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Lasfórmulas se utilizan para calcular algo concreto, contienen un signo igual y al menos dos variables. Se considera que una fórmula siempre es verdadera.
Veamos algunos ejemplos de fórmulas.
Algunos ejemplos de fórmulas que te pueden resultar familiares son:
- Área de un círculo = \(\pi r^2\)
- Área de un triángulo = \(\frac{1}{2}bh\)
- Distancia = \(rt\)
Las fórmulas implican dos o más cantidades y variables, y se utilizan para hallar cosas distintas basándose en las propias fórmulas.
Una ecuación implica un signo igual y puede contener valores omitidos. Te muestra que lo que está a un lado del signo igual es igual a lo que está a la derecha.
Aquí tienes algunos ejemplos.
Algunos ejemplos de ecuaciones son
- \(3x+7=13\)
- \(x-6=2\)
Como las ecuaciones no tienen por qué ser siempre verdaderas, las ecuaciones anteriores sólo serán verdaderas si la variable que falta permite que el cálculo sea correcto. Por ejemplo, en la ecuación \(3x + 7 = 13\), \(x\) debe ser igual a 2 para que la ecuación sea cierta.
Puede ser útil saber cómo reordenar fórmulas y ecuaciones. Por ejemplo, te pueden dar el área de un círculo y pedirte que halles el radio.
Reglas para reescribir fórmulas y ecuaciones
Te será útil saber cómo reescribir fórmulas para que sea posible resolver para una variable. Cuando reescribesuna fórmula, el objetivo es crear una ecuación que sea equivalente a la fórmula pero con la variable que falta por sí misma. Hay dos reglas principales que debes seguir para asegurarte de que reescribes la fórmula correctamente:
Tanto si sumas, restas, multiplicas o divides, asegúrate de que lo haces a ambos lados de la ecuación, es decir, a ambos lados del signo \(=\).
Al multiplicar o dividir, asegúrate de que lo aplicas a todos los términos de la ecuación, no dejes ninguno fuera.
Resuelve \(H\) en la ecuación, \(H+3=b\).
Responde:
Para ello puedes restar 3 a ambos lados de la ecuación:
\[H+3-3=b-3.\]
Luego puedes simplificar para obtener
\[H=b-3.\]
Reescribir fórmulas y ecuaciones puede ser útil cuando intentas encontrar respuestas concretas.
Halla la longitud del rectángulo con un área de \(20\,cm^2\) y una anchura de \(8\,cm \).
Respuesta:
Para resolver esto primero tendrías que pensar en la fórmula correcta a utilizar. Puede ser útil enumerar primero toda la información que conoces:
- la forma es un rectángulo
- el área es \(20\,cm^2\)
- la anchura es \(8\,cm \) .
Ahora puedes decir que vas a necesitar la fórmula del área de un rectángulo, que es
\[A=lw\]
donde
\[\begin{align} A &= \text{Área del rectángulo} \\ l &= \text{ longitud del rectángulo} \\ w &= \text{ anchura del rectángulo} \fin{align} \]
A partir de aquí puedes seguir dos caminos. Cualquiera de ellas te dará exactamente la misma respuesta.
Método uno: resuelve la variable que necesitas en la fórmula y luego introduce los valores.
Veamos cómo hacerlo, necesitas obtener \(l\) por sí misma. En primer lugar, la fórmula del área es
\[A=lw.\\]
Como quieres aislar la longitud, divide ambos lados por \(w\) para obtener
\[\frac{A}{w}=\frac{lw}{w}.\]
Luego puedes cancelar el lado derecho para obtener
\[\frac{A}{w}=l.\]
Ahora que has reescrito la fórmula, puedes introducir las variables y hallar el valor de \(l\):
\[\frac{20}{8}=l\]
incluyendo así las unidades \(l=2,5\,\text{cm}\).
Método dos: primero introduce la información que tienes y luego resuelve para la variable que necesitas.
Introduciendo los números que has encontrado antes en la fórmula \(A=lw\),
20 = l\cdot 8.\cdot 8.\cdot 8.\cdot 8.\cdot 8.\i
Luego puedes resolver \(l\) dividiendo ambos lados por \(8\) y simplificando:
\[ \frac{20}{8} = l \]
así que
\[l = 2.5.\]
¡No olvides incluir las unidades! La longitud del rectángulo es \(l=2,5\,\text{cm}\).
Al reescribir fórmulas, es importante recordar que, si divides por un lado, tienes que hacer lo mismo con el otro lado de la ecuación.
Reescribir ecuaciones algebraicas
También puedes reescribir ecuaciones algebraicas para ayudarte a encontrar los valores de \(x\) o \(y\).
Resuelve \(5x+y=18\) para \(y\) cuando \(x=2\).
Contesta:
Para empezar, tienes que reescribir la ecuación algebraica para que \(y\) sea el sujeto, para ello puedes restar \(5x\) a ambos lados de la ecuación
\[5x+y=18\]
obteniendo
\[-5x+5x+y=18-5x.\]
Luego, cancelando en el lado izquierdo obtienes
\y=18-5x.\]
Ahora puedes sustituir el valor de \(x = 2\) para resolver \(y\), lo que te da
\y=18-5(2)&=8. fin].
Reescribir una ecuación en forma estándar
En álgebra, la forma estándar es una manera de escribir una ecuación, para una recta sigue la forma \(Ax+By=C\).
Para reescribir una ecuación utilizando la forma estándar, basta con desplazar los términos de la ecuación. Veamos un ejemplo.
Reescribe la ecuación \(y=12-2x\).
Responde:
Puedes empezar mirando la forma estándar:
\[Ax+By=C\]
Para reescribirla en la forma estándar tienes que mover el valor \(x\) al mismo lado de la ecuación que el término \(y\). Así que si sumas \(2x\) a ambos lados de la ecuación obtienes
\[2x+y=12.\]
¡Esto ya está escrito en forma estándar!
Es importante recordar que la forma \ (Ax+By=C\) es la forma estándar para una recta, cosas como los Círculos tendrán una forma estándar diferente.
Reescribir la ecuación de una función
Una función toma una entrada y crea una salida.
Veamos algunos ejemplos.
Las funciones suelen escribirse como
- \(f(x)=x^2\)
- \(f(x)=2x^3)
Si quieres reescribir una función y convertirla en una ecuación, basta con que sustituyas la \(f(x)\) por una \(y\). Hay muchas otras propiedades de las funciones y cosas que puedes hacer con ellas. Echa un vistazo al artículo Funciones para más detalles.
Ejemplos de reescritura de ecuaciones y fórmulas
Halla el radio del círculo con una circunferencia de \(35\, \text{in}\).
Responde:
Empecemos por ver una fórmula adecuada;
\[C=2 \pi r\]
donde
\[ \begin{align} C &= \text{ circunferencia del círculo} \\ r &= \text{radio de la circunferencia}.\final{align}\}]
Ahora puedes reescribir la fórmula para ayudarte a hallar el radio. Para ello puedes dividir ambos lados por \(2\pi\);
\[\frac{C}{2 \pi}=r.\]
Ahora puedes introducir tus variables en la fórmula para hallar el radio;
\r=frac{35}{2 \pi},\]
así que
\[r \aproximadamente 5,57\\]
¡No olvides las unidades! El radio del círculo es aproximadamente \(5,57\, \text{in}\).
Veamos otro ejemplo.
Resuelve \(2x+2y=22\) para \(y\) cuando \(x=4\).
Contesta:
Empecemos por reescribir la fórmula en términos de \(y\). Como
\[2x+2y=22,\]
obtienes
\[2y=22-2x,\]
y luego dividiendo ambos lados por \(2\)
\y &=frac{22-2x}{2} &= 11-x. \end{align}]
Ahora puedes sustituir el valor de \(x=4\), lo que te da
\y&=11 - 4 &=7. \end{align}\}]
Reescribir fórmulas y ecuaciones - Puntos clave
- Puedes reescribir fórmulas y ecuaciones para ayudarte a encontrar las variables que faltan.
- Es importante recordar que cuando restas, sumas, multiplicas o divides, tienes que hacerlo a ambos lados de la ecuación.
- Al multiplicar o dividir, debes acordarte de hacerlo con todos los términos.
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