]
Ahora que los términos del paréntesis coinciden, saca el factor común:
\[\begin{align} x(2x+3) + 5(2x+3) &= 0 \\ (2x+3)(x+5)&=0 \end{align} \]
Las dos soluciones son \( x = -\frac{3}{2}\}) y \(x=-5\}).
Si el grado es mayor que 2: En este caso, puede que tengas que extraer los factores comunes, si es posible, y también utilizar el factor por agrupación.
En la ecuación \(6x^3 + 11x^2 + 4x=0\), \(x\) es un factor común, así que sácalo primero para obtener
\[ x(6x^2 + 11x + 4) = 0\]].
luego sigue los pasos del ejemplo anterior para \(6x^2 + 11x + 4\).
Sigue ahora los pasos del caso anterior cuando el grado sea 2 y el coeficiente de \(x^2\) no sea 1.
\(6 \cdot 4 = 24\)
| 24 | |
Los factores de 24 que dan 11 al sumarlos son 3 y 8. Así que
\6x^2 + 11x + 4 &= 3x(2x+1) + 4(2x+1) &= (2x+1)(3x+4). \fin].
Eso significa
\6x^3 + 11x^2 + 4x &= x(6x^2 + 11x + 4) &= x(2x+1)(3x+4) \end{align} .\]
Observando
\[x(2x+1)(3x+4) = 0 \]
las soluciones son \(x=0\), \(x = -\frac{1}{2}}), y \(x = -\frac{4}{3}}).
¿Cómo puedes simplificar polinomios?
Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias que contengan polinomios, tienes que factorizar el numerador y el denominador, y luego cancelar los factores comunes.
Simplifica las fracciones siguientes:
- Cancelando el factor común \(3x-1\), \[ \frac{(x+4)(3x-1)}{3x-1} = \frac{(x+4) \cancel{(3x-1)}}{\cancel{3x-1}} = x+4 \].
Factorizando el numerador y luego cancelandoel factor común \(x-3\) \[ \frac{x^2 + x - 12}{x-3} = \frac{(x+4)(3x-1)}{3x-1} = \frac{(x+4) \cancel{(3x-1)}}{\cancel{3x-1} = x+4 \]
Factorizando el numerador y el denominador ycancelando después el factor común \(x+1) \[ \begin{align} \frac{x^2 + 3x + 2}{x^2 + 5x + 4} &= \frac{(x+1)(x+2)}{(x+1)(x+4)} \frac{{cancelar{(x+1)}(x+2)}{cancelar{(x+1)}(x+4)} &= \frac{x+2}{x+4}. \end{align}\]
Factorizando el numerador y el denominador y cancelando después el factor común \(x+5)\[ \begin{align} \&= \frac{2x^2+13x+15}{x^2 + 4x - 5} &= \frac{(2x+3)(x+5)}{(x-1)(x+5)} \frac{(2x+3)\cancel{(x+5)}{(x-1)\cancel{(x+5)}} \\ &= \frac{2x+3}{x-1}. \fin].
Dividir polinomios
Para dividir polinomios, se utiliza el método de la división larga. Aquí tienes un ejemplo de los pasos a seguir:
Divide \(x^3 + x^2 -36\) entre \(x-3\)
Antes de empezar, tenemos que identificar cada parte de la división. \(x^3 + x^2 -36\) es el dividendo, \(x-3\) es el divisor, y el resultado se llama cociente. Lo que quede al final es el resto.
Recuerda completar los términos que falten en el dividendo con el coeficiente cero, de modo que el polinomio quede en orden decreciente de exponentes.
En primer lugar, divide el primer término del dividendo \(x^3) entre el primer término del divisor \(x\), y luego pon el resultado \(x^2) como primer término del cociente.
Multiplica el primer término del cociente \(x^2\) por cada término del divisor, y coloca los resultados bajo el dividendo alineados con su correspondiente exponente.
Resta los términos semejantes, teniendo cuidado con los signos.
Baja el siguiente término del polinomio (dividendo).
Repite los pasos 1 - 4 hasta que el grado de la expresión del resto sea menor que el del divisor.
\[ \begin{array}{rll} x^2 + 4x + 12 && \\\ x-3 \enclose{longdiv}{; x^3 + x^2 + 0x - 36} {kern-.2ex \} {subrayar{-\; (x^3 -3x^2){\fantom{+ 0x - 36 }} && \hbox{Resta términos semejantes}{\hbox}. \\ 4x^2 + 0x \phantom{-360}&& \hbox{Bajar $0x$} \\ (4x^2-12x)-(4x^2-12x)-(4x^2-12x)-(4x^2-12x)-(4x^2-12x)-(4x^2-12x)-(4x^2-12x)-(4x^2-12x)+0}&&& \\ x^3 + x^2}12x-36 && \hbox{Bajar $-36$} \\ && \hbox{Restar términos semejantes} \phantom{x^3 + x^2}-(12x-36 )} \\ El resto es cero. \end{array}\]
¿Cómo utilizar el teorema del factor con polinomios?
El teorema del factor puede utilizarse para acelerar el proceso de factorización. Establece que si sustituyes un valor \(p\) en una función polinómica \(f(x\)) y da como resultado cero \(f(p)=0\), entonces puedes decir que \(x - p\) es un factor de \(f(x)\).
Es especialmente útil en el caso de los polinomios cúbicos, y puedes proceder como sigue:
Puedes sustituir valores en \(f (x)\) hasta que encuentres un valor que haga\(f(p)=0\).
Divide \(f(x)\) entre \(x - p) ya que el resto será cero.
Escribe \ (f(x)\) como \ ((x - p)g(x)\) donde \(g(x)\) es un polinomio de grado menor.
Factoriza el factor cuadrático restante para escribir \ (f(x)\) como el producto de 3 factores lineales.
- Demuestra que \(x-1\) es un factor de \(4x^3 - 3x^2 - 1\)\[ \begin{align} f(1) &= 4(1)^3 - 3(1)^2 - 1 \\\\= 4-3-1 \= 0 ,\end{align}\]
por lo que \(x-1\) es efectivamente un factor de \ (4x^3 - 3x^2 - 1\)
- Demuestra que \(x-1\) es un factor de \(x^3 + 6x^2 + 5x - 12\) \[ \begin{align} f(1) &= (1)^3 +6(1)^2 +5(1) - 12 \\\\\}= 1+6+5-12 &= 0 ,\end{align}\] por lo que \(x-1\) es efectivamente un factor de \(x^3 + 6x^2 + 5x - 12\)
Divide el \(f (x)\) entre \(x-p\)
\x^2 + 7x + 12 && x-1 \enclose{longdiv}{; x^3 + 6x^2 + 5x - 12} {kern-.2ex \} {subrayar{-; (x^3 -x^2)} {fantom{+ 0x - 36 }} && \hbox{Restar términos semejantes} \\ 7x^2 + 5x \phantom{-360}&& \hbox{Restar $5x$} \\ (7x^2-7x)-(7x^2-7x)-(+0)}&& \\ x^3 + x^2}12x-12 && \hbox{Bajar $-12$} \\ x^3 + x^2}-(12x-12 )} && \hbox{Restar términos semejantes} \\ El resto es cero. \end{array}\]
Escribe \(f (x)\) como \((x-p)g(x)\) y luego factoriza \(g(x)\)\[ \begin{align} x^3 + 6x^2 + 5x - 12 &= (x-1)(x^2 + 7x + 12) \ &= (x-1)(x+3)(x+4). \fin{align} \]
Polinomios - Puntos clave
Los polinomios son expresiones con varios términos que contienen una variable elevada a una serie de exponentes enteros positivos, y cada término puede multiplicarse por coeficientes.
Los términos de un polinomio se escriben en orden decreciente de exponente.
Para evaluar un polinomio, sustituye x por un número para hallar su solución.
Para sumar, restar y dividir expresiones polinómicas, completa los términos que falten suponiendo que tienen coeficiente cero.
Factorizar polinomios consiste en reescribirlos como producto de dos o más términos más sencillos.
Para simplificar expresiones algebraicas fraccionarias que contengan polinomios, factoriza el numerador y el denominador, y luego cancela los factores comunes.
Para dividir polinomios, utiliza el método de la división larga.
El teorema del factor puede utilizarse para acelerar el proceso de factorización, especialmente en el caso de polinomios cúbicos.
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