raíces de números complejos

Halla la raíz cuadrada de lo siguiente.

$3+4i$

Solución:

El primer paso es igualar el número complejo al cuadrado de la ecuación general, por tanto,

$$\begin{gathered} 3+4i={(a+bi)}^2 \\ 3+4i=a^2+2abi+b^2{i}^2 \\ {i}^2=-1 \\ 3+4i=a^2+2abi-b^2 \end{gathered}$$

Recuerda que todas las expresiones con i son expresiones imaginarias, por tanto, reordena las expresiones juntando los términos semejantes:

$$\begin{gathered} 3+4i=a^2+2abi-b^2 \\ 3+4i=a^2-b^2+2abi \end{gathered}$$

A ambos lados de la ecuación, tenemos expresiones reales e imaginarias. Iguala las expresiones basándote en componentes similares (es decir, real con real e imaginario con imaginario). Así, para la componente real tenemos

$3=a^2-b^2$

y para la componente imaginaria tenemos:

$$\begin{gathered} 4i=2abi \\ \frac{4i}{2i}=\frac{2abi}{2i} \\ \frac{{}^2\cancel{4i}}{{}^1\cancel{2i}}=\frac{{}^1\cancel{2}ab\cancel{i}}{{}^1\cancel{2}\cancel{i}} \\ 2=ab \\ a=\frac{2}{b} \end{gathered}$$

Sustituye el valor de a por$\frac{2}{b}$en la ecuación, $3=a^2-b^2$. Por tanto

$$\begin{gathered} 3=a^2-b^2 \\ a=\frac{2}{b} \\ 3={\left(\frac{2}{b}\right)}^2-b^2 \\ 3=\frac{4}{b^2}-b^2 \end{gathered}$$

Multiplica por ^b2,

$$\begin{gathered} 3=\frac{4}{b^2}-b^2 \\ 3\times b^2=b^2\times (\frac{4}{b^2}-b^2) \\ 3b^2=4-b^4 \end{gathered}$$

Sea

$x=b^2$

Entonces

$$\begin{gathered} 3b^2=4-b^4 \\ x=b^2 \\ 3x=4-x^2 \\ {x}^2+3x-4=0 \\ {x}^2+4x-x-4=0 \\ (x^2+4x)+(-x-4)=0 \\ x(x+4)-1(x+4)=0 \\ (x-1)(x+4)=0 \\ x=1\mathrm{or}x=-4 \end{gathered}$$

Por tanto, el valor de x es 1 ó -4. Recuerda que

$x=b^2$

Por tanto

$$\begin{gathered} x=b^2 \\ \sqrt{x}=\sqrt{b^2} \\ b=\sqrt{x} \end{gathered}$$

Esto significa que b es $\sqrt{1}$ o $\sqrt{-4}$sabemos que $\sqrt{-4}$ no es válida, pero existe una solución para $\sqrt{1}$. Por tanto, b es +1 o -1. Recuerda que:

$a=\frac{2}{b}$

Por tanto

$$\begin{gathered} a=\frac{2}{b} \\ a=\frac{2}{1} \\ a=2 \end{gathered}$$

o

$$\begin{gathered} a=\frac{2}{b} \\ a=\frac{2}{-1} \\ a=-2 \end{gathered}$$

Recuerda que:

$3+4i={(a+bi)}^2$

Sustituyendo los valores de a y b para obtener la raíz del número complejo, tenemos;

$$\begin{gathered} 3+4i={(a+bi)}^2 \\ \sqrt{3+4i}=\sqrt{{(a+bi)}^2} \\ \sqrt{3+4i}=\pm (a+bi) \\ \sqrt{3+4i}=2+i \end{gathered}$$

o

$\sqrt{3+4i}=-2-i$

Por tanto, la raíz cuadrada del número complejo$3+4i$es$2+i$o$-2-i$.

Expresa el número complejo $Z=8+6i$ en forma polar.

Solución:

La forma polar de un número complejo se expresa mediante (r,θ). Para derivar ambos, en primer lugar, necesitamos hallar el módulo r, por tanto:

$$\begin{gathered} r=\left|Z\right| \\ \left|Z\right|=\sqrt{a^2+b^2} \\ r=\sqrt{a^2+b^2} \\ a=8 \\ b=6 \\ r=\sqrt{8^2+6^2} \\ r=\sqrt{64+36} \\ r=\sqrt{100} \\ r=10 \end{gathered}$$

A continuación, necesitamos hallar el argumento, θ. Por tanto,

$$\begin{gathered} \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{b}{a}\right) \\ \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{6}{8}\right) \\ \theta ={\tan }^{-1}(0.75) \\ \theta =36.87° \end{gathered}$$

Ahora que hemos deducido los valores del módulo y del argumento, podemos ponerlo en la ecuación de la forma polar, Así,

$$\begin{gathered} Z=r(\cos \left(\theta \right)+i\sin \left(\theta \right)) \\ Z=10\left(\cos \right(36.87°)+i\sin (36.87°\left)\right) \end{gathered}$$

Encuentra las raíces cuartas de la ecuación.

$Z^4=256$.

Solución:

En primer lugar, necesitamos expresar el número complejo en su forma polar. Pero para conseguirlo, hay que obtener el argumento θ. De acuerdo con el formato general:

$Z=a+bi$

Entonces

$$\begin{gathered} 256=256+0i \\ r=\sqrt{{256}^2+0^2}=256 \\ \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{0}{256}\right)=\pi \end{gathered}$$

Como el argumento θ es π, entonces la forma polar del número complejo ^Z4 puede expresarse como,

$Z^4=256\left(\cos \right(\pi )+i\sin (\pi \left)\right)$

Para hallar las raíces del número complejo en su forma polar aplicamos la fórmula:

$Z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\left)\right)$

Como necesitamos hallar valores para Z y tenemos ^Z4, significa que tenemos cuatro raíces. Esto significa que tendrías que resolver las situaciones en las que k es 0, 1, 2 y 3.

Por tanto, cuando k es 0

$$\begin{gathered} Z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\left)\right) \\ k=0 \\ \theta =\pi \\ {Z}^4=256\left(\cos \right(\pi )+i\sin (\pi \left)\right) \\ {\left(Z^4\right)}^{\frac{1}{4}}={256}^{\frac{1}{4}}\left(\cos \right(\frac{\pi +2\left(0\right)\left(\pi \right)}{4})+i\sin (\frac{\pi +2\left(0\right)\left(\pi \right)}{4}\left)\right) \\ Z=4(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}) \end{gathered}$$

Ésta es la primera raíz del número complejo.

Para resolver la segunda raíz, resolvemos k como 1, por lo tanto

$$\begin{gathered} Z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\left)\right) \\ k=1 \\ \theta =\pi \\ {Z}^4=256\left(\cos \right(\pi )+i\sin (\pi \left)\right) \\ {\left(Z^4\right)}^{\frac{1}{4}}={256}^{\frac{1}{4}}\left(\cos \right(\frac{\pi +2\left(1\right)\left(\pi \right)}{4})+i\sin (\frac{\pi +2\left(1\right)\left(\pi \right)}{4}\left)\right) \\ Z=4(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}) \end{gathered}$$

Ésta es la segunda raíz del número complejo.

Para resolver la tercera raíz, resolvemos k como 2, por tanto,

$$\begin{gathered} Z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\left)\right) \\ k=2 \\ \theta =\pi \\ {Z}^4=256\left(\cos \right(\pi )+i\sin (\pi \left)\right) \\ {\left(Z^4\right)}^{\frac{1}{4}}={256}^{\frac{1}{4}}\left(\cos \right(\frac{\pi +2\left(2\right)\left(\pi \right)}{4})+i\sin (\frac{\pi +2\left(2\right)\left(\pi \right)}{4}\left)\right) \\ Z=4(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}) \end{gathered}$$

Ésta es la tercera raíz del número complejo.

Para resolver la cuarta o última raíz, resolvemos k como 3, por tanto,

$$\begin{gathered} Z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\left)\right) \\ k=3 \\ \theta =\pi \\ {Z}^4=256\left(\cos \right(\pi )+i\sin (\pi \left)\right) \\ {\left(Z^4\right)}^{\frac{1}{4}}={256}^{\frac{1}{4}}\left(\cos \right(\frac{\pi +2\left(3\right)\left(\pi \right)}{4})+i\sin (\frac{\pi +2\left(3\right)\left(\pi \right)}{4}\left)\right) \\ Z=4(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}) \end{gathered}$$

Ésta es la última raíz del número complejo.

Así pues, nuestras raíces son

$$\begin{gathered} z=4(\cos \frac{\pi }{4}+i\sin \frac{\pi }{4}),z=4(\cos \frac{3\pi }{4}+i\sin \frac{3\pi }{4}) \\ z=4(\cos \frac{5\pi }{4}+i\sin \frac{5\pi }{4}),z=4(\cos \frac{7\pi }{4}+i\sin \frac{7\pi }{4}) \end{gathered}$$

Halla la tercera raíz de 8 en forma rectangular.

Solución:

Lo primero que hay que hacer es expresar 8 en la forma general de los números complejos.

$z=a+bi$

Así,

$z=8+0i$

Para derivar sus raíces, necesitamos hallar los valores de r y θ. Así,

$$\begin{gathered} r=\sqrt{a^2+b^2} \\ r=\sqrt{8^2+0^2} \\ r=\sqrt{8^2} \\ r=8 \\ \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{0}{8}\right) \\ \theta ={\tan }^{-1}0 \\ \theta =0or\pi \end{gathered}$$

Ahora que tenemos valores para r y θ, podemos hallar la raíz en la forma polar. Por tanto, tenemos que aplicar nuestra fórmula para los valores k 0, 1 y 2.

$$\begin{gathered} Z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\left)\right) \\ k=0 \\ r=8 \\ n=3 \\ \theta =\pi \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}\left(\cos \right(\frac{\pi +2\left(0\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3})+i\sin (\frac{\pi +2\left(0\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3}\left)\right) \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\right(}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{(}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)} \\ k=1 \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}\left(\cos \right(\frac{\pi +2\left(1\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3})+i\sin (\frac{\pi +2\left(1\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3} \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2\left(cos\right(\frac{3\mathrm{\pi }}{3})+isin(\frac{3\mathrm{\pi }}{3}\left)\right) \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathit{\pi }\mathbf{+}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathit{\pi }\mathbf{)} \\ k=2 \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}\left(\cos \right(\frac{\pi +2\left(2\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3})+i\sin (\frac{\pi +2\left(2\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3} \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\right(}\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{(}\frac{\mathbf{5}\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)} \end{gathered}$$

Las raíces que hemos obtenido (las respuestas en negrita) están en las formas polares; para convertirlas a las formas rectangulares, tenemos que encontrar los valores del coseno y el seno e introducirlos. Por tanto,

$$\begin{gathered} {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\right(}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{(}\frac{\mathbf{\pi }}{\mathbf{3}}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)} \\ \mathrm{If}\mathrm{we}\mathrm{consider}\mathrm{\theta }=0^{°}, \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{\left(}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{\right(}\mathbf{0}\mathbf{°}\mathbf{)}\mathbf{+}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{(}\mathbf{0}\mathbf{°}\mathbf{\left)}\mathbf{\right)} \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2(1+0i) \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{2} \end{gathered}$$

Repetiríamos los mismos valores de k que 1 y 2, pero en los casos siguientes, el primer ángulo es 0° porque la primera raíz está situada en el eje x positivo y como tal el ángulo formado (θ) es 0° que es el argumento, pero las siguientes raíces tienen ángulos mayores que 0° y se derivarían con$\frac{2k\pi }{n}$donde π es 180°. Por tanto

$$\begin{gathered} k=1 \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2\left(1\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3})+i\sin (\frac{\theta +2\left(1\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3}) \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2(\cos \left(\frac{0°+2\left(1\right)(180°)}{3}\right)+i\sin \left(\frac{0°+2\left(1\right)(180°)}{3}\right) \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2\left(\cos \right(120°)+i\sin (120°\left) \\ \cos \right(120°)=-\frac{1}{2} \\ \sin (120°)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2(-\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}i) \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{+}\sqrt{\mathbf{3}}\mathit{i} \\ k=2 \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=8^{\frac{1}{3}}(\cos \left(\frac{\theta +2\left(2\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3}\right)+i\sin \left(\frac{\theta +2\left(2\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{3}\right) \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2\left(\cos \right(\frac{0°+2\left(2\right)(180°)}{3})+i\sin (\frac{0°+2\left(2\right)(180°)}{3}) \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2(\cos (240°)+i\sin (240°) \\ \cos (240°)=-\frac{1}{2} \\ \sin (240°)=-\frac{\sqrt{3}}{2} \\ {Z}^{\frac{1}{3}}=2(-\frac{1}{2}-\frac{\sqrt{3}}{2}i) \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{3}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{1}\mathbf{-}\sqrt{\mathbf{3}}\mathit{i} \end{gathered}$$

Por tanto, las raíces complejas de 8 son 2, $-1+\sqrt{3}i$ y $-1-\sqrt{3}i$.

Halla las raíces cuartas del número complejo en su forma polar:

$-8+8\sqrt{3}i$

Solución:

Para obtener sus raíces, necesitamos hallar los valores de r y θ. Por tanto,

$$\begin{gathered} r=\sqrt{a^2+b^2} \\ r=\sqrt{{(-8)}^2+{\left(8\sqrt{3}\right)}^2} \\ r=\sqrt{64+192} \\ r=\sqrt{256} \\ \mathit{r}\mathbf{=}\mathbf{16} \\ \theta ={\tan }^{-1}\left(\frac{8\sqrt{3}}{-8}\right) \\ \theta ={\tan }^{-1}(-\sqrt{3}) \\ \mathit{\theta }\mathbf{=}\mathbf{120}\mathbf{°} \end{gathered}$$

Ahora que tenemos valores para r y θ, podemos hallar la raíz en la forma polar. Por tanto, vamos a aplicar nuestra fórmula para los valores k 0, 1, 2 y 3. Así,

$$\begin{gathered} Z^{\frac{1}{n}}=r^{\frac{1}{n}}\left(\cos \right(\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n})+i\sin (\frac{\theta +2k\mathrm{\pi }}{n}\left)\right) \\ k=0 \\ r=16 \\ n=4 \\ \theta =120° \\ \mathrm{\pi }=180° \\ {Z}^{\frac{1}{4}}={16}^{\frac{1}{4}}\left(\cos \right(\frac{120°+2\left(0\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{4})+i\sin (\frac{120°+2\left(0\right)\left(\mathrm{\pi }\right)}{4}\left)\right) \\ {Z}^{\frac{1}{4}}=2\left(cos\right(\frac{120°}{4})+isin(\frac{120°}{4}\left)\right) \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{30}\mathbf{°}\mathbf{+}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{30}\mathbf{°}\mathbf{)} \\ k=1 \\ {Z}^{\frac{1}{4}}={16}^{\frac{1}{4}}\left(\cos \right(\frac{120°+2\left(1\right)(180°)}{4})+i\sin (\frac{120°+2\left(1\right)(180°)}{4}) \\ {Z}^{\frac{1}{4}}=2(cos\left(\frac{480°}{4}\right)+isin\left(\frac{480°}{4}\right)) \\ {\mathit{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathit{c}\mathit{o}\mathit{s}\mathbf{120}\mathbf{°}\mathbf{+}\mathit{i}\mathit{s}\mathit{i}\mathit{n}\mathbf{120}\mathbf{°}\mathbf{)} \\ k=2 \\ {Z}^{\frac{1}{4}}={16}^{\frac{1}{4}}(\cos \left(\frac{120°+2\left(2\right)(180°)}{4}\right)+i\sin \left(\frac{120°+2\left(2\right)(180°)}{4}\right) \\ {\mathrm{Z}}^{\frac{1}{4}}=2\left(\cos \right(\frac{840°}{4})+\mathrm{isin}(\frac{840°}{4}\left)\right) \\ {\mathbf{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{cos}\mathbf{210}\mathbf{°}\mathbf{+}\mathbf{isin}\mathbf{210}\mathbf{°}\mathbf{)} \\ \mathrm{k}=3 \\ {\mathrm{Z}}^{\frac{1}{4}}={16}^{\frac{1}{4}}\left(\cos \right(\frac{120°+2\left(3\right)(180°)}{4})+\mathrm{isin}(\frac{120°+2\left(3\right)(180°)}{4}) \\ {\mathrm{Z}}^{\frac{1}{4}}=2(\cos \left(\frac{1200°}{4}\right)+\mathrm{isin}\left(\frac{1200°}{4}\right)) \\ {\mathbf{Z}}^{\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}}\mathbf{=}\mathbf{2}\mathbf{(}\mathbf{cos}\mathbf{300}\mathbf{°}\mathbf{+}\mathbf{isin}\mathbf{300}\mathbf{°}\mathbf{)} \end{gathered}$$

Las raíces en negrita son las cuatro raíces del número complejo $-8+8\sqrt{3}i$ en sus formas polares.