Razonamiento deductivo: Lógica, Puzzles

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Y si vas a una librería a comprar un libro físico, siempre sabrás que ese libro tendrá páginas. ¿Por qué? Porque intuitivamente sabes que, como todos los libros físicos tienen páginas, el que vas a comprar también las tendrá.

Estos son ejemplos de cómo utilizamos el razonamiento deductivo en nuestras vidas cada día sin darnos cuenta. No sólo eso, sino que en un gran número de preguntas matemáticas que has respondido alguna vez, has utilizado el razonamiento deductivo.

En este artículo repasaremos en detalle el razonamiento deductivo.

Razonamiento deductivo Definición

El razonamientodeductivo es la extracción de una conclusión verdadera a partir de un conjunto de premisas mediante pasos lógicamente válidos. Se puede decir que una conclusión es deductivamente válida si tanto la conclusión como las premisas son verdaderas.

Al principio puede parecer un concepto difícil de entender debido a la nueva terminología, ¡pero en realidad es muy sencillo! Cada vez que obtienes una respuesta con certeza a partir de una información inicial, has utilizado el razonamiento deductivo.

El razonamiento deductivo puede entenderse realmente como la extracción de hechos a partir de otros hechos y, en esencia, es el proceso de extraer conclusiones específicas a partir de premisas generales.

Hechos → Hechos

Premisas generales → Conclusiones específicas

Veamos algunos ejemplos de razonamiento deductivo para que esto quede más claro.

Ejemplos de razonamiento deductivo

A Jenny le dicen que resuelva la ecuación $2 x + 4 = 8$ ella sigue los siguientes pasos,

$2 x + 4 - 4 = 8 - 4$

$2 x = 8$

$2 x \div 2 = 8 \div 2$

$x = 4$

Como Jenny ha sacado una conclusión verdadera $x = 4$ a partir de la premisa inicial, $2 x + 4 = 8,$ se trata de un ejemplo de razonamiento deductivo.

A Bobby le hacen la pregunta " x es un número par menor que 10, no es múltiplo de 4 y no es múltiplo de 3. ¿Qué número es x? Como debe ser un número par menor que $10$ Bobby deduce que debe ser $2, 4, 6,$ o $8 .$ Como no es múltiplo de $4$ o $3$ Bobby deduce que no puede ser $4, 6,$ o $8 .$ Decide, por tanto, que debe ser $2 .$

Bobby ha sacado una conclusión verdadera $x = 2,$ a partir de las premisas iniciales de que $x$ es un número par menor que $10$ que no es múltiplo de $4$ o $3 .$ Por tanto, éste es un ejemplo de razonamiento deductivo.

Se le dice a Jessica que todos los ángulos menores que $90 °$ son ángulos agudos, y también que el ángulo $A$ es $45 ° .$ A continuación se le pregunta si el ángulo $A$ es un ángulo agudo. Jessica responde que como el ángulo $A$ es menor que $90 °,$ debe ser un ángulo agudo.

Jessica ha llegado a la conclusión verdadera de que el ángulo $A$ es un ángulo agudo, a partir de la premisa inicial de que todos los ángulos menores que $90 °$ son ángulos agudos. Por tanto, éste es un ejemplo de razonamiento deductivo.

No sólo son todos ellos ejemplos de razonamiento deductivo, sino que además te has dado cuenta de que hemos utilizado razonamiento deductivo para concluir que, de hecho, son ejemplos de razonamiento deductivo. ¡Es suficiente para que a cualquiera le duela la cabeza!

Algunos ejemplos más cotidianos de razonamiento deductivo podrían ser:

Todos los atunes tienen branquias, este animal es un atún, por lo tanto tiene branquias.
Todos los cepillos tienen mango, este utensilio es un cepillo, por tanto tiene mango.
Acción de Gracias es el 24 de noviembre, hoy es 24 de noviembre, por tanto hoy es Acción de Gracias.

Por otra parte, a veces cosas que pueden parecer razonamientos deductivos sólidos, en realidad no lo son.

Método de razonamiento deductivo

Con suerte, ya sabes qué es el razonamiento deductivo, pero quizá te preguntes cómo puedes aplicarlo a distintas situaciones.

Bueno, sería imposible abarcar cómo utilizar el razonamiento deductivo en todas las situaciones posibles, ¡hay literalmente infinitas! Sin embargo, es posible desglosarlo en unos pocos principios clave que se aplican a todas las situaciones en las que se emplea el razonamiento deductivo.

En el razonamiento deductivo, todo empieza con una premisa o conjunto de premisas. Estas premisas son simplemente afirmaciones que se sabe o se supone que son verdaderas, a partir de las cuales podemos extraer una conclusión mediante el proceso deductivo. Una premisa puede ser tan simple como una ecuación, por ejemplo $5 x^{2} + 4 y = z,$ o una afirmación general, como "todos los coches tienen ruedas".

Las premisas son afirmaciones que se sabe o se supone que son verdaderas. Pueden considerarse puntos de partida del razonamiento deductivo.

A partir de esta premisa o premisas, necesitamos extraer una conclusión. Para ello, simplemente damos pasos hacia una respuesta. Lo importante que hay que recordar sobre el razonamiento deductivo es que cada paso debe seguirse lógicamente.

Por ejemplo, todos los coches tienen ruedas, pero eso no significa que lógicamente podamos suponer que cualquier cosa con ruedas es un coche. Esto es un salto en la lógica y no tiene cabida en el razonamiento deductivo.

Si nos pidieran que determináramos el valor de $y$ a partir de las premisas

5 x^{2} + 4 y = z

x = 3,

z = 2,

entonces los pasos lógicos que podríamos dar para llegar a una conclusión sobre el valor de $y$ podrían ser los siguientes

Paso 1. Sustituyendo los valores conocidos de $x$ y $z$ se obtiene $5 \times 3^{2} + 4 y = 2$

Paso 2. Simplificando la expresión se obtiene $45 + 4 y = 2$

Paso 3. Restando 45 a ambos lados se obtiene $4 y = - 43$

Dividiendo ambos lados por 4 se obtiene $y = - 10.75$

En este caso, podemos comprobar que la conclusión a la que hemos llegado está en consonancia con nuestras premisas iniciales sustituyendo el valor obtenido de y, así como los valores dados de x y z, en la ecuación para ver si se cumple.

$5 x^{2} + 4 y = z$

$5 \times 3^{2} + 4 \times (- 10.75) = 2$

$45 - 43 = 2$

$2 = 2$

¡La ecuación es cierta! Por tanto, sabemos que nuestra conclusión está en línea con nuestras tres premisas iniciales.

Puedes ver que cada paso para llegar a la conclusión es válido y lógico.

Por ejemplo, en el paso 3 sabemos que si restamos 45 a ambos lados, ambos lados de nuestra ecuación seguirán siendo iguales, lo que garantiza que la expresión resultante es un hecho cierto. Éste es un principio fundamental del razonamiento deductivo: un paso dado para llegar a una conclusión es válido y lógico siempre que la afirmación o expresión obtenida sea un hecho verdadero.

Resolver preguntas de razonamiento deductivo

Veamos algunas preguntas que pueden surgir en relación con el razonamiento deductivo.

A Stan le cuentan que, durante los últimos cinco años, la población de ardillas grises de un bosque se ha duplicado cada año. Al principio del primer año, había $40$ ardillas grises en el bosque. A continuación, se le pide que calcule cuántos conejos habrá $2$ años a partir de ahora.

Stan responde que si se mantiene la tendencia de que la población se duplica cada dos años, entonces la población será de $5120$ en $2$ años.

¿Ha utilizado Stan el razonamiento deductivo para llegar a su respuesta?

Solución

Stan no utilizó el razonamiento deductivo para llegar a esta respuesta.

La primera pista es el uso de la palabra estimación en la pregunta. Cuando utilizamos el razonamiento deductivo, buscamos respuestas definitivas a partir de premisas definitivas. A partir de la información dada, a Stan le resultaba imposible elaborar una respuesta definitiva, lo único que podía hacer era un buen intento de estimación suponiendo que la tendencia continuaría. Recuerda que no se nos permite hacer suposiciones en nuestros pasos cuando utilizamos el razonamiento deductivo.

Demuestra con un razonamiento deductivo que el producto de un número par e impar es siempre par.

Solución

Sabemos que los números pares son enteros divisibles por $2$ es decir $2$ es un factor. Por tanto, podemos decir que los números pares son de la forma $2 n$ donde $n$ es un número entero cualquiera.

Del mismo modo, podemos decir que cualquier número impar es algún número par más $1$ por lo que podemos decir que los números impares son de la forma $2 m + 1$ donde $m$ es cualquier número entero.

Por tanto, el producto de cualquier número par e impar puede expresarse como

$2 n \times (2 m + 1)$

Entonces podemos expandirlo para obtener

$2 m n + 2 n$

y factorizar el 2 para obtener

$2 (m n + n)$

¿Cómo demuestra esto que el producto de un número par e impar es siempre par? Veamos más detenidamente los elementos dentro de los paréntesis.

Ya hemos dicho que $n$ y $m$ eran números enteros. Por tanto, el producto de $m$ y $n$ es decir $m n$ también es un número entero. ¿Qué ocurre si sumamos dos enteros $m n + n$ ¿? ¡Obtenemos un número entero! Por tanto, nuestra respuesta final tiene la forma de número par que introdujimos al principio, $2 n$ .

Hemos utilizado el razonamiento deductivo en esta demostración, ya que en cada paso hemos utilizado una lógica sólida y no hemos hecho suposiciones ni saltos lógicos.

Halla, mediante razonamiento deductivo, el valor de A, donde

A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 . . .

repetido hasta el infinito.

Solución

Una forma de resolver esto, es quitar primero $A$ de uno.

$1 - A = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 . . .)$

Entonces, expandiendo los paréntesis del lado derecho obtenemos

$1 - A = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 . . .$

1 - A = 1 - 1 -1+ 1 - 1 + 1 -1...

Hmmm, ¿te resulta familiar ese lado derecho? Es que $A$ ¡por supuesto! Por lo tanto

$1 - A = A$

Que podemos simplificar a

$2 A = 1$

$A = \frac{1}{2}$

Hmmm, ¡qué raro! No es una respuesta que cabría esperar. De hecho, esta serie en concreto se conoce como Serie de Grandi, y existe cierto debate entre los matemáticos sobre si la respuesta es 1, 0 o 1/2. Sin embargo, esta demostración es un buen ejemplo de cómo se puede utilizar el razonamiento deductivo en matemáticas para demostrar aparentemente conceptos extraños y poco intuitivos, ¡a veces sólo se trata de pensar con originalidad!

Tipos de razonamiento deductivo

Hay tres tipos principales de razonamiento deductivo, cada uno con su propio nombre rimbombante, ¡pero en realidad son bastante sencillos!

Silogismo

Si $A = B$ y $B = C,$ entonces $A = C .$ Esta es la esencia de cualquier silogismo. Un silogismo une dos afirmaciones separadas y las conecta entre sí.

Por ejemplo, si Jamie y Sally tienen la misma edad, y Sally y Fiona tienen la misma edad, entonces Jamie y Fiona tienen la misma edad.

Un ejemplo importante de su uso es la termodinámica. La ley zerótica de la termodinámica afirma que si dos sistemas termodinámicos están en equilibrio térmico con un tercer sistema, entonces están en equilibrio térmico entre sí.

Modus Ponens

A implica B, puesto que A es cierto, B también lo es. Se trata de una forma ligeramente complicada de expresar el sencillo concepto de modus ponens.

Un ejemplo de modus ponens podría ser: todos los programas de un canal de televisión duran menos de cuarenta minutos, tú estás viendo un programa en ese canal de televisión, por lo tanto el programa que estás viendo dura menos de cuarenta minutos.

Un modusponens afirma una afirmación condicional. Tomemos el ejemplo anterior. La afirmación condicional implícita en el ejemplo es"si el programa está en este canal de televisión, entonces dura menos de cuarenta minutos".

Modus tollens

El modustollens es similar, pero opuesto, al modus ponens. Donde el modus ponens afirma una determinada afirmación, el modus ponens la refuta.

Por ejemplo, en Verano el sol no se pone antes de las 10, hoy el sol se pone a las 8, por lo tanto no es Verano.

Observa cómo se utiliza el modus tollens para hacer deducciones que refuten o descarten algo. En el ejemplo anterior, hemos utilizado el razonamiento deductivo en forma de modus tollens no para deducir qué estación es, sino qué estación no es.

Tipos de razonamiento deductivo Ejemplos

¿Qué tipo de razonamiento deductivo se ha utilizado en los siguientes ejemplos?

(a) $x^{2} + 4 x + 12 = 50$ y $y^{2} + 7 y + 3 = 50$ . por tanto $x^{2} + 4 x + 12 = y^{2} + 7 y + 3$ .

(b ) Todos los números pares son divisibles por dos, $x$ es divisible por dos - por lo tanto $x$ es un número par.

( c) Todos los aviones tienen alas, el vehículo en el que estoy no tiene alas - por lo tanto no estoy en un avión.

( d) Todos los números primos son impares, 72 no es un número impar, 72 no puede ser un número primo.

( e) La habitación A y la habitación B tienen la misma temperatura, y la habitación C tiene la misma temperatura que la habitación B - por lo tanto, la habitación C también tiene la misma temperatura que la habitación A.

(f ) Todos los peces pueden respirar bajo el agua, una foca no puede respirar bajo el agua, por lo tanto no es un pez.

Solución

(a) Silogismo - como este razonamiento deductivo es de la forma $A = B,$ y $B = C$ por tanto $A = C .$

(b) Modus Ponens - ya que este razonamiento deductivo afirma algo sobre $x .$

(c) Modus Tollens - ya que este razonamiento deductivo refuta algo sobre $x .$

(d) Modus Tollens - de nuevo este razonamiento deductivo está refutando algo sobre $x .$

(e) Silogismo - este razonamiento deductivo también es de la forma $A = B$ y $B = C,$ por lo tanto $A = C .$

(f) Modus Ponens - este razonamiento deductivo está afirmando algo sobre $x .$

Razonamiento deductivo - Puntos clave

El razonamiento deductivo es un tipo de razonamiento que extrae conclusiones verdaderas a partir de premisas igualmente verdaderas.
En el razonamiento deductivo, se dan pasos lógicos de la premisa a la conclusión, sin hacer suposiciones ni saltos lógicos.
Si se ha llegado a una conclusión utilizando una lógica o suposición errónea, entonces se ha utilizado un razonamiento deductivo inválido, y la conclusión extraída no puede considerarse verdadera con certeza.
Hay tres tipos de razonamiento deductivo: el silogismo, el modus ponens y el modus tollens.

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Todos los patos ponen huevos, mi ornitorrinco puso un huevo, por lo tanto es un pato", ¿es un razonamiento deductivo válido?

No, no todo lo que pone huevos es un pato.

'La casa A cuesta 150.000 $, la casa B cuesta lo mismo que la casa A, y la casa C cuesta lo mismo que la casa B, por lo tanto la casa B cuesta 150.000 $', ¿es un razonamiento deductivo válido?

Sí, es un ejemplo de silogismo.

"Se pidió a 50.000 personas que eligieran si preferían galletas Hobnob o Kit Kat, 30.000 dijeron hobnob - por lo tanto, las galletas hobnob son más populares que las kit kats" - ¿es esto un razonamiento deductivo válido?

No, esto es un ejemplo de razonamiento inductivo. Sólo podemos decir con certeza que los hobnobs eran más populares entre las 50.000 personas encuestadas.

A la mayoría de los gatos les gusta la leche, a mi mascota no le gusta la leche, por lo tanto mi mascota no es un gato", ¿es un razonamiento deductivo válido?

No, a la mayoría de los gatos les gusta la leche, por lo tanto a algunos no, y así la mascota puede seguir siendo un gato.

¿Qué es el razonamiento deductivo?

El razonamiento deductivo es el método de extraer conclusiones verdaderas a partir de premisas verdaderas.

Me gustan todas las películas de Brad Pitt que he visto, así que me gustará la nueva película de Brad Pitt", ¿es un razonamiento deductivo válido?

No, les han gustado todas las películas de Brad Pitt que han visto, esto no garantiza que les vayan a gustar todas las películas de Brad Pitt.

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Preguntas frecuentes sobre Razonamiento deductivo

¿Qué es el razonamiento deductivo en matemáticas?

El razonamiento deductivo en matemáticas es el proceso de derivar conclusiones específicas a partir de premisas generales o axiomas.

¿Cuál es un ejemplo de razonamiento deductivo?

Un ejemplo es: si todos los humanos son mortales y Sócrates es humano, entonces Sócrates es mortal.

¿Cómo se diferencia el razonamiento deductivo del inductivo?

El razonamiento deductivo va de lo general a lo específico, mientras que el inductivo va de casos específicos a conclusiones generales.

¿Qué caracteriza a una conclusión deductiva válida?

Una conclusión deductiva válida se deriva lógicamente de las premisas, asegurando que si las premisas son verdaderas, la conclusión también lo será.

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