Resolución de ecuaciones trigonométricas

$2{\sin }^{2}a+3\sin a-1=0$

Paso 1: Sustituye la función trigonométrica por una variable de tu elección.

En nuestro ejemplo, diremos que sen (a) = x

$2x^2+3x-1=0$

Paso2: Utiliza la fórmula cuadrática para resolver tu variable.

$$\begin{gathered} a=2b=3c=-1 \\ x=\frac{-\left(3\right)\pm \sqrt{3^2-4\left(2\right)(-1)}}{2\left(2\right)} \\ =\frac{-3\pm \sqrt{17}}{4} \end{gathered}$$

Paso 3 : Vuelve a sustituir tu variable por la función y toma la inversa de la función para resolver la ecuación +. ( $\pm ,meansthereare2solutions$)

$$\begin{gathered} {\sin }^{-1}\left(\frac{-3+\sqrt{17}}{4}\right)=18.11° \\ x=\sin (18.11)=0.28 \end{gathered}$$

Paso 4 : Utiliza el círculo unitario para determinar la solución de la ecuación - ya que el dominio de la función inversa es $\left[-1,1\right]$.

Debido a que el seno es positivo en el primer y segundo cuadrante, la segunda solución sería:

$$\begin{gathered} x=\mathrm{\pi }-0.28 \\ =2.86 \end{gathered}$$

$\cos x\cos \left(2x\right)+\sin x\sin \left(2x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1: Simplifica tu ecuación con una identidad conocida.

En este ejemplo, es la fórmula de la diferencia del coseno: $\cos a\cos b+\sin a\sin b=\cos (a-b)$

$$\begin{gathered} \cos x\cos \left(2x\right)+\sin x\sin \left(2x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ c\mathrm{os}(x-2x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos (-x)=\frac{\sqrt{3}}{2} \\ \cos \left(x\right)=\frac{\sqrt{3}}{2},inthispartweusedthenegativeangletrigidentity:\cos (-x)=\cos \left(x\right) \end{gathered}$$

Paso2: Utiliza el círculo unitario para determinar los valores de tu ángulo (x).

En nuestro ejemplo, nos centraremos en los cuadrantes 4º y 1º, ya que el coseno es positivo en esos cuadrantes.

Por tanto, $x=\frac{\mathrm{\pi }}{6}andx=\frac{11\mathrm{\pi }}{6}$

$\cos \left(2x\right)=\frac{1}{2}on[0,2\mathrm{\pi })$

Paso 1: Determina los cuadrantes de tus soluciones iniciales y los ángulos posibles utilizando el círculo unitario.

$$\begin{gathered} {\cos }^{\_1}\left(\frac{1}{2}\right)=60° \\ \therefore possibleanglesare2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}and2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

Paso 2: Calcula el valor de tus soluciones iniciales dividiendo el ángulo posible por el número de ángulos.

$$\begin{gathered} 2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} \\ x=\frac{\mathrm{\pi }}{6} \\ 2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \\ x=\frac{5\mathrm{\pi }}{6} \end{gathered}$$

Paso3: Determina tus otras soluciones girando alrededor del círculo por el número de ángulos y seleccionando sólo las respuestas dentro de tu rango.

$$\begin{gathered} Firstquadrant2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{First}\mathrm{rotation}:2x=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi } \\ =\frac{7\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{7\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{between}0\mathrm{and}2\mathrm{\pi }\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{therefore}\mathrm{a}\mathrm{solution} \\ \mathrm{Second}\mathrm{Rotation}:2\mathrm{x}=\frac{\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi } \\ =\frac{13\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{13\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{greater}\mathrm{than}2\mathrm{\pi }\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{therefore}\mathrm{not}\mathrm{a}\mathrm{solution}. \\ \mathrm{Fourth}quadrant:2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3} \\ FirstRotation:2x=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+2\mathrm{\pi } \\ =\frac{11\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{11\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{between}\mathrm{the}\mathrm{range}\mathrm{and}\mathrm{is}\mathrm{therefore}\mathrm{a}\mathrm{solution}. \\ \mathrm{Second}\mathrm{Rotation}:2\mathrm{x}=\frac{5\mathrm{\pi }}{3}+4\mathrm{\pi } \\ 2\mathrm{x}=\frac{17\mathrm{\pi }}{3} \\ \mathrm{x}=\frac{17\mathrm{\pi }}{6} \\ \mathrm{This}\mathrm{value}\mathrm{is}\mathrm{not}\mathrm{within}\mathrm{your}\mathrm{range}\mathrm{and}\mathrm{thefore}\mathrm{cant}\mathrm{be}\mathrm{a}\mathrm{solution}. \end{gathered}$$