Razonamiento Inductivo

Encuentra el siguiente número de la secuencia $1,2,4,7,11$ mediante razonamiento inductivo.

Solución:

Observa: Vemos que la secuencia es creciente.

Patrón:

Patrón de Secuencia, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Aquí el número aumenta en $1,2,3,4$ respectivamente.

Conjetura: El siguiente número será 16, porque $11+5=16.$

Deduce una conjetura para tres números consecutivos y comprueba la conjetura.

Solución:

Considera grupos de tres números consecutivos. Aquí estos números son enteros.

$1,2,3;5,6,7;10,11,12$

Para hacer una conjetura, primero encontramos un patrón.

$1+2+3;5+6+7;10+11+12$

Patrón: $1+2+3=6\Rightarrow 6=2\times 3$

$$\begin{gathered} 5+6+7=18\Rightarrow 18=6\times 3 \\ 10+11+12=33\Rightarrow 33=11\times 3 \end{gathered}$$

Como podemos ver este patrón para el tipo de números dado, hagamos una conjetura.

Conjetura: La suma de tres números consecutivos es igual al triple del número central de la suma dada.

Ahora probamos esta conjetura en otra secuencia para considerar si la conclusión derivada es de hecho cierta para todos los números consecutivos.

Prueba: Tomamos tres números consecutivos $50,51,52.$

$50+51+52=153\Rightarrow 153=51\times 3$

La diferencia entre dos números siempre es menor que su suma. Encuentra el contraejemplo para demostrar que esta conjetura es falsa.

Solución:

Consideremos dos números enteros, digamos -2 y -3.

Suma: $(-2)+(-3)=-5$

Diferencia: $$\begin{gathered} (-2)-(-3)=-2+3=1 \\ \therefore 1\nless -5 \end{gathered}$$

Aquí la diferencia entre dos números -2 y -3 es mayor que su suma. Por tanto, la conjetura dada es falsa.

Haz una conjetura sobre un patrón dado y encuentra el siguiente en la secuencia.

Ejemplo de secuencia de razonamiento inductivo, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Solución:

Observación: A partir del patrón dado, podemos ver que cada cuadrante de un círculo se vuelve negro de uno en uno.

Conjetura: Todos los cuadrantes de un círculo se van llenando de color en el sentido de las agujas del reloj.

Siguiente paso: El siguiente patrón de esta secuencia será

Siguiente figura de la secuencia, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Haz y comprueba la conjetura para la suma de dos números pares.

Solución:

Considera el siguiente grupo de números pares pequeños.

$2+8;10+12;14+20$

Paso 1: Encuentra el patrón entre estos grupos.

$$\begin{gathered} 2+8=10 \\ 10+12=22 \\ 14+20=34 \end{gathered}$$

De lo anterior, podemos observar que la respuesta de todas las sumas es siempre un número par.

Paso 2: Haz una conjetura a partir del paso 2.

Conjetura: La suma de números pares es un número par.

Paso 3: Pon a prueba la conjetura para un conjunto concreto.

Considera algunos números pares, por ejemplo $68,102.$

La respuesta a la suma anterior es un número par. Por tanto, la conjetura es cierta para este conjunto dado.

Para demostrar que esta conjetura es cierta para todos los números pares, tomemos un ejemplo general para todos los números pares.

Paso 4: Prueba la conjetura para todos los números pares.

Considera dos números pares de la forma $x=2m,y=2n$, donde $x,y$ son números pares y $m,n$ son enteros.

$x+y=2m+2n=2(m+n)$

Por tanto, es un número par, ya que es múltiplo de 2 y $m+n$ es un número entero.

Por tanto, nuestra conjetura es cierta para todos los números pares.

Muestra un contraejemplo para el caso dado para demostrar que su conjetura es falsa.

Dos números son siempre positivos si el producto de ambos números es positivo.

Solución:

Identifiquemos primero la observación y la hipótesis para este caso.

Observación: El producto de los dos números es positivo.

Hipótesis: Los dos números tomados deben ser positivos.

Aquí sólo tenemos que considerar un contraejemplo para demostrar que esta hipótesis es falsa.

Consideremos los números enteros. Consideremos -2 y -5.

$(-2)\times (-5)=10$

Aquí, el producto de ambos números es 10, que es positivo. Pero los números elegidos -2 y -5 no son positivos. Por tanto, la conjetura es falsa.