¿Qué símbolo utilizamos para la proporción?
Para representar que dos variables son proporcionales entre sí, utilizamos el símbolo \(\propto\). Por ejemplo, la ley de Ohm establece que la corriente que atraviesa un conductor entre dos puntos es directamente proporcional a la tensión entre ambos puntos. Si representamos la tensión por V y la corriente por I, podemos escribir \(V \propto I\).
Siempre que veamos un símbolo de proporcionalidad, podemos sustituirlo por un signo igual y una constante de proporcionalidad. Esto significa que podríamos escribir la ley de Ohm como \(V = kI\), donde k es nuestra constante.
¿Qué son las proporciones directas?
Si dos variables están en proporción directa, cuando una variable aumenta, también lo hace la otra. A la inversa, significa que cuando una variable disminuye, también lo hace la otra. Cualquier relación directa, para las variables A y B, puede escribirse como \(A = kB\). Esto significa que en un gráfico, esta relación se representará como una línea recta que pasa por el origen. Esto es lo que se muestra a continuación.
El peso de un trozo de cuerda es directamente proporcional a su longitud. Cuando el trozo de cuerda mide 30 cm, pesa 0,2 N. Halla el peso del trozo de cuerda cuando la cuerda mide 50 cm.
Sabemos que es directamente proporcional, por lo que conocemos la relación W\(\propto\) L, cuando W representa el peso y L representa la longitud. Sea a nuestra constante de proporcionalidad, de modo que \(W = aL\). De la primera parte de la pregunta, sabemos que \(0,2 = a \cdot 30\), por lo que \(a = \frac{1}{150}\). Ahora podemos utilizar esto para hallar el peso cuando la cuerda mide 50 cm. Se mantiene la misma relación, por lo que \(W = \frac{1}{150} L\). Sustituyendo nuestra longitud de 50 cm, obtenemos \(W = \frac{50}{150} = \frac{1}{3}\), por lo que, con dos decimales, W = 0,33N.
¿Qué son las proporciones inversas?
La proporción inversa se produce cuando el aumento de una variable hace que disminuya otra. Si esta relación se diera entre las variables c y d, escribiríamos \(c \propto \frac{1}{d}\). Un ejemplo de proporción inversa sería que, al aumentar la velocidad, disminuyera el tiempo necesario para recorrer una distancia. Gráficamente, esto significa que la forma de la relación estará representada por \(y = \frac{x}{k}\), con k constante, y x, y variables. Esto significa que la gráfica nunca tocará el eje, pero se acercará mucho a medida que pongamos un valor de x muy grande, o un valor de x extremadamente cercano a 0. Esto se muestra a continuación.
Dos variables, b y n, son inversamente proporcionales entre sí. Cuando b = 6, n = 2. Halla el valor de n cuando b es 15.
Sabemos que \(b \propto \frac{1}{n}\), así que \(b = \frac{k}{n}\), cuando k es nuestra constante de proporcionalidad. Completando los valores de b y n, obtenemos \(6 = \frac{k}{2}\), por lo que k = 12. Esto significa que para todos los valores de b y n, \(b = \frac{12}{n}\). Necesitamos hallar n cuando b = 15, así que podemos rellenar esto, para obtener \(15 =\frac{12} {n}\). Reordenando esto para n, obtenemos \(n = {12}{15} = 0,8\).
Proporciones y formas
Si dos formas están en proporción, significa que ambas formas son iguales, con la salvedad de que una de ellas se habrá escalado hacia arriba o hacia abajo. Para que dos formas sean semejantes, es necesario que todos los ángulos de la forma sean iguales y que todos los lados estén en proporción. También en este caso tendremos una constante de proporcionalidad, que relaciona las dos formas. En una dimensión, esto se llama factor de escala de longitud, en dos dimensiones lo llamaremos factor de escala de área, y en tres dimensiones se llama factor de escala de volumen. Podemos traducir entre factor de escala de longitud y factor de escala de volumen o de área. Para obtener el factor de escala de área, debemos multiplicar el factor de escala de longitud en dos dimensiones, de modo que ((\text{factor de escala de longitud})^2 = \text{factor de escala de área}\) Para obtener el factor de escala de volumen, debemos multiplicar el factor de escala de longitud en tres dimensiones, de modo que
((\text{factor de escala de longitud})^3 = \text{factor de escala de volumen}\)
Dos cubos son matemáticamente similares. El primer cubo tiene un área de caras de 16 m². Las caras del segundo cubo tienen la mitad de longitud que las caras del primero. Halla el volumen del segundo cubo. El factor de escala de longitud entre las formas es \(\frac{1}{2}\), lo que implica que el factor de escala de volumen es \(\big( \frac{1}{2}\big)^3 = \frac{1}{8}\). Si el primer cubo tiene un área de cara de 16 m², esto significa que debe tener longitudes de lado de 4 m, lo que implica que tiene un volumen de 64 m³. Como el factor de escala del volumen es \(\frac{1}{8}\), el volumen del segundo cubo es \(\frac{64}{8} = 8m^3\).
Los triángulos ABE y ACD son semejantes. Halla la longitud de CD. (Todas las longitudes están en cm)
La constante de proporcionalidad, k, entre AB y AC viene dada por (AC) = k (AB), lo que da 12 = k 8, por lo que k = 1,5. Esto significa que, como los triángulos son semejantes, CD = k (BE), por lo que \(CD = 1,5 \cdot 10 = 15 cm\)
Proporción - Puntos clave
El símbolo de la proporción es ∝.
Si dos cosas están en proporción, significa que existe una relación entre ellas.
Las proporciones directas son de la forma \(y \propto x\)
La proporción inversa tiene la forma \(y \propto \frac{1}{x}\)
Si dos variables/formas están en proporción, existe una constante de proporcionalidad.
(factor de escala de longitud) ² = factor de escala de área.
- (factor de escala de longitud) ³ = factor de escala de volumen .
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