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Regla de la cadena
Regla del producto
Regla del cociente
Es importante que tengas en cuenta que no todas las fórmulas que aparecen a continuación están escritas en el cuadernillo de fórmulas proporcionado, por lo que tendrás que memorizarlas para el examen.
Regla de la cadena
La regla de la cadena se puede utilizar cuando estás diferenciando una función compuesta, que también se conoce como función de una función. La fórmula de esta regla es la siguiente. Esto ocurre cuando y es una función de u y u es una función de x:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}].
Utilizando la regla de la cadena, diferencia \(y = (2x^3 + x)^6\)
Primero, puedes empezar reescribiéndola en términos de y y u:
\y = (u)^6 u = 2x^3 + x fin].
Ahora puedes hallar la primera parte de tu fórmula de la regla de la cadena \(\frac{dy}{du}\), diferenciando tu y:
\(\frac{dy}{du} = 6 u^5\)
A continuación, puedes hallar la segunda parte de tu fórmula de la regla de la cadena \(\frac{du}{dx}\), diferenciando tu u:
\[\frac{du}{dx} = 6x^2 + 1\].
Ahora que has hallado las dos partes de tu suma, puedes multiplicarlas para hallar \[\frac{dy}{dx}\}]:
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}]
\frac{dy}{dx} = 6u^5 \cdot 6x^2 + 1\]
\[\frac{dy}{dx} = 6u^5 (6x^2 + 1)\]
Por último, es importante expresar tu respuesta en términos de x, y para ello puedes utilizar \(u = 2x^3 + x\):
\[\frac{dy}{dx} = 6(2x^3 + x)^5(6x^2 +1)\].
La función que se te da puede implicar una función trigonométrica. Veamos con un ejemplo cómo se resolvería.
Si \(y = (\sin x)^3\) halla \(\frac{dy}{dx}\)
Empecemos por identificar u e y:
\(y = (u)^3\) \(u = \sin x\)
Ahora puedes mirar la fórmula de la regla de la cadena, descomponerla y hallar cada parte:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}\)
\(\frac{dy}{du} = 3u^2) \(\frac{du}{dx} = \cos x\)
A continuación, puedes poner tu \(\frac{dy}{du}\}) y \(\frac{du}{dx}\}) en la fórmula para hallar \(\frac{dy}{dx}\}):
\[\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}].
\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]
Por último, tienes que asegurarte de que tu respuesta está escrita en términos de x, y puedes hacerlo sustituyendo en \(u = \sin x\):
\[\frac{dy}{dx} = 3u^2 \cdot \cos x\]
\[\frac{dy}{dx} = 3(\sin x)^2 \cos x\]
La regla de la cadena también se puede escribir en forma de notación, que te permite diferenciar una función de una función:
Si \(y = f(g(x))\) entonces \(\frac{dy}{dx} = f'(g(x)) g'(x)\)
Regla del producto
La regla del producto se utiliza cuando se diferencia el producto de dos funciones. El producto de una función puede definirse como dos funciones que se multiplican entre sí. Cuando utilices esta regla debes asegurarte de que tienes el producto de dos funciones y no una función de una función, ya que pueden confundirse. La fórmula de esta regla es la siguiente: si y=uv cuando u y v son funciones de x:
\(\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}\)
Esta función también puede escribirse en notación de función:
Si \(f(x) = g(x)h(x)\) entonces \(f'(x) = g(x)h'(x) + h(x)g'(x)\)
Dado que \(y = 2xe^2) halla \(\frac{dy}{dx}\)
Si miras la fórmula, primero tienes que identificar cada parte de la fórmula:
\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}].
\(u = 2x\) \(v = e^2\)
Para hallar \(\frac{dv}{dx}\) y \(\frac{du}{dx}\) necesitas diferenciar tu u y tu v:
\(\frac{du}{dx} = 2\) \(\frac{dv}{dx} = 0\)
Ahora que has encontrado cada parte de la fórmula, puedes resolver \(\frac{dy}{dx}\):
\Comienzo \frac{dy}{dx} = (2x)(0) + (e^2)(2) \frac{dy}{dx} = 2e^2 \end{align}
Dado que \(y = x^2 \sin x\) halla \(\frac{dy}{dx}\)
Para ello puedes empezar por mirar la fórmula e identificar lo que necesitas:
\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v\frac{du}{dx}].
\(u = x^2\) \(v = \sin x\)
Ahora puedes diferenciar tu u y tu v para hallar la siguiente parte de la fórmula:
\(\frac{du}{dx} = 2x\\) \(\frac{dv}{dx} = \cos{x}\)
Introduce toda la información en la fórmula para hallar \(\frac{dy}{dx}\):
\[\frac{dy}{dx} = u \frac{dv}{dx} + v \frac{du}{dx}].
\[\frac{dy}{dx} = (x^2)(\cos x) + (\sin x)(2x)\}
\frac{dy}{dx} = \cos x(x^2) + 2x\sin x\].
\[\frac{dy}{dx} = x^2\cos x + 2x \sin x\]
Regla del cociente
La regla del cociente se utiliza cuando se diferencia el cociente de dos funciones, es decir, cuando una función se divide por otra. La fórmula utilizada para esta regla es la siguiente, esto es cuando \(y = \frac{u}{v}\):
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
Esto también puede escribirse en notación de función:
Si \frac(f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}) entonces \frac(f'(x) = \frac {h(x)g'(x) - g(x)h'(x)}{(h(x))^2})
Si \(y = \frac{2x}{3x +4}\) halla \(\frac{dy}{dx}\) :
En primer lugar, puedes empezar por mirar tu fórmula y hallar cada una de sus partes:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\(u = 2x\) \(v = 3x + 4\) \(\frac{du}{dx} = 2\) \(\frac{dv}{dx} = 3\)
Ahora puedes resolver la fórmula con toda la información anterior:
\(\frac{dy}{dx} = \frac{(3x +4) \cdot 2 - (2x) \cdot 3}{(3x + 4)^2})
\(\frac{dy}{dx} = \frac{8}{(3x + 4)^2})
Veamos un segundo ejemplo en el que interviene una función trigonométrica.
Si \(y = \frac{\cos x}{2x^2}) halla \(\frac{\dy}{dx}\).
Igual que en el ejemplo anterior, puedes empezar por mirar tu fórmula y hallar cada una de sus partes para encontrar tu \(\frac{dy}{dx}\):
\(\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\)
\(u = \cos x\) \(v = 2x^2) \(\frac{du}{dx} = -\sin x\) \(\frac{dy}{dx} = 4x\)
Ahora que tienes cada parte de la fórmula, puedes sustituirlas en la fórmula y hallar \(\frac{dy}{dx}\):
\[\frac{dy}{dx} = \frac{v\frac{du}{dx} - u \frac{dv}{dx}}{v^2}\].
\frac{dy}{dx} = \frac{(2x^2)(-\sin x) - (\cos x)(4x)}{(2x^2)^2}].
\frac{dy}{dx} = \frac{-2x^2 \sin x - 4x \cos x}{(2x^2)^2}].
Reglas de diferenciación - Puntos clave
Hay tres reglas de diferenciación principales: la regla de la cadena, la regla del producto y la regla del cociente.
Cada regla se utiliza por una razón distinta y tiene una fórmula diferente para que la utilices.
La regla de la cadena se utiliza cuando estás diferenciando una función compuesta.
La regla del producto se utiliza para diferenciar los productos de dos funciones.
La regla del cociente se utiliza para diferenciar el cociente de dos funciones.
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