Representación algebraica: Funciones, Ecuaciones

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Todo lo relacionado con el álgebra implica utilizar letras para representar algo.

En este artículo exploraremos el significado de la representación algebraica, la representación algebraica de transformaciones geométricas, fórmulas y funciones, y algunos ejemplos de su aplicación.

Significado de la representación algebraica

La representaciónalgebraica implica el uso de variables, números y símbolos para representar cantidades en una ecuación o expresión.

Las representaciones algebraicas describen lo que ocurre sin tener que decirlo con palabras. Las representaciones algebraicas pueden aplicarse a diferentes cosas. Pueden aplicarse a transformaciones geométricas, para construir fórmulas y representar funciones.

Algunos ejemplos de representaciones algebraicas son $2 y + 5 = x$ , $f (x) = 2 y$ y $F o r c e = m \times a$ .

Representación algebraica de las transformaciones

Una transformación tiene que ver con el cambio geométrico de un objeto matemático. El objeto puede ser una forma geométrica que sufre una transformación en su posición o tamaño. Las distintas formas de transformaciones son la traslación, la reflexión, la rotación, la ampliación o una combinación de ellas. Para conocer en profundidad las transformaciones, consulta nuestro artículo sobre Transformaciones.

Para la representación algebraica de las transformaciones, se trata de formas geométricas que se transforman en las direcciones $x$ y $y$ -eje.

Traslación

La traslación tiene que ver con el movimiento de una ~~forma~~hacia arriba, abajo, izquierda o derecha, o una composición de éstas. La forma se desliza de una posición a otra. El tamaño y la forma siguen siendo los mismos, pero la posición cambia. Para saber más sobre la traslación, consulta nuestro artículo sobre Traslación.

Observa la imagen siguiente.

Representación algebraica Gráfico que muestra la transformación de traslación StudySmarter

Gráfico que muestra la transformación de la traslación - StudySmarter Original

En esta imagen, vemos un rectángulo $A B C D$ y un rectángulo $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ . Consideraremos este último rectángulo la forma resultante, la imagen, aplicando una traslación al primer rectángulo. Observa que la forma y el tamaño de la forma siguen siendo los mismos, pero la posición es diferente.

Entonces, ¿cómo podemos utilizar la representación algebraica en la traslación? Establezcamos algunas reglas. Las reglas muestran cómo cambian las coordenadas cuando se traslada una forma.

Aquí pueden producirse cuatro movimientos diferentes; la forma puede moverse hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda y hacia la derecha en el botón $x$ y $y$ -eje.

Empecemos con el par $(x, y)$ y que $a$ representa el número de unidades que debe moverse la forma en el eje $x$ eje. Si la forma debe moverse en la dirección correcta en el eje $x$ -eje, será $x + a$ . Si debe moverse hacia la izquierda, será $x - a$ .

Sea $b$ representa el número de unidades que debe desplazarse la forma en el eje $y$ eje. Si la imagen debe moverse hacia arriba, será $y + b$ . Si debe moverse hacia abajo, será $y - b$ .

Así que tenemos

Traducción	Reglas
Mover a la derecha $a$ unidades	$(x, y) \to (x + a, y)$
Mover a la izquierda $a$ unidades	$(x, y) \to (x - a, y)$
Mover hacia arriba $b$ unidades	$(x, y) \to (x, y + b)$
Mover hacia abajo $b$ unidades	$(x, y) \to (x, y - b)$

Reflexión

La reflexión es la inversión de una forma a través de una línea. La línea se llama línea de reflexión o línea de simetría. La reflexión también se denomina imagen especular de una forma. En esta transformación, la forma de la posición cambia, pero su tamaño y forma siguen siendo los mismos. Mira la siguiente imagen.

Gráfico que muestra la transformación de reflexión - StudySmarter Original

En la imagen anterior, podemos ver $△ A' B' C'$ y $△ A B C$ . Consideraremos el primer triángulo imagen del segundo aplicando una reflexión sobre el eje y.

Hay reglas que muestran cómo cambian las coordenadas cuando se refleja una forma. La forma en que cambian las coordenadas depende de si la forma se mueve hacia arriba, hacia abajo, hacia la izquierda o hacia la derecha. Veremos dos reflexiones sencillas sobre los ejes.

Una forma se refleja sobre el eje $x$ -o sobre el eje $y$ -y, cuando esto ocurre, los signos de las coordenadas cambian. Así, si tienes las coordenadas de una forma $(x, y)$ y se reflejan sobre el eje $x$ -debes multiplicar la coordenada $y$ -coordenada por $- 1$ . Si se refleja sobre el eje $y$ -eje, debes multiplicar la coordenada $x$ -eje por $- 1$ .

Reflexión	Reglas
Desplazamiento sobre $x$ -eje	Multiplicar la coordenada $y$ coordenada por $- 1$ : $(x, y) \to (x, - y)$
Desplazarse sobre $y$ -eje	Multiplica la coordenada $x$ coordenada por $- 1$ : $(x, y) \to (- x, y)$

Rotación

La rotación tiene que ver con el giro de una figura alrededor de un punto fijo o un eje. Cuando una figura gira alrededor de un eje, las coordenadas cambian. Una vez más, en esta transformación, la forma de la posición cambia, pero su tamaño y forma siguen siendo los mismos. Observa el gráfico siguiente.

Representación algebraica que muestra la transformación de rotación StudySmarter Gráfico que muestra la transformación de rotación - StudySmarter Original

Algunas reglas te guiarán para saber cómo cambiarán las coordenadas. Las reglas se muestran en la tabla siguiente.

Rotación	Reglas
$90 °$ en el sentido de las agujas del reloj	Cambia las coordenadas y multiplica la de la derecha por $- 1$ : $(x, y) \to (y, - x)$
$90 °$ en el sentido contrario a las agujas del reloj	Cambia la coordenada y multiplica la de la izquierda por $- 1$ : $(x, y) \to (- y, x)$
$180 °$ en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario	Multiplica ambas coordenadas por $- 1$ : $(x, y) \to (- x, - y)$

Representación algebraica y fórmulas

Las fórmulas son ecuaciones que muestran una relación entre cantidades. Un ejemplo de fórmula es

$F = m a$ .

Es la fórmula para calcular la fuerza, de Física, donde $F$ es la fuerza $m$ es masa y $a$ es aceleración.

En la fórmula, F es directamente proporcional a a y se introduce m como constante de proporcionalidad.

$F \propto a F = m a$

$\propto$ es el símbolo de proporcionalidad.

Otro ejemplo de fórmula es el área de un círculo. El área de un círculo es directamente proporcional al cuadrado del radio.

$A r e a \propto r^{2}$ ,

donde $r$ es el radio.

Aquí, $π$ se introduce como constante de proporcionalidad y la fórmula pasa a ser.

$A r e a = {πr}^{2}$

Podemos ver la representación algebraica en la fórmula. Las cantidades desconocidas se representan con variables. Podemos encontrarnos con una situación en la que una fórmula sea una combinación de variables y números. En este caso, las simplificaremos del mismo modo que simplificaríamos una expresión algebraica.

Más adelante veremos algunos ejemplos.

Representación algebraica de una función

Una función es una expresión que muestra la relación entre la entrada y la salida. En una función, para cada entrada hay una y sólo una salida que le corresponde.

La mayoría de las veces, una función se representa con una letra minúscula, $f$ o cualquier otra letra para representarla. Si $x$ es la entrada y $y$ es la salida, la función $f$ se escribe como

$f (x) = y$ .

La expresión anterior es una representación algebraica de esa función. Las variables $x$ y $y$ son una representación de un número real. Para obtener la salida, tendrás que sustituir x por distintos valores.

Si $f (x) = y$ y $x = 2$ tendremos, por ejemplo

$f (x) = y f (2) = 2$

Esto significa que la entrada $x$ es 2 y la salida $y$ es 2.

Si $f (x) = y$ , $x = 2$ y $y = x + 2$ tendremos:

$f (x) = y f (x) = x + 2 f (2) = 2 + 2 f (2) = 4$

Esto significa que la entrada $x$ es 2 y la salida $y$ es 4. La expresión $y = x + 2$ se llama regla de la función.

Ejemplos de representaciones algebraicas

A continuación tomaremos algunos ejemplos que nos darán una idea más clara de lo que hemos estado hablando.

Tomemos un ejemplo de transformación de traducción.

El triángulo ABC tiene vértices $A (0, 0), B (3, 4), C (1, - 2)$ . Halla los vértices de $A' B' C'$ tras una traslación de 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo. Grafica el triángulo y su imagen trasladada.

Solución

Nos dan las coordenadas de un triángulo y nos dicen que la traslación debe producirse 4 unidades a la derecha y 2 unidades hacia abajo.

Si recuerdas las reglas de las que hablamos en el apartado de traslación, trasladar $a$ unidades a la derecha es $(x, y) \to (x + a, y)$ y mover $b$ unidades hacia abajo es $(x, y) \to (x, y - b)$ .

Si combinamos las dos reglas para que se ajusten a nuestra pregunta, será:

$(x, y) \to (x + a, y - b)$ .

Pongamos esto en una tabla.

$△ A B C$	$(x, y) \to (x + a, y - b)$	$△ A' B' C'$
$A (0, 0)$	$(0 + 4, 0 - 2)$	$(4, - 2)$
$B (3, 4)$	$(3 + 4, 4 - 2)$	$(7, 2)$
$C (1, - 2)$	$(1 + 4, - 2 - 2)$	$(5, - 4)$

Hemos hecho el cálculo en la tabla y las coordenadas del triángulo trasladado son:

A' (4, - 2), B' (7, 2), C' (5, - 4)

Si lo representamos gráficamente, tendremos la gráfica siguiente.

Representación algebraica Gráfico que muestra la transformación de traslación StudySmarter

El gráfico muestra el $△ A B C$ y el triángulo trasladado $△ A' B' C'$ .

Tomemos un ejemplo de transformación por reflexión.

Un rectángulo $A B C D$ tiene vértices $A (4, 2), B (2, 2), C (2, 6), D (4, 6)$ . Halla los vértices del rectángulo $A' B' C' D'$ tras una reflexión sobre el eje x. Representa gráficamente el rectángulo y su imagen reflejada.

Solución

Tenemos las coordenadas de un rectángulo dadas como $A (4, 2), B (2, 2), C (2, 6), D (4, 6)$ . El rectángulo se va a reflejar sobre el eje x.

Recordemos que cuando una figura se refleja sobre el eje x, multiplicamos la coordenada y por -1. Así que tenemos

$(x, y) \to (x, - y)$ .

Hagamos el cálculo en una tabla.

Rectángulo $A B C D$	$(x, y) \to (x, - y)$	$A' B' C' D'$
$A (4, 2)$	$(4, 2 (- 1))$	$A' (4, - 2)$
$B (2, 2)$	$(2, 2 (- 1))$	$B' (2, - 2)$
$C (2, 6)$	$(2, 6 (- 1))$	$C' (2, - 6)$
$D (4, 6)$	$(4, 6 (- 1))$	$D' (4, - 6)$

Hemos hecho los cálculos y las coordenadas del rectángulo reflejado son:

A' (4, - 2), B' (2, - 2), C' (2, - 6), D' (4, - 6)

Ahora, tracemos la gráfica.

Representación algebraica Gráfica que muestra la transformación de reflexión StudySmarter

El gráfico anterior muestra el rectángulo $A B C D$ y su imagen reflejada $A' B' C' D'$

Tomemos como ejemplo una transformación de rotación.

Un cuadrilátero tiene sus vértices $A (3, - 2), B (5, - 3), C (4, 4), D (0, 0)$ . Halla los vértices de $A' B' C' D'$ después de un $90 °$ rotación en sentido contrario a las agujas del reloj. Traza la gráfica del cuadrilátero y su imagen rotada.

Solución

Nos dan las coordenadas de un cuadrilátero $A (3, - 2), B (5, - 3), C (4, 4), D (0, 0)$ . Hay que girar el cuadrilátero en el sentido $90 °$ sentido contrario a las agujas del reloj.

Recuerda que la regla para $90 °$ rotación en sentido contrario a las agujas del reloj consiste en cambiar las coordenadas y multiplicar la izquierda por $- 1$ .

$(x, y) \to (- y, x)$

Hagamos el cálculo en una tabla.

Cuadrilátero $A B C D$	$(x, y) \to (- y, x)$	$A' B' C' D'$
$A (3, - 4)$	$(- 4 (- 1), 3)$	$A' (4, 3)$
$B (5, - 3)$	$(- 3 (- 1), 5)$	$B' (3, 5)$
$C (4, 4)$	$(4 (- 1), 4)$	$C' (- 4, 4)$
$D (0, 0)$	$(0 (- 1), 0)$	$D' (0, 0)$

Hemos hecho los cálculos y los vértices del cuadrilátero rotado son $A' (4, 3), B' (3, 5), C' (- 4, 4), D' (0, 0)$ .

Ahora vamos a trazar la gráfica

Representación algebraica Gráfico que muestra la transformación de rotación StudySmarter

El gráfico muestra el cuadrilátero $A B C D$ y su imagen girada $A' B' C' D'$

Veamos algunos ejemplos de representaciones algebraicas en fórmulas.

Halla el área del rectángulo de abajo.

Solución

Para hallar el área de un rectángulo, necesitamos una fórmula. La fórmula es

$A = L \times B$

donde $A$ es el Área

$L$ es la longitud

$B$ es la anchura

A partir de la figura anterior

$L = y c m B = (y + 4) c m$

Sustituyamos la fórmula

$A = L \times B A = y \times (y + 4)$

Podemos quitar el signo de multiplicación y seguirá significando lo mismo.

$A = y (y + 4)$

Podemos simplificar aún más utilizando el $y$ exterior para multiplicar cada término del paréntesis y tendremos

$A = y^{2} + 4 y$

El área del rectángulo es

$A = y^{2} + 4 y$

Pongamos otro ejemplo.

La fórmula para calcular el interés simple es $S . I = P R T$ . $S . I$ representa el interés simple. Halla el interés simple cuando $P = £ 200, R = 2 %$ y $T = 2 y e a r s$ .

Solución

La pregunta nos pide que encontremos el interés simple. Se nos da la fórmula del interés simple:

$S . I = P \times R \times T$

También se nos dan los valores de las variables de la fórmula.

$P = £ 200 R = 2 % T = 2 y e a r s$

Lo que tenemos que hacer ahora es sustituir los valores dados en la fórmula.

$S . I = P \times R \times T S . I = 200 \times \frac{2}{100} \times 2$

Observa que dividimos el valor de R entre 100. Esto se debe a que está en porcentaje. Esto se debe a que está en porcentaje.

$S . I = 200 \times \frac{2}{100} \times 2 S . I = 200 \times 0.02 \times 2 S . I = 8$

El interés simple es $£ 8$ .

Veamos algunos ejemplos sobre la representación algebraica y la fórmula.

Dado $f (x) = 2 x + 5$ evalúa lo siguiente.

$f (3)$
$f (7)$

Solución

a. $f (3)$

La función dada es

f (x) = 2 x + 5

y se nos pide que evaluemos

f (3)

. Esto significa que

x = 3

y sustituiremos este valor en la función.

$f (x) = 2 x + 5 f (3) = 2 (3) + 5 f (3) = 6 + 5 f (3) = 11$

b. $f (7)$

Haremos lo mismo que hicimos anteriormente.

Aquí , $x = 7$ . Sustituiremos este valor por $x$ en la función.

$f (x) = 2 x + 5 f (7) = 2 (7) + 5 f (7) = 14 + 5 f (7) = 19$

Representación algebraica - Puntos clave

La representación algebraica implica el uso de variables, números y símbolos para representar cantidades en una ecuación o expresión.
La representación algebraica puede aplicarse a diferentes cosas. Puede aplicarse a transformaciones, fórmulas y funciones.
Todo lo relacionado con el álgebra implica el uso de letras para representar algo.

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Preguntas frecuentes sobre Representación algebraica

¿Qué es la representación algebraica?

La representación algebraica es la forma de expresar problemas y relaciones matemáticas usando letras y símbolos.

¿Para qué se usa la representación algebraica?

Se usa para simplificar y resolver problemas matemáticos y representar relaciones entre variables.

¿Cuáles son los elementos de una expresión algebraica?

Incluyen variables, constantes, coeficientes, y operaciones como suma, resta, multiplicación y división.

¿Cómo se resuelve una ecuación algebraica?

Para resolver una ecuación algebraica, despejamos la variable usando operaciones inversas y propiedades de igualdad.

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