Principio fundamental de recuento: Definición y fórmula
El principio fundamental de recuento se utiliza para determinar el número de resultados posibles en una situación dada, en relación con la probabilidad.
El principio fundamental de recuento establece que
Si hay m resultados posibles para el suceso M y n resultados posibles para el suceso N, entonces el número de resultados posibles en los que al suceso M le sigue el suceso N es m × n.
Al hablar de probabilidad, ¿qué es exactamente un suceso? Un suceso es un resultado o un conjunto de resultados múltiples, a los que se puede asignar una probabilidad de ocurrencia en un experimento estadístico. Por ejemplo, en el caso de lanzar un dado, el lanzamiento en sí es el suceso, mientras que los posibles números resultantes (del 1 al 6) constituyen el conjunto de resultados posibles. Hay dos tipos de sucesos que trataremos en relación con el principio fundamental de recuento: los sucesos independientes y los sucesos dependientes.
Los sucesosindependientes no afectan a la probabilidad de ocurrencia de otros sucesos, y sus probabilidades de ocurrencia tampoco se ven afectadas por otros sucesos. Por ejemplo, la elección de los dígitos de un número de teléfono son sucesos independientes, ya que cada dígito elegido no afecta a la elección de los demás.
Por otra parte, la probabilidad de ocurrencia de los sucesos dependientes está influida por el resultado de otro suceso y depende de él. A la inversa, los sucesos dependientes también pueden afectar a las probabilidades de otros sucesos. Por ejemplo, los ganadores de la segunda ronda de un torneo de tenis por eliminatorias dependen de los resultados de los partidos de la primera ronda. Por lo tanto, el resultado de la segunda ronda depende del resultado de la primera ronda.
La distinción entre estos dos tipos de sucesos es importante a la hora de utilizar el principio fundamental de recuento, porque el hecho de que un suceso sea independiente o dependiente influye en su número de resultados posibles. Si un suceso es dependiente, su número de resultados puede ser limitado.
Ejemplos del principio fundamental de recuento
Veamos algunos ejemplos para comprender mejor el principio fundamental de recuento y cómo aplicar su fórmula. Exploraremos cómo se utiliza tanto para los sucesos independientes como para los dependientes.
Sucesos independientes
Un carrito de bocadillos ofrece a los clientes la posibilidad de elegir entre hamburguesa, pollo o pescado en un panecillo normal o con semillas de sésamo. ¿Cuántas combinaciones diferentes de carne y pan son posibles?
Solución:
Aquí podemos tener 3 tipos distintos de carne y 2 tipos distintos de pan. Como la situación requiere una serie o combinación de selecciones, aquí se puede aplicar el principio fundamental del recuento. La selección del tipo de carne no se ve afectada por la selección del tipo de bollo, lo que hace que estas dos selecciones sean sucesos independientes. Para llegar al número total de combinaciones posibles, primero debemos preguntarnos cuántos sucesos hay en esta situación y cuántos resultados están asociados a cada suceso.
Suceso 1: Se selecciona un tipo de carne.
- 3 resultados: Esta selección podría dar lugar a cualquiera de las tres opciones de hamburguesa, pollo o pescado.
Suceso 2: Se selecciona un bollo.
- 2 resultados: Esta selección podría dar lugar a cualquiera de las dos opciones de bollo normal o bollo de sésamo.
Según el principio fundamental del recuento, esto significa que hay 3 × 2 = 6 combinaciones posibles (resultados).
El principio fundamental de recuento puede utilizarse para casos con más de dos sucesos. Por ejemplo, si hay 4 sucesos E1, E2, E3 y E4 con sus respectivos resultados posibles O1, O2, O3 y O4, el número total de posibilidades de los cuatro sucesos juntos se calcularía como O1 × O2 × O3 × O4. Veamos un problema de ejemplo que calcula los posibles resultados de tres sucesos tomados en conjunto.
Vas a pedir una pizza. Puedes elegir entre 3 tipos diferentes de masa, 8 ingredientes diferentes y 3 tipos diferentes de queso. ¿Cuántos tipos de pizza puedes pedir?
Solución:
Como la selección de cortezas, coberturas y quesos no se afectan entre sí, sabemos que estos tres sucesos de selección son independientes.
Suceso 1: Se selecciona un tipo de corteza.
- 3 resultados: Esta selección podría dar lugar a cualquiera de las tres opciones. ( )
Suceso 2: Se selecciona una cobertura.
- 8 resultados: Esta selección podría dar lugar a cualquiera de las 8 opciones de coberturas. ( )
Suceso 3: Se selecciona un queso.
- 3 resultados: Esta selección podría dar lugar a cualquiera de las 3 opciones de queso. ( )
Por lo tanto, según elprincipio fundamental del recuento, la cantidad total de pizzas que se pueden hacer con las opciones anteriores son: .
Diagrama de árbol del principio fundamental de recuento
El principio fundamental de recuento también puede demostrarse utilizando un diagrama de árbol, que nos ayuda a considerar los posibles resultados de los acontecimientos desde una perspectiva visual. Volvamos a nuestro primer problema de ejemplo y creemos un diagrama de árbol para analizarlo visualmente. Supongamos que H representa la hamburguesa, C el pollo y F el pescado:
Diagrama de árbol - StudySmarter Original
Para cada una de estas tres opciones de carne, tenemos dos "ramas" subsiguientes del diagrama de árbol que muestran los posibles resultados del siguiente evento de selección, con las opciones de un bollo normal (P) y un bollo con semillas de sésamo (S). Los nodos más bajos del árbol (también conocidos como hojas del árbol) dan cada uno de los posibles resultados del experimento en su conjunto, de los que hay 6: HP, HS, CP, CS, FP y FS.
Sucesos dependientes
Los ejemplos que hemos visto hasta ahora se referían a sucesos independientes. Sin embargo, el principio fundamental de recuento también puede aplicarse a los sucesos dependientes. Veamos un ejemplo que trata de sucesos dependientes.
La escuela de Juan ofrece 8 periodos cada día, y debe elegir 4 asignaturas en total para el curso escolar. Tiene que crear un horario con 1 clase de cada asignatura cada día. Suponiendo que todas las asignaturas estén disponibles durante cada periodo, ¿cuántos horarios posibles puede elegir Juan?
Solución:
Cuando Juan programa una clase determinada para un periodo determinado, no puede programar esa clase para ningún otro periodo. Por tanto, las elecciones son sucesos dependientes.
Suceso 1: Juan programa la 1ª asignatura.
- 8 resultados: Puede programar la 1ª asignatura en 8 franjas horarias (periodos) diferentes. ()
Suceso 2: Juan programa la 2ª asignatura.
- 7 resultados: Ahora que ha programado la 1ª asignatura, tiene 7 opciones para la 2ª asignatura. ()
Suceso 3: Juan programa la 3ª asignatura.
- 6 resultados: Ahora que ha programado la 1ª y la 2ª asignatura, le quedan 6 opciones para la 3ª. ()
Evento 4: Juan programa la 4ª asignatura.
- 5 resultados: Ahora que las asignaturas 1ª, 2ª y 3ª están programadas, quedan 5 opciones para la 4ª. ()
Por tanto, según el principio fundamental de recuento, el número total de horarios posibles es
8 × 7 × 6 × 5 = 1,680.
Por tanto, Juan tiene 1.680 opciones posibles para programar sus clases.
Permutaciones y combinaciones con el principio fundamental del recuento
Aunque existen múltiples métodos para calcular permutaciones y combinaciones, una de las opciones es utilizar el principio fundamental de recuento.
En primer lugar, aclaremos la diferencia entre permutaciones y combinaciones. Tanto las permutaciones como las combinaciones tratan el tema de la selección de un determinado número de objetos de un conjunto dado de objetos. Así, supongamos que hay una prueba para un equipo de fútbol en la que se presentan 100 personas, pero tenemos que elegir a 11 de esas 100. Suponiendo que el orden en que se seleccionan esos 11 jugadores no importe, se trata de una combinación. Si el orden en que seleccionamos a esos jugadores sí importa, se conoce como permutación.
Ahora, utilicemos el principio fundamental de recuento para calcular los posibles resultados de un problema de combinación.
¿Cuántos números hay entre 100 y 999 cuya cifra central sea 4?
Solución:
Dado que la cifra central es fija, los 2 sucesos aquí son la selección de las cifras más a la izquierda y más a la derecha. La cifra de la izquierda se puede seleccionar de 9 formas posibles (de 1 a 9), y la cifra de la derecha se puede seleccionar de 10 formas posibles (de 0 a 9). Los sucesos son independientes entre sí.Así, según el principio fundamental de recuento, el total de números posibles es:9 × 10 = 90 números
Principio fundamental del recuento - Puntos clave
- El principio fundamental del recuento se utiliza para determinar el número de resultados posibles en una situación dada, en relación con la probabilidad.
- Si hay m formas de que ocurra el suceso M y n formas de que ocurra el suceso N, entonces el suceso M seguido del suceso N puede ocurrir de m × n formas.
- Lossucesosindependientes son aquellos cuya probabilidad de ocurrencia no depende de ningún otro suceso.
- Los sucesosdependientes son aquellos cuya probabilidad de ocurrencia depende del resultado de otro suceso.
- El principio fundamental de recuento puede extrapolarse a casos con múltiples sucesos.
- El principio fundamental de recuento puede aplicarse tanto a los sucesos dependientes como a los independientes.
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