¿Qué es una potencia en matemáticas?

Una potencia representa el producto de multiplicar un número por sí mismo varias veces, indicado por el exponente.

¿Cómo se calcula una potencia?

Para calcular una potencia, multiplica la base tantas veces como indique el exponente.

¿Qué es un exponente en matemáticas?

Un exponente es un número que indica cuántas veces se multiplica la base por sí misma.

¿Cuáles son las leyes de los exponentes?

Las leyes incluyen: producto de potencias, cociente de potencias, potencia de una potencia, y potencia de un producto.

Potencias y Exponentes: Ejemplos, Reglas

Potencias y Exponentes

Potenciasy exponentes son términos que pueden causar confusión, ya que a veces se utilizan indistintamente. Sin embargo, en este artículo te explicaremos su definición oficial y su significado, así como las distintas leyes que puedes utilizar para resolver problemas de potencias en Álgebra con ejemplos prácticos.

Pruéablo tú mismo

Significado de potencias y exponentes

Las potencias son expresiones matemáticas de la forma $x^{n}$ donde x es la base y n el exponente. Las potencias representan multiplicaciones repetidas, donde la base es el número o variable que se multiplica repetidamente, y el exponente indica cuántas veces hay que multiplicar la base por sí misma.

A partir de la definición anterior, identifiquemos cada parte de una potencia y su significado:

Potencias y exponentes Representación de potencias StudySmarter Partes de una potencia, StudySmarter Originals

La expresión $x^{n}$ puede leerse como x a la potencia $n^{t h}$ . La base (x) se escribe en tamaño completo, y el exponente (n) se escribe más pequeño y en la parte superior de la línea utilizando superíndice (si lo estás escribiendo en un ordenador). Por ejemplo $x^{2}$ se lee como x a la segunda potencia, o x al cuadrado, lo que en la práctica significa que el valor de x se multiplica por sí mismo tantas veces como el valor del exponente, que en este caso es 2, así

$x^{2} = x \cdot x$ .

Recuerda: El valor del exponente te indica cuántas veces se repetirá la base en la multiplicación. Si un número o variable no tiene exponente, se supone que es 1. Por ejemplo, $x^{1} = x$ . Además, cualquier número o variable con exponente 0 (cero) es igual a 1. Por ejemplo, , $x^{0} = 1$ .

Ejemplos de potencias

Aquí tienes algunos ejemplos de potencias, incluyendo cómo puedes leer las expresiones y su significado:

Poder	En palabras	Significado
$3^{1}$	Tres a la primera potencia	$3$
$5^{2}$	Cinco a la segunda potencia, o cinco al cuadrado	$5 \cdot 5$
$2^{3}$	Dos a la tercera potencia, o dos al cubo	$2 \cdot 2 \cdot 2$
$7^{4}$	Siete a la cuarta potencia	$7 \cdot 7 \cdot 7 \cdot 7$
$10^{5}$	Diez a la quinta potencia	$10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10 \cdot 10$
$x^{n}$	x a la ^enésima potencia	$x \cdot x \cdot x \cdot . . . \cdot x$ x se repite tantas veces como el valor de n

Cómo resolver potencias

Para resolver potencias, debes considerar dos situaciones diferentes:

1. Si la base es un número: En este caso, basta con multiplicar la base por sí misma tantas veces como el valor del exponente para hallar la solución.

Resuelve $3^{3}$

3^{3} = 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27

2. Si la base es una variable: En este caso, tienes que sustituir la variable por un valor y luego proceder como antes.

Resuelve $x^{5}$ cuando x = 2

$x^{5} = 2^{5} = 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 \cdot 2 = 32$

Leyes de los exponentes

Las distintas leyes de los exponentes que puedes utilizar para resolver problemas de Álgebra son las siguientes:

Nombre	Ley	Descripción	Ejemplo
Uno como exponente	$x^{1} = x$	Cualquier número o variable elevado a la primera potencia es igual al mismo número o variable.	$2^{1} = 2$
Cero como exponente	$x^{0} = 1$	Cualquier número o variable elevado a la potencia cero es igual a 1.	$5^{0} = 1$
Exponente negativo	$x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$	Cualquier número o variable elevado a un exponente negativo es igual a su recíproco, que es 1 sobre el mismo número o variable con exponente positivo.	$x^{- 2} = \frac{1}{x^{2}}$
Potencia de una potencia	${(x^{m})}^{n} = x^{m \cdot n}$	Si tienes una potencia elevada a otra potencia, puedes simplificar esta expresión multiplicando los exponentes.	${(x^{2})}^{3} = x^{2 \cdot 3} = x^{6}$
Producto	Misma base $x^{m} \cdot x^{n} = x^{m + n}$	Si tienes el producto de dos potencias con la misma base, puedes combinarlas sumando los exponentes.	$x^{3} \cdot x^{5} = x^{3 + 5} = x^{8}$
Producto	Base diferente $x^{m} \cdot y^{n} = (x^{m}) \cdot (y^{n})$	Si tienes el producto de dos potencias con bases y exponentes diferentes, tienes que resolver cada potencia por separado y luego multiplicar los resultados.	$2^{3} \cdot 3^{2} = (2^{3}) \cdot (3^{2}) = (2 \cdot 2 \cdot 2) \cdot (3 \cdot 3) = 8 \cdot 9 = 72$
Cociente	$\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$	Si tienes el cociente de dos potencias con la misma base, puedes combinarlas restando el exponente del numerador menos el exponente del denominador.	$\frac{x^{6}}{x^{2}} = x^{6 - 2} = x^{4}$
Potencia deun producto	${(x \cdot y)}^{n} = x^{n} \cdot y^{n}$	Si tienes la potencia de un producto, puedes repartir el exponente a cada factor.	${(x \cdot y)}^{5} = x^{5} \cdot y^{5}$
Potencia de un cociente	${(\frac{x}{y})}^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}$	Si tienes la potencia de un cociente, puedes distribuir el exponente entre el numerador y el denominador.	${(\frac{x}{y})}^{4} = \frac{x^{4}}{y^{4}}$

Resolver potencias y exponentes

A veces necesitarás utilizar más de una ley de exponentes para poder resolver problemas más complejos:

1. Evalúa o simplifica $\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}}$

$\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}} = 6 x^{- 1} y^{5}$ utilizando la ley del cociente $\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$

$\frac{24 x^{4} y^{5}}{4 x^{5}} = \frac{6 y^{5}}{x}$ utilizando la ley del exponente negativo $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$

2. Evalúa o simplifica ${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2}$

${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2} = {(\frac{2 x^{3}}{3 x y^{2}})}^{2}$ utilizando la ley del exponente negativo $x^{- n} = \frac{1}{x^{n}}$ , voltea la fracción

$= \frac{{(2 x^{3})}^{2}}{{(3 x y^{2})}^{2}}$ utilizando la ley de la potencia de un cociente ${(\frac{x}{y})}^{n} = \frac{x^{n}}{y^{n}}$ , distribuye el exponente

$= \frac{4 x^{6}}{9 x^{2} y^{4}}$ mediante la ley del cociente $\frac{x^{m}}{x^{n}} = x^{m - n}$

${(\frac{3 x y^{2}}{2 x^{3}})}^{- 2} = \frac{4 x^{4}}{9 y^{4}}$

Aplicación de potencias y exponentes

Estarás pensando que las potencias y los exponentes son muy interesantes, pero ¿dónde y cuándo necesitaría utilizarlos? Vamos a darte una idea de las diversas aplicaciones de las potencias y exponentes en la vida real.

Las potencias y los exponentes se utilizan en muchos ámbitos, por ejemplo:

Podemos utilizar potencias y exponentes para representar números muy pequeños y también números muy grandes, con una notación matemática más sencilla.
La aplicación más evidente de las potencias y los exponentes es cuando calculamos medidas como el área o el volumen; como recordarás, cuando calculas el área, el resultado se da en unidades cuadradas, como ^cm2 o^m2, y el volumen se da en unidades cúbicas, como ^cm3 o^m3.
Lasescalas científicas, como la escala de pH y la escala de Richter, también utilizan potencias y exponentes para representar los distintos niveles en sus escalas. Como subir o bajar en las escalas representa un aumento o reducción de 10 veces el nivel anterior.
La física de los juegos de ordenador es otra aplicación de potencias y exponentes, que ayuda a calcular el movimiento, la interacción entre objetos y otras dinámicas de los juegos.
La capacidad de la memoria del ordenador también se representa mediante potencias y exponentes.
La arquitectura utiliza potencias y exponentes para especificar la escala de los modelos creados por un arquitecto en comparación con el tamaño de la estructura o edificio en la vida real.
Otros campos en los que se utilizan potencias y exponentes son la economía, la contabilidad y las finanzas, entre otros.

Potencias y exponentes: puntos clave

Las potencias son expresiones matemáticas de la forma $x^{n}$ donde x se denomina base y n es el exponente.
Las potenciasrepresentan multiplicaciones repetidas, donde la base es el número o variable que se multiplica repetidamente, y el exponente indica cuántas veces se repetirá la base en la multiplicación.
Para resolver potencias, considera si la base es un número o una variable. Si la base es un número, multiplica la base por sí misma tantas veces como el valor del exponente para hallar la solución. Si la base es una variable, sustituye la variable por un valor y procede como antes.
Las distintas leyes de los exponentes pueden utilizarse para ayudar a resolver problemas de álgebra.

Potencias y Exponentes

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Significado de potencias y exponentes

Ejemplos de potencias

Cómo resolver potencias

Leyes de los exponentes

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Aplicación de potencias y exponentes

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