Potencias Raíces Y Radicales: 'Propiedades', 'Ejemplos'

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Si necesitas revertir el proceso para averiguar qué número se elevó a una potencia dada, entonces puedes utilizar raíces, también conocidas como radicales. En este artículo definiremos qué son las potencias y las raíces, y explicaremos con más detalle cómo se relacionan entre sí, sus reglas y propiedades, y algunos ejemplos prácticos de cómo resolverlas.

Definición de potencias

Potencia es el exponente al que se eleva una variable. Por ejemplo, la expresión x² se lee como "x a la potencia de 2", o"x al cuadrado", lo que significa que el valor de x se multiplica por sí mismo tantas veces como el valor de la potencia o exponente. En este caso, x se multiplica por sí misma dos veces. LOLA

Ejemplos de potencias

Si el valor de x es 5, podemos calcular $x^{2}$ de la siguiente manera,

$x^{2} = 5^{2} = 5 \cdot 5 = 25$ .

Del mismo modo, podemos calcular $x^{3}$ y $x^{4}$ :

$x^{3} = 5^{3} = 5 \cdot 5 \cdot 5 = 125$ .

Observa que si ya conoces el valor de 5², que es 25, puedes multiplicarlo por 5 una vez más para obtener el valor de 5³.

$x^{4} = 5^{4} = 5 \cdot 5 \cdot 5 \cdot 5 = 5^{3} \cdot 5 = 125 \cdot 5 = 625$ .

Importante recordar

Si una variable no tiene potencia ni exponente, se supone que es 1. Por ejemplo $x^{1} = x$ .

Además, cualquier variable a la potencia de 0 (cero) es igual a 1. Por convención, tenemos $x^{0} = 1$ .

Reglas y propiedades de las potencias

Puedes consultar Potencias y exponentes para obtener una explicación más detallada de las reglas que debes utilizar cuando trabajes con potencias.

Aquí tienes las reglas y propiedades de las potencias, también conocidas como propiedades o leyes de los exponentes, que debes tener en cuenta.

Consejo: Nombre de propiedad fácil de recordar	Expresión de la propiedad
Producto base idéntico	$x^{a} \cdot x^{b} = x^{a + b}$
División en la misma base	$x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$
Producto del mismo exponente	$x^{a} \cdot y^{a} = {(x y)}^{a}$
División con el mismo exponente	$x^{a} \div y^{a} = {(x \div y)}^{a}$
Exponente doble	${(x^{a})}^{b} = x^{a \times b}$
Exponente cero	$x^{0} = 1$
Exponente negativo	$x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$
Exponente fraccionario	$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$

Propiedades del exponente inteligente - StudySmarter

Definición de raíces y radicales

Las raíces, también llamadas radicales, son la inversa de las potencias. Para calcular la $n^{t h}$ raíz de un número $(\sqrt[n]{x})$ necesitamos encontrar qué número multiplicado por sí mismo n veces nos da el número dentro del símbolo radical (x) que se llama radicando.

Potencias Raíces Y Radicales Indicar la raíz enésima de un número StudySmarter La raíz enésima de un número x

Ejemplos de raíces y radicales

El índice n de una raíz puede ser cualquier número entero positivo, y da nombre al radical. Exploremos algunos ejemplos de las raíces y radicales más comunes que encontrarás en Matemáticas.

Raíces cuadradas

Si $n = 2$ , $\sqrt[2]{x}$ se refiere a la raíz cuadrada de un número x. En este caso, normalmente omitimos el 2, y escribimos simplemente $\sqrt{x}$ .

Si quieres hallar la raíz cuadrada de un número, tienes que averiguar qué número multiplicado por sí mismo nos daría el número dentro de la raíz cuadrada.

Si quieres hallar la raíz cuadrada de 25, tienes que encontrar qué número multiplicado por sí mismo es igual a 25.

$\sqrt{25} = \pm 5$

Pero, ¿por qué el resultado es ± 5?

Porque tanto 5 como -5, elevados a la potencia de 2, dan 25:

5 \cdot 5 = 25, (- 5) \cdot (- 5) = {(- 1)}^{2} \cdot (5^{2}) = 25 .

Por tanto, siempre hay dos respuestas cuando sacamos la raíz cuadrada de un número positivo.

$\sqrt{- 25} \neq - 5$

La raíz cuadrada de un número negativo no tiene solución real; en este caso se necesitan números imaginarios. Sólo los números positivos pueden tener su raíz cuadrada tomada de esta forma, porque no podemos encontrar ningún número que una vez elevado a la potencia 2 nos dé un número negativo.

Tipos de raíces cuadradas

Las raíces cuadradas se pueden clasificar según el tipo de número que haya dentro de la raíz, como sigue.

Raíz cuadrada de cuadrados perfectos:

La raíz cuadrada de cuadrados perfectos da como resultado un número entero. Es muy fácil de calcular y útil de recordar cuando se trabaja con expresiones que contienen potencias y raíces. Ayuda a evaluar y simplificar este tipo de expresiones. A modo de recordatorio, aquí tienes las diez primeras.

$\sqrt{1}$	$\sqrt{4}$	$\sqrt{9}$	$\sqrt{16}$	$\sqrt{25}$	$\sqrt{36}$	$\sqrt{49}$ $\sqrt{49}$	$\sqrt{64}$	$\sqrt{81}$	$\sqrt{100}$
$\pm 1$	$\pm 2$	$\pm 3$	$\pm 4$	$\pm 5$	$\pm 6$	$\pm 7$	$\pm 8$	$\pm 9$	$\pm 10$

La raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos:

La raíz cuadrada de los números que no son cuadrados perfectos no es un número entero. Producen números irracionales con infinitos decimales. Para representar más exactamente este tipo de números, se dejan en su forma de raíz.

$\sqrt{2}, \sqrt{3}, \sqrt{5}, \sqrt{6}, \sqrt{7}$ .

Si el número dentro de la raíz tiene como factor un número cuadrado, entonces se puede simplificar.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

Los pasos a seguir para simplificar radicales son:

Escribe el número dentro de la raíz como la multiplicación de sus factores. Uno de los factores debe ser un número al cuadrado.

$\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2}$

Divide los factores en raíces separadas

$\sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2}$

Simplifica los términos

$\sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 . \sqrt{2}$

Elimina el símbolo de multiplicación

$2 \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}$

Raíces del cubo

Si $n = 3$ , $\sqrt[3]{x}$ se refiere a la raíz cúbica de un número x.

Si quieres hallar la raíz cúbica de un número, tienes que averiguar qué número multiplicado por sí mismo tres veces nos daría el número que está dentro de la raíz cúbica. Es lo contrario de elevar un número a la $3^{r d}$ potencia.

Si quieres encontrar la raíz cúbica de 8, tienes que encontrar qué número multiplicado por sí mismo tres veces es igual a 8.

\sqrt[3]{8} = 2

De hecho

2 \cdot 2 \cdot 2 = 8 .

Observa que en este caso sólo tenemos una respuesta, no dos. Esto se debe a que cuando multiplicas un número negativo por sí mismo tres veces, el resultado también es negativo.

$(- 2) \cdot (- 2) \cdot (- 2) = - 8$ .

Por tanto, la única respuesta posible es 2. $\sqrt[3]{- 8} = - 2$

$\sqrt[3]{- 8} = - 2$

Raíces cúbicas PUEDES tomar la raíz cúbica de un número negativo.

Ejemplos de raíces y radicales: Otras raíces

Raíz^4ª: Las reglas son similares a las de las raíces cuadradas.
^5ª Raíz: Las reglas son similares a las de las raíces cúbicas.
En términos generales, las raíces impares tienen una solución, y las pares tienen dos soluciones.

Reglas y propiedades de raíces y radicales

Cuando trabajes con raíces y radicales, debes recordar las siguientes reglas y propiedades:

Multiplicar radicales

Siempre que el índice de las raíces sea el mismo, puedes multiplicar radicales con distintos números dentro de la raíz simplemente combinándolos en una raíz y multiplicando los números dentro de la raíz. Del mismo modo, puedes dividir una raíz en raíces separadas utilizando factores.

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{b} = \sqrt{a \cdot b}$ .

$\sqrt{2} \cdot \sqrt{5} = \sqrt{2 \cdot 5} = \sqrt{10}$ .

Dividir radicales

Del mismo modo, siempre que el índice de las raíces sea el mismo, puedes dividir radicales con distintos números dentro de la raíz combinándolos en una raíz y dividiendo los números dentro de la raíz.

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}} = \sqrt{a \div b}$ .

$\frac{\sqrt{10}}{\sqrt{2}} = \sqrt{\frac{10}{2}} = \sqrt{10 \div 2} = \sqrt{5}$ .

Multiplicar una raíz cuadrada por sí misma

Si multiplicas la raíz cuadrada de un número por sí misma, obtendrás el valor original.

$\sqrt{a} \cdot \sqrt{a} = {(\sqrt{a})}^{2} = a$ .

a-a=a2=a

$\sqrt{3} \cdot \sqrt{3} = {(\sqrt{3})}^{2} = 3$ .

Multiplicar un número por un radical

Al multiplicar un número por un radical, el orden de los factores no importa, y el resultado debe ser el número seguido del radical.

$a \cdot \sqrt{b} = \sqrt{b} \cdot a = a \sqrt{b}$ .

$3 \cdot \sqrt{2} = \sqrt{2} \cdot 3 = 3 \sqrt{2}$ .

Sumar o restar radicales

Para sumar o restar radicales, el número que hay dentro de las raíces debe ser el mismo. Sumas o restas los números que están fuera de la raíz.

$a \sqrt{d} + b \sqrt{d} = (a + b) \sqrt{d}$ .

$a \sqrt{d} - b \sqrt{d} = (a - b) \sqrt{d}$ .

$5 \sqrt{3} + 2 \sqrt{3} = (5 + 2) \sqrt{3} = 7 \sqrt{3} 5 \sqrt{3} - 2 \sqrt{3} = (5 - 2) \sqrt{3} = 3 \sqrt{3}$

Para sumar o restar radicales, puede que primero tengas que simplificarlos para encontrar términos semejantes.

No puedes añadir $\sqrt{2} + \sqrt{8}$ pero puedes simplificar $\sqrt{8}$ primero,

\sqrt{8} = \sqrt{4 \cdot 2} = \sqrt{4} \cdot \sqrt{2} = 2 \sqrt{2}

Luego puedes resolver $\sqrt{2} + \sqrt{8} = \sqrt{2} + 2 \sqrt{2} = 3 \sqrt{2}$ .

Multiplicación de paréntesis con radicales

Para multiplicar paréntesis que contienen radicales, cada término del primer paréntesis debe multiplicarse por cada término del segundo paréntesis. Luego puedes combinar términos semejantes.

(2 + \sqrt{3}) (5 + \sqrt{3}) = 2 \cdot 5 + 2 \sqrt{3} + 5 \sqrt{3} + {(\sqrt{3})}^{2}

$= 10 + 7 \sqrt{3} + 3$

$= 13 + 7 \sqrt{3}$

¿Cómo se escriben potencias como raíces y raíces como potencias?

Para escribir potencias como raíces y raíces como potencias, tenemos que entender cómo funcionan los exponentes fraccionarios.

Exponentes fraccionarios

Los exponentes fraccionarios son equivalentes a las raíces, como se muestra en la siguiente ley de exponentes.

$x^{\frac{a}{b}} = \sqrt[b]{x^{a}}$ .

Utilizando esta expresión, puedes escribir cualquier exponente fraccionario como raíz.

$x^{\frac{1}{2}} = \sqrt{x}$

$x^{\frac{1}{3}} = \sqrt[3]{x}$

$x^{\frac{2}{3}} = \sqrt[3]{x^{2}}$

Puedes utilizar la misma expresión para escribir cualquier raíz como exponente fraccionario.

$\sqrt[4]{x} = x^{\frac{1}{4}}$

$\sqrt[6]{x^{5}} = x^{\frac{5}{6}}$

Lee la explicación sobre Exponentes racionales para saber más sobre este tema.

Resolver potencias, raíces y radicales

Ahora que sabes cómo trabajar con exponentes fraccionarios y, teniendo en cuenta las leyes de los exponentes, tienes todo lo que necesitas para evaluar o simplificar expresiones que contengan potencias, raíces y radicales. Aquí tienes algunos ejemplos.

a) Evalúa o simplifica $\sqrt{50}$

Recordando los cuadrados perfectos, puedes cambiar $\sqrt{50}$ a $\sqrt{25 \cdot 2}$

$\sqrt{50} = \sqrt{25} \cdot \sqrt{2}$

$\sqrt{50} = 5 \sqrt{2}$

$5 \sqrt{2}$ no puede simplificarse más, por lo que se deja en su forma de raíz cuadrada.

b) Evaluar o simplificar $\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}}$

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{1}{2}} . x^{\frac{1}{4}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ Transformando las raíces en exponentes fraccionarios.

$\frac{\sqrt{x} . \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = \frac{x^{\frac{3}{4}}}{x^{\frac{1}{3}}}$ Utilizando la ley de los exponentes $x^{a} \cdot x^{b} = x^{a + b}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{3}{4} - \frac{1}{3}}$ Utilizando la ley de exponentes $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$ .

$\frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt[4]{x}}{\sqrt[3]{x}} = x^{\frac{5}{12}}$

c) Evalúa o simplifica $\frac{12 x^{4} y^{2}}{3 x^{6}}$

$\frac{12 x^{4} y^{2}}{3 x^{6}} = 4 x^{- 2} y^{2}$ Utilizando la ley de los exponentes $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$ y simplificando $\frac{12}{3}$ .

$\frac{12 x^{4} y^{2}}{3 x^{6}} = \frac{4 y^{2}}{x^{2}}$ Utilizando la ley de los exponentes $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$ .

d) Evalúa o simplifica ${(\frac{x y^{2}}{x^{3}})}^{- 3}$

${(\frac{x y^{2}}{x^{3}})}^{- 3} = {(\frac{x^{3}}{x y^{2}})}^{3}$ Utilizando la ley de los exponentes $x^{- a} = \frac{1}{x^{a}}$ invierte la fracción,

$= \frac{{(x^{3})}^{3}}{{(x y^{2})}^{3}}$ distribuyendo el exponente en el numerador y el denominador,

$= \frac{x^{9}}{x^{3} y^{6}}$ Utilizando la ley de los exponentes $x^{a} \div x^{b} = x^{a - b}$ ,

=x9x3y6 ${(\frac{x y^{2}}{x^{3}})}^{- 3} = \frac{x^{6}}{y^{6}}$

Potencias, raíces y radicales - Puntos clave

Potencia es el exponente al que se eleva una variable o un número.
Las raíces o radicales son los inversos de las potencias.
Las raíces impares tienen una solución, mientras que las pares tienen dos.
Sólo se pueden sacar raíces cuadradas de números positivos sin utilizar números imaginarios.
A los números negativos se les puede sacar la raíz cúbica.
Conocer las raíces cuadradas de los cuadrados perfectos y las leyes de los exponentes es muy útil a la hora de evaluar o simplificar expresiones algebraicas que contengan potencias y raíces.

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Preguntas frecuentes sobre Potencias Raíces Y Radicales

¿Qué es una potencia en matemáticas?

Una potencia es una expresión que indica cuántas veces se multiplica un número por sí mismo.

¿Cuál es la diferencia entre raíz y radical?

Una raíz es el valor que, al elevarse a una potencia específica, da como resultado el número original. Un radical es el símbolo que se utiliza para representar la raíz.

¿Cómo se simplifican los radicales?

Simplificar radicales implica expresar el número en su forma más simple, extrayendo factores fuera del radical cuando sea posible.

¿Qué relación tienen las potencias y las raíces?

Las raíces son la operación inversa de las potencias; por ejemplo, la raíz cuadrada es la inversa de elevar al cuadrado.

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