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Este artículo mostrará cómo podemos tomar vectores y aplicarlos a un contexto físico.
Significado del triple producto escalar
El triple producto escalar es un principio que utilizamos para hallar el volumen de un paralelepípedo, una forma de 6 lados en la que cada lado es un paralelogramo o un tetraedro.
El triple producto escalar implica en realidad dos operaciones vectoriales vistas anteriormente: la multiplicación por puntos y la multiplicación cruzada.
La multiplicación cruzada de dos vectores dará como resultado una cantidad vectorial, pero la posterior multiplicación por puntos para hallar el producto escalar reducirá los vectores a un valor escalar.
Así es como podemos calcular el volumen de las formas nombradas anteriormente a partir de tres vectores: obtenemos un único número al final del proceso.
Puedes recordar la siguiente definición de cantidad vectorial.
Una cantidad vectorial se representa en términos de \(x,y,z\) y, como tal, tiene tres componentes. Los vectores también tienen una magnitud y una dirección definidas.
La definición de una cantidad escalar es la siguiente.
Una cantidad escalar es un valor singular que sólo tiene magnitud. No tiene dirección.
Triple producto escalar de vectores
Sabemos que los vectores pueden utilizarse para describir el movimiento y suelen tener forma de movimiento en las direcciones \(x,\, y,\, z\). En forma vectorial, se convierten en \(\vec{i},\, \vec{j},\, \vec{k}) respectivamente y con esta notación, podemos realizar muchas operaciones con vectores.
Para hallar el triple producto escalar de tres vectores debes estar familiarizado con el principio de los productos escalares y los productos cruzados y cómo funcionan. En caso de que no lo estés, puedes consultar nuestros artículos sobre Productos escalares y Producto vectorial respectivamente para refrescarte la memoria.
El triple producto escalar consiste en hallar el producto escalar de un vector por el producto cruz de dos vectores. Se trata de una metodología más compleja que la del producto punto de dos, pero resulta útil para hallar los volúmenes de determinadas formas.
Primero hallamos el producto vectorial de los dos primeros vectores. Esto dará lugar a un vector que se utilizará en el producto punto con el tercer vector. Y esto dará lugar a un valor escalar.
Fórmula del triple producto escalar
Considera tres vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\), donde,\[\vec{a}=a_1\vec{i}+a_2\vec{j}+a_3\vec{k},\]\[\vec{b}=b_1\vec{i}+b_2\vec{j}+b_3\vec{k},\] and \[\vec{c}=c_1\vec{i}+c_2\vec{j}+c_3\vec{k}.\] Para hallar el triple producto escalar de estos vectores debemos hallar el producto cruz de dos de ellos y hallar el producto punto de este resultado con el tercer vector. En notación matemática, esto parece,\[\vec{a}\cdot (\vec{b}\veces\vec{c}).\]El valor absoluto de esta fórmula nos da el volumen de un paralelepípedo.
Para el volumen de un tetraedro, la fórmula que aplicarías es \(\frac{1}{6}\left[|\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})|right]\) cuando los vectores describen tres lados no coplanares de la forma.
A partir del producto vectorial, sabemos que el producto cruzado de (\vec{b}veces \vec{c}) viene dado por,\[\vec{b}veces \vec{c}=(b_2c_3-b_3c_2)\vec{i}-(b_1c_3-b_3c_1)\vec{j}+(b_1c_2-b_2c_1)\vec{k}.\]Si consideramos entonces el producto escalar del resultado del producto vectorial y el vector \(\vec{a}\) obtenemos la fórmula del triple producto escalar,\[\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1).\]
Propiedades del producto triple escalar
Como ya se ha dicho, el triple producto escalar se utiliza para hallar el volumen de un paralelepípedo, pero ¿qué significa esto en realidad?
Si consideramos que los vectores \(\vec{a}\), \(\vec{b}\) y \(\vec{c}\) son tres lados no paralelos de un paralelepípedo, podemos aplicar la fórmula del triple producto escalar para obtener un resultado del volumen de la forma.
Cuando tratamos de hallar el volumen de formas, el orden en que apliquemos estos vectores no importa, siempre que el proceso sea cíclico. This means:\[\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot (\vec{c}\times\vec{a})=\vec{c}\cdot (\vec{a}\times\vec{b}).\]
Veamos un ejemplo de esto.
Demuestra que \(\vec{a}\cdot (\vec{b}\veces\vec{c})=\vec{b}\cdot (\vec{c}\veces\vec{a})\) utilizando los vectores siguientes,
\[\vec{a}=5\vec{i}+2\vec{j}+6\vec{k},\]\[\vec{b}=-2\vec{i}+17\vec{j}+1\vec{k},\] and \[\vec{c}=8\vec{i}-5\vec{j}+13\vec{k}.\]
Solución
Utilizando nuestra fórmula general para \(\vec{a}\cdot (\vec{b}\veces\vec{c})\c),
\[\begin{align}\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})&=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)\\&=5[(17\cdot13)-(1\cdot-5)]+2[(1\cdot8)-(-2\cdot13)]\\ & \qquad +6[(-2\cdot-5)-(17\cdot8)]\\&=5(226)+2(34)+6(-126)\\&=1130+68-756\\&=442.\end{align}\]
Podemos volver a utilizar la fórmula general para \(\vec{b}\cdot (\vec{c}\veces\vec{a})\), desplazando las letras: donde había \(a's) ahora habrá \(b's), \(b's) se sustituirá por \(c's) y \(c's) se sustituirá por \(a's). Esto adoptará la forma, \begin{align}\vec{b}\cdot (\vec{c}\times\vec{a})&=b_1(c_2a_3-c_3a_2)+b_2(c_3a_1-c_1a_3)+b_3(c_1a_2-c_2a_1)&\b_3(c_1a_2-c_2a_1)+b_3(c_1a_2-c_2a_1)&.=-2[(-5\cdot6)-(13\cdot2)]+17[(13\cdot5)-(8\cdot6)]\\& \qquad+1[(8\cdot2)-(-5\cdot5)]\\&=-2(-56)+17(17)+1(41)\\&=112+289+41\\&=442.\end{align}\]
Como puedes ver, los números que pasan por el proceso cambian, pero como el proceso es cíclico, el resultado final es el mismo.
Por lo tanto, \[\vec{a}\cdot (\vec{b}\veces\vec{c})=\vec{b}\cdot (\vec{c}\veces\vec{a}).|].
Hay otra propiedad del triple producto escalar que aún no se ha discutido: formemos con nuestros tres vectores una matriz de 3 veces 3, [inicio{matriz}a_1&a_2&a_3\b_1&b_2&b_3\c_1&c_2&c_3\final{matriz}].
Si expandes la matriz anterior, deberías obtener el triple producto escalar. ¡Veamos cómo!
\[\begin{align} \begin{bmatrix}a_1&a_2&a_3\\b_1&b_2&b_3\\c_1&c_2&c_3\end{bmatrix} &=a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)\\ &=\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c}) \end{align}\]
El triple producto escalar es lo mismo que el determinante de esta matriz. Para saber por qué es así, consulta nuestro artículo sobre Determinantes de matrices.
La clave es que los menores y la expansión del determinante de una matriz (3 veces 3) reflejan la fórmula del triple producto escalar, por lo que te resultará más fácil recordar el proceso.
Veamos un ejemplo para hallar el triple producto escalar expandiendo el determinante.
Halla el volumen del paralelepípedo formado por las aristas coterminales dadas por los vectores, \[|vecec{a}=3\vec{i}-1\vec{j}-2\vec{k},\]\[\vec{b}=\vec{i}+3\vec{j}-2\vec{k},\] y \[\vec{c}=6\vec{i}-2\vec{j}+\vec{k}\]
Solución
Para hallar el volumen del paralelepípedo, debes hallar el triple producto escalar. Aquí hallarás el triple producto escalar por el método de los determinantes.
\[\begin{align} \begin{bmatrix}3&-1&-2\\1&3&-2\\6&-2&1\end{bmatrix} &=3(3\cdot1-(-2)\cdot(-2))+1(1\cdot1-(-2)\cdot6)\\&-2(1\cdot(-2)-3\cdot6)&= 3(3-4)+1(1+12)-2(-2-18)&=3(-1)+1(13)-2(-20)& =50 \mbox{ unidades}^3 . \end{align}\]
Por tanto, el volumen del paralelepípedo formado por las aristas coterminales de los vectores dados es \(50 \mbox{ unidades}^3\).
Ten en cuenta que, aunque obtengas un determinante negativo, debes tomar el módulo del triple producto escalar para obtener el volumen.
Además, hay muchas otras propiedades de los productos triples escalares que quedan fuera del alcance de Matemáticas Complementarias.
- El triple producto escalar no cambia si intercambiamos las posiciones de las operaciones sin cambiar las posiciones de los vectores. \[\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=(\vec{a}\times \vec{b})\cdot\vec{c}.\]
- El triple producto escalar se niega si intercambias dos de los tres vectores dados. \[\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=-\vec{a}\cdot (\vec{c}\times\vec{b}).\]
- El triple producto escalar es cero si alguno de los tres vectores dados es coplanario y viceversa.
Ejemplo de triple producto escalar
Empecemos con un ejemplo en el que necesitamos hallar el volumen de un paralelepípedo.
Halla el volumen del paralelepípedo con tres lados no paralelos descritos por los vectores,\[\vec{a}=2\vec{i}+1\vec{j}-1\vec{k},\]\[\vec{b}=-5\vec{i}+14\vec{j}-7\vec{k},\] and \[\vec{c}=16\vec{i}-3\vec{j}+12\vec{k}.\]
Solución
Sabemos que el volumen de un paralelepípedo viene dado por \(|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|). Por tanto\[\begin{align}\mbox{Volume}&=|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})|\\&=|a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)|\\&= 2[(14\cdot12)-(-7\cdot-3)]+1[(-7\cdot16)-(-5\cdot12)]|cuadrado +(-1)[(-5\cdot-3)-(14\cdot16)]|&=451 \mbox{ unidades}^3.\end{align}\]
Veamos ahora un ejemplo en el que necesitamos hallar el volumen de un tetraedro.
Halla el volumen del tetraedro con tres lados no coplanares descritos por los vectores, \[\vec{a}=-4\vec{i}+12\vec{j}+2\vec{k},\]\[\vec{b}=3\vec{i}+1\vec{j}-1\vec{k},\] and \[\vec{c}=4\vec{i}+3\vec{j}+2\vec{k}.\]
Solución
Sabemos que el volumen de un tetraedro viene dado por \(\frac{1}{6}left[\left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|\right]\). Therefore,\[\begin{align}\mbox{Volume}&=\frac{1}{6}\left[\left|\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c})\right|\right]\\&=\frac{1}{6}\bigg[\left|a_1(b_2c_3-b_3c_2)+a_2(b_3c_1-b_1c_3)+a_3(b_1c_2-b_2c_1)\right|\bigg]\\&=\frac{1}{6}\bigg[|(-4)[(1\cdot2)-(-1\cdot3)]+12[(-1\cdot4)-(3\cdot2)]\bigg.|cuadrado +2[(3\cdot3)-(1\cdot4)]||\bigg]|&=\frac{1}{6}\bigg[|izquierda | -4(5)+12(-10)+2(5)|derecha |\bigg]|&=\frac{1}{6}\cdot130\\i}=\frac{65}{3} \mbox{unidades}^3.\end{align}]
Producto triple escalar - Puntos clave
- El triple producto escalar se puede hallar con la fórmula siguiente,\[\vec{a}\cdot(\vec{b}\times\vec{c}).\].
- El triple producto escalar es cíclico, por lo que,\[\vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})=\vec{b}\cdot (\vec{c}\times\vec{a})=\vec{c}\cdot (\vec{a}\times\vec{b}).\]
- El valor absoluto de la fórmula anterior puede utilizarse para hallar el volumen de un paralelepípedo si los vectores son tres lados no paralelos de esta forma.
- El volumen de un tetraedro en el que los vectores son tres lados no coplanarios viene dado por: \[\frac{1}{6}\left[||vec{a}\cdot (\vec{b}\times\vec{c})|\right].\].
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