Resolución y representación gráfica de desigualdades cuadráticas

Resuelve la desigualdad $x^2+5x\ge -6$.

Solución

Paso 1: Llevando -6 al lado izquierdo de la desigualdad, obtenemos

$x^2+5x+6\ge 0$

Factorizando esta desigualdad cuadrática obtenemos

$(x+2)(x+3)\ge 0$

Paso2: Ahora necesitamos encontrar las raíces de la desigualdad. Nuestro primer instinto aquí puede ser utilizar la Propiedad del Producto Cero. Sin embargo, ten en cuenta que la Propiedad del Producto Cero se utiliza para ecuaciones, no para desigualdades. En lugar de eso, tenemos que resolver las intersecciones x cambiando la desigualdad por una ecuación y ajustando el signo de la desigualdad a la situación actual en función de las intersecciones x encontradas. Esto se muestra a continuación.

$$\begin{gathered} (x+2)(x+3)=0 \\ \Rightarrow x+2=0 \\ \Rightarrow x=-2 \\ and \\ x+3=0 \\ \Rightarrow x=-3 \end{gathered}$$

Paso3: A partir de la tabla, vemos que esta desigualdad obedece al Caso 2 con a > 0. Como y es positiva, debemos elegir los valores de x para los que la curva está por encima del eje x.

Paso 4: Ahora, escribiendo la solución en notación de intervalo, obtenemos

$x\le -2andx\ge -3$

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la desigualdad $10x^2<19x-6$.

Solución

Paso 1: Llevando 19x y -6 al lado izquierdo de la desigualdad, obtenemos

$10x^2-19x+6<0$

Factorizando esta desigualdad cuadrática obtenemos

$(5x-2)(2x-3)<0$

Paso 2: Al igual que en el ejemplo anterior, trataremos nuestra desigualdad anterior como una ecuación para determinar sus raíces como se indica a continuación.

$$\begin{gathered} (5x-2)(2x-3)=0 \\ \Rightarrow 5x-2=0 \\ \Rightarrow x=\frac{2}{5} \\ and \\ 2x-3=0 \\ \Rightarrow x=\frac{3}{2} \end{gathered}$$

Paso3: Consultando de nuevo nuestra tabla, vemos que esta desigualdad obedece al Caso 1 con a > 0. Como y es negativa, debemos elegir los valores de x para los que la curva está por debajo del eje x.

Paso 4: Así, escribiendo la solución en su correspondiente forma de notación interválica, tenemos

$\frac{2}{5}<x<\frac{3}{2}$

Ejemplo 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Grafica la desigualdad cuadrática $y>-x^2+x+6$.

Solución

Paso 1: Empezamos graficando el polinomio $y=-x^2+x+6$

El coeficiente de ^x2 es negativo, por lo que la curva se abre hacia abajo. Factorizando esta expresión, obtenemos

$$\begin{gathered} y=-(x^2-x-6) \\ \Rightarrow y=-(x+2)(x-3) \end{gathered}$$

Igualando a cero, tenemos raíces en $x=-2andx=3$.

Como la desigualdad es >, nuestra curva debe ser una línea discontinua. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 3 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Paso 2: Probemos ahora un punto dentro de la parábola, digamos (1, 2). Introduciendo x = 1 e y = 2 en nuestra desigualdad cuadrática, encontramos que

$$\begin{gathered} 2>-{\left(1\right)}^2+\left(1\right)+6 \\ \Rightarrow 2>6 \end{gathered}$$

Paso3: 2 no es mayor que 6, por lo que la desigualdad falla. Por tanto, (1, 2) no es una solución de la desigualdad y debemos sombrear la región exterior a la parábola, como se muestra a continuación.

Ejemplo 3 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Ahora, si consideramos la desigualdad cuadrática en una variable, obtenemos

$-x^2+x+6<0$

Por tanto, y es negativa y debemos elegir los valores de x para los que la curva está por debajo del eje x. La gráfica final se muestra a continuación.

Ejemplo 3 (3), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Grafica la desigualdad cuadrática $y\le 5x^2-10x+1$.

Solución

Paso 1: Como antes, intentaremos primero representar gráficamente el polinomio $y=5x^2-10x+1$.

El coeficiente de ^x2 es positivo, por lo que la curva se abre. Observa que no podemos factorizar esta expresión utilizando los métodos de factorización estándar. Por tanto, aplicaremos la Fórmula Cuadrática para determinar las raíces.

Dado que

$a=5,b=-10,c=1$

evaluamos

$$\begin{gathered} x=\frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a} \\ \Rightarrow x=\frac{-(-10)\pm \sqrt{{(-10)}^2-4\left(5\right)\left(1\right)}}{2\left(5\right)} \\ \Rightarrow x=\frac{10\pm \sqrt{80}}{10} \\ \Rightarrow x=\frac{10\pm 4\sqrt{5}}{10} \\ \Rightarrow x=1\pm \frac{2\sqrt{5}}{5} \end{gathered}$$

Así, obtenemos dos raíces irracionales

$$\begin{gathered} x=1-\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 0.11(correctto2decimalplaces) \\ x=1+\frac{2\sqrt{5}}{5}\approx 1.89(correctto2decimalplaces) \end{gathered}$$

Como la desigualdad es ≤, nuestra curva debe ser una recta continua. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 4 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Paso 2: Comprobemos ahora un punto dentro de la parábola, digamos (1, -1). Introduciendo x = 1 e y = -1 en nuestra desigualdad, encontramos que

$$\begin{gathered} -1\le 5{\left(1\right)}^2-10\left(1\right)+1 \\ \Rightarrow -1\le -4 \end{gathered}$$

Paso3: -1 no es menor ni igual que -4, por lo que la desigualdad falla. Por tanto, (1, -1) no es una solución de la desigualdad y debemos sombrear la región exterior a la parábola como se indica a continuación.

Ejemplo 4 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Ahora, si consideramos la desigualdad cuadrática en una variable, obtenemos

$5x^2-10x+6\ge 0$

Por tanto, y es positiva y debemos elegir los valores de x para los que la curva está por encima del eje x. La gráfica final se muestra a continuación.

Ejemplo 4 (3), Aishah Amri - StudySmarter Originals

La altura de una pelota lanzada entre dos personas puede modelizarse mediante la función

$h\left(x\right)=-7x^2+15x+2$,

donde la altura h viene dada en metros y el tiempo x en segundos. ¿En qué momento de su vuelo está la pelota a menos de 6 metros del suelo?

Solución

La altura de la pelota se describe mediante la función h.

Queremos encontrar los valores de x para los que h(x) ≤ 6.

$$\begin{gathered} h\left(x\right)\le 6 \\ \Rightarrow -7x^2+15x+2\le 6 \\ \Rightarrow -7x^2+15x+2-6\le 0 \\ \Rightarrow -7x^2+15x-4\le 0 \end{gathered}$$

Haciendo la gráfica de la función y = ^-7x2 + 15x - 4, obtenemos el siguiente esquema.

Ejemplo 5 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Las raíces pueden hallarse utilizando la Fórmula Cuadrática, ya que la expresión ^-7x2 + 15x - 4 no puede factorizarse más utilizando métodos de factorización estándar. Al hacerlo, obtuvimos las dos raíces siguientes, correctas con dos decimales: x ≈ 0,31 y x ≈ 1,83.

Considerando ahora la desigualdad, la región para la que se satisface la expresión se muestra a continuación.

Ejemplo 5 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Observa que la gráfica está por debajo del eje x cuando x < 0,31 o x > 1,83. De aquí concluimos que la pelota está a menos de 6 metros del suelo durante los primeros 0,31 segundos de su vuelo y de nuevo después de 1,83 segundos hasta que la pelota toca el suelo a los 2,14 segundos.