Reglas del Triángulo: Leyes, Propiedades

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Las reglas de los triángulos tratadas en este artículo explorarán esta cuestión con más detalle:

Reglas de los triángulos - regla del seno

La primera regla de triángulos que vamos a tratar se llama regla del seno. La regla del seno puede utilizarse para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.

Considera el siguiente triángulo de lados a, b y c, y ángulos, A, B y C.

Regla del seno triangular - StudySmarter Triángulo con lados a, b y c, y ángulos, A, B y C, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals

Hay dos versiones de la regla del seno.

Para el triángulo anterior, la primera versión de la regla del seno dice

$\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (C)} = \frac{c}{\sin (C)}$

Esta versión de la regla del seno suele utilizarse para hallar la longitud de un lado que falta.

La segunda versión de la regla del seno dice

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$

Esta versión de la regla del seno se suele utilizar para encontrar un ángulo que falta.

Para el siguiente triángulo, halla a.

Reglas del triángulo Hallar la longitud de un lado StudySmarter

Solución

Según la regla del seno,

$\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (B)} \frac{a}{\sin (75)} = \frac{8}{\sin (30)} \frac{a}{0.966} = \frac{8}{0.5} a = 15.455$

Lee Reglas del seno y del coseno para conocer más a fondo la regla del seno.

Para este triángulo, halla x.

Reglas del triángulo Encontrar un ángulo StudySmarter

Solución

Según la regla del seno,

$\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} \frac{\sin (x)}{10} = \frac{\sin (50)}{15} \frac{\sin (x)}{10} = \frac{0.766}{15} \Rightarrow x = 30.71 °$

Reglas de los triángulos - regla del coseno

La segunda regla de los triángulos que vamos a tratar se llama regla del coseno. La regla del coseno puede utilizarse para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.

Considera el siguiente triángulo con los lados a, b y c, y los ángulos, A, B y C.

Regla del seno triangular - StudySmarter

Triángulo con lados a, b y c, y ángulos, A, B y C, Nilabhro Datta - StudySmarter Originals

Existen dos versiones de la regla del coseno.

Para el triángulo anterior, la primera versión de la regla del coseno establece:

a² = b² + c² - 2bc - cos (A)

Esta versión de la regla del coseno suele utilizarse para hallar la longitud de un lado que falta cuando conoces las longitudes de los otros dos lados y el ángulo entre ellos.

La segunda versión de la regla del coseno establece:

$\cos (A) = \frac{b ² + c ² - a ²}{2 b c}$

Esta versión de la regla del coseno suele utilizarse para hallar un ángulo cuando se conocen las longitudes de los tres lados.

Encuentra x.

Reglas del triángulo Hallar la longitud de un lado StudySmarter

Solución

Según la regla del coseno

a² = b² + c² - 2bc - cos (A)

=> x² = 5² + 8² - 2 x 5 x 8 x cos (30)

=> x² = 19.72

=> x = 4.44

Para el siguiente triángulo, halla el ángulo A.

Reglas del triángulo Encontrar un ángulo StudySmarter

Solución

Según la regla del coseno,

$\cos (A) = \frac{b ² + c ² - a ²}{2 b c} \Rightarrow \cos (A) = \frac{7^{2} + 6^{2} - 5^{2}}{2 \cdot 7 \cdot 6} \Rightarrow \cos (A) = \frac{5}{7} \Rightarrow A = 44.4 °$

Lee Reglas del seno y del coseno para conocer más a fondo la regla del coseno.

Reglas de los triángulos - el área de un triángulo

Ya conocemos la siguiente fórmula:

$A r e a o f a t r i a n g l e = \frac{1}{2} \cdot b a s e \cdot h e i g h t$

Pero, ¿qué ocurre si no conocemos la altura exacta del triángulo? También podemos averiguar el área de un triángulo del que conocemos la longitud de dos lados cualesquiera y el ángulo entre ellos.

Considera el siguiente triángulo:

Reglas de los triángulos área de un triángulo regla del seno StudySmarter

El área del triángulo anterior puede hallarse mediante la fórmula:

$A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) = \frac{1}{2} b c \cdot \sin (A) = \frac{1}{2} a c \cdot \sin (B)$

Halla el área del triángulo.

Reglas de los triángulos área de un triángulo regla del seno StudySmarter

Solución

$A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot 7 \cdot \sin (45) = 14.85$

El área del triángulo es 10 Unidades. Halla el ángulo x.

Reglas del triángulo Encontrar un ángulo StudySmarter

Solución

$A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) \Rightarrow 10 = \frac{1}{2} \cdot 5 \cdot 8 \cdot \sin (x) \Rightarrow \sin (x) = 0.5 \Rightarrow x = 30 °$

Haz clic en Área de triángulos para conocer más a fondo la regla del área de triángulos.

Reglas de los triángulos - puntos clave

Puedes utilizar la regla del seno para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.
La primera versión de la regla del seno establece que $\frac{a}{\sin (A)} = \frac{b}{\sin (C)} = \frac{c}{\sin (C)}$ La segunda versión de la regla del seno establece que $\frac{\sin (A)}{a} = \frac{\sin (B)}{b} = \frac{\sin (C)}{c}$
Puedes utilizar la regla del coseno para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.
La primera versión de la regla del coseno afirma que:a² = b² + c² - 2bc - cos (A) La segunda versión de la regla del seno afirma que: $\cos (A) = \frac{b ² + c ² - a ²}{2 b c}$
Podemos averiguar el área de un triángulo del que conocemos la longitud de dos lados cualesquiera y el ángulo entre ellos mediante la siguiente fórmula: $A r e a = \frac{1}{2} a b \cdot \sin (C) = \frac{1}{2} b c \cdot \sin (A) = \frac{1}{2} a c \cdot \sin (B)$

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¿Para qué sirve la regla del seno?

La regla del seno se utiliza para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.

Halla la longitud del lado x.

15.32

Enuncia la primera versión de la regla del coseno.

a² = b² + c² - 2bc-cos(A)

¿Para qué sirve la regla del coseno?

La regla del coseno puede utilizarse para encontrar los lados o ángulos que faltan en un triángulo.

¿Cuándo se suele utilizar la siguiente versión de la regla del coseno?

a² = b² + c² - 2bc-cos(A)

Esta versión de la regla del coseno suele utilizarse para hallar la longitud de un lado que falta cuando conoces las longitudes de los otros dos lados y el ángulo entre ellos.

Di si la siguiente afirmación es verdadera o falsa: Las dos versiones de la regla del seno son equivalentes entre sí.

Verdadero

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Preguntas frecuentes sobre Reglas del Triángulo

¿Qué es la regla del triángulo en matemáticas?

La regla del triángulo establece que la suma de las longitudes de dos lados de un triángulo siempre es mayor que la longitud del tercer lado.

¿Cómo se aplica la regla del triángulo?

Para aplicar la regla del triángulo, asegúrate de que la suma de dos lados cualesquiera sea siempre mayor que el tercer lado.

¿Qué asegura la regla del triángulo?

La regla del triángulo asegura que un triángulo puede existir si la suma de las longitudes de dos de sus lados es siempre mayor que el tercer lado.

¿Cómo se llama la desigualdad del triángulo?

Esta regla también es conocida como la desigualdad triangular, una propiedad fundamental en la geometría.

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