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Parábola que muestra dónde se encuentran las raíces o intersecciones x
¿Cómo se resuelven las ecuaciones cuadráticas?
Las Ecuaciones Cuadráticas se resuelven utilizando uno de los siguientes métodos:
Sacar raíces cuadradas
Sacar raíces cuadradas es un método que puede utilizarse para resolver ecuaciones cuadráticas cuando sólo hay un término \(x^2\) en la ecuación. Se hace aislando el término \(x^2\) y luego utilizando una raíz cuadrada para resolver la ecuación hallando los valores de \(x\).
\( 3x^2 = 48 \).
Paso 1: Aísla la variable al cuadrado.
\( 3x^2 = 48 \)
\(x^2 = 16\)
Paso2: Resuelve tu ecuación cuadrática calculando la raíz cuadrada de ambos lados de la ecuación. Recuerda que tendrás dos soluciones porque la raíz cuadrada de un número puede ser positiva o negativa.
\( \qrt{x^2} = ±\qrt{16} x = ±4 \)
Factorización
Factorizar es determinar los términos que hay que multiplicar para obtener una expresión matemática. La factorización de ecuaciones cuadráticas puede hacerse de las siguientes formas:
Tomando el máximo común divisor
Tomar el máximo común divisor (MCD) es un método de factorización en el que determinamos el término más alto que divide por igual a todos los demás términos. Veamos cómo funciona este método con un ejemplo:
\( 14x^2 - 35x = 0\)
Paso 1: Encuentra el máximo común divisor identificando los números y variables que cada término tiene en común.
\( 14x^2 = 2 \cdot 7 \cdot x \cdot x \)
\(35x = 5 y 7 y x)
Como vemos, los factores comunes a ambos términos son 7 y x, por lo que el FGM = 7x.
Paso 2: Escribe cada término como producto del mayor factor común y otro factor, es decir, las dos partes del término. El otro factor se puede determinar dividiendo tu término por su FGCM.
\(\frac{14x^2}{7x} = 2x \por tanto 14x^2 = (2x) \cdot 7x\)
\(frac {35x}{7x} = 5, por tanto 35x = 7x, y 5 = 5)
El símbolo ∴ significa "por tanto".
Paso 3: Una vez reescrito cada término, reescribe la ecuación cuadrática de la siguiente forma: ab+ac=0
\( 14x^2 - 35x = 7x \cdot (2x) - 7x(5)\)
Paso 4: Aplica la ley de la propiedad distributiva y factoriza el mayor factor común.
\( 7x(2x) -7x(5) = 7x(2x-5)\)
Paso5: Iguala la expresión factorizada a 0 y halla las intersecciones x.
\(x_1: inicio {división} 7x = 0 x = 0 fin {división})
\(x_2: inicio de división 2x - 5 = 0 x = frac 5 2 fin de división)
Cuadrado perfecto
El método del cuadrado perfecto consiste en transformar un trinomio cuadrado perfecto
\( a^2 + 2ab + b^2\) o \( a^2 - 2ab + b^2\) en un binomio cuadrado perfecto, \( (a + b)^2\) o \( (a - b)^2\) . Veamos cómo resolver ecuaciones cuadráticas con este método:
Paso 1: Transforma tu ecuación de forma estándar, \ ( ax^2 + bx + c = 0\), en un trinomio cuadrado perfecto, \ ( a^2 + 2ab + b^2\).
\( 9x^2 - 12x +4 = (3x)^2 -2(3x)(2) - 2^2\)
Paso 2: Transforma el trinomio cuadrado perfecto en un binomio cuadrado perfecto,\( (a + b)^2 \)\((3x)^2 -2(3x)(2) - 2^2 = (3x-2)^2\)
Paso 3: Calcula el valor de la intersección x igualando el binomio cuadrado perfecto a 0 y resolviendo para x. \((3x - 2)^2 = 0\)\( \sqrt{(3x-2^2} = ±\sqrt{0} \)\( 3x - 2 = 0\)
\( x = \frac {2}{3} \)
Agrupación
Agrupar es cuando agrupamos términos que tienen factores comunes antes de factorizarlos. Veamos un ejemplo:
\( 2x^2 - 7x - 15\)
Paso 1: Enumera los valores de a, b y c.
\( a = 2, b = -7, c = -15)
Paso2: Encuentra los factores que cuando se multiplican son iguales a \(a \cdot c\) , y cuando se suman son iguales a b. T donde los números que producen ac y también se suman a b.
\( ac = -30, b = -7\)
\(1 \cdot 30 = 30\)
\(2 \cdot 15 = 30\)
\(3 \cdot 10 = 30 \qquad 3-10 = -7\)
\(5 punto 6 = 30)
Por tanto, los dos números son 3 y -10, ya que suman -7. Los demás factores de 30 no pueden ordenarse de ninguna manera que los haga iguales a -7.
Paso 3: Utiliza estos factores para reescribir el término x (bx) en la expresión/ecuación original.
\( 2x^2 - 7x - 15 = 2x^2 + 3x - 10x - 15\)
Paso 4: Utiliza la agrupación para factorizar la expresión. Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos, luego extrae los factores comunes de ambos grupos y combina los términos semejantes.
\( \begin{split} (2x^2 + 3x) - (10x - 15) = x (2x + 3) - 5(2x + 3) \ = (x-5)(2x-3)\end{split}\)
Paso 5: Iguala la expresión factorizada a 0 y resuelve las intersecciones x.
\(x - 5) (2x - 3)= (x - 5) (2x - 3)= (x - 5) (2x - 3)= (x - 5) (2x - 3)
\(x_1: inicio división x - 5 = 0 x = 5 fin división)
\( x_2: \inicio{división}2x + 3= 0 \ x = \frac{-3}{2}\final {división}\)
Completar el cuadrado
Completar el cuadrado es cuando cambiamos la forma estándar de la ecuación cuadrática en un cuadrado perfecto con una constante adicional. Esto significa cambiar \ ( ax^2 + bx + c = 0 \) por \(a(x + m)^2 + n \), donde m es un número real y n es una constante. Se calculan de la siguiente manera \( m = \frac{b}{2a}\}) y \(n = c - \frac{b^2}{4a}\}).
\( 3x^2 - 5x - 7 = 0 \)Paso 1: Enumera los valores de a, b y c.
\(a = 3, b = -5, c = -7)
Paso2 : Calcula el valor de m mediante la siguiente ecuación: \( m = \frac{b}{2a}\)
\( \frac{in}{dividir}m = \frac{-5}{2(3)} \frac = -\frac{5}{6}{final}{dividir \)
Paso 3: Calcula el valor de n mediante la siguiente ecuación: \( n = c - \frac{b^2}{4a}\})
\(n = -7 - \frac {(-5)^2}{4(3)})
\(\begin{split} n = -7 - \frac {25}{12} \frac = - \frac{109}{12} \end{split}\)
Paso 4: Sustituye tus valores calculados y el valor de a en la siguiente ecuación: \(a(x + m)^2 + n\)\(3(x - \frac {5}{6})^2 - \frac{109}{12} \)Paso 5: Iguala tu ecuación a 0 y resuelve así la ecuación.\(3(x - \frac{5}{6})^2 - \frac{109}{12} = 0\)
\(3(x - \frac{5}{6})^2 = \frac{109}{12})
\(x - \frac{5}{6}^2 = \frac{109}{36})
\(\sqrt{(x - \frac{5}{6}^2} = ±\sqrt{\frac{109}{36}})
\(x - \frac {5}{6} = \pm \frac {\sqrt{109}}{6})
\(x_{1,2} = \pm \frac {\sqrt{109}}{6} + \frac{5}{6})
\(x_{1} : x = \frac{5 + \sqrt{109}}{6} = 2,57\})
\(x_2: x = \frac {5-μsqrt{109}}{6} = -0,91 \)
Fórmula cuadrática
La fórmula cuadrática es una fórmula que utiliza los coeficientes y las constantes de una ecuación cuadrática para resolver la ecuación determinando sus intersecciones x/raíces. La fórmula cuadrática se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas que son muy difíciles de factorizar. La fórmula cuadrática es \(x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}\).
\(b^2 - 4ac)es lo que llamamos discriminante. En función de su signo, sabemos cuántas soluciones tiene la ecuación cuadrática dada. Se representa con el siguiente símbolo:
- Un discriminante positivo significa que la ecuación cuadrática tiene dos soluciones distintas de números reales.
- Un discriminante negativo significa que ninguna de las soluciones es un número real.
- Un discriminante igual a 0 significa que la ecuación cuadrática tiene una solución repetida de números reales.
Representación gráfica de lo que muestra el discriminante
Los siguientes pasos nos mostrarán cómo resolver una ecuación cuadrática utilizando la fórmula cuadrática:
\( x^2 - 7x + 12 = 0 \)
Paso 1: Enumera los valores de a, b y c.
\(a = 1, b = -7, c = 12 \)
Paso2 : Calcula el valor del discriminante.
\(\iniciar{dividir} \Delta =(-7)^2 -4(1)(12) = 1 fin dividir)
Paso 3: Sustituye los valores de a,b y c en la Fórmula Cuadrática y resuelve para ambas raíces/soluciones.
\(Inicio: x_{1} : x&= \frac{-b + \sqrt{\Delta}{2a}) \\ y=frac {-(-7)+cuadrado1} {2(1)} y= 4 fin)
\(Inicio: x_{2} : x&= frac-b - = 2a}) \\ &=frac-(-7)-cuadrado1}{2(1)} &= 3 fin)
Resolución de ecuaciones cuadráticas - Puntos clave
- Las ecuaciones cuadráticas se resuelven determinando las raíces de la ecuación.
- Sacar raíces cuadradas es un método que puede utilizarse para resolver ecuaciones cuadráticas cuando sólo hay una \(x^2\) en la ecuación.
- Factorizar es determinar los términos que deben multiplicarse para obtener una expresión matemática, y puede hacerse tomando el máximo común divisor, el cuadrado perfecto y la agrupación.
- Completar el cuadrado es cuando cambiamos la forma estándar de la ecuación cuadrática en un cuadrado perfecto con una constante adicional.
- La fórmula cuadrática es un método utilizado para resolver ecuaciones cuadráticas; \(x = \frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\)
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