Resolución y representación gráfica de ecuaciones cuadráticas: Métodos, Ejemplos

Q: ¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

Q: ¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?

Se puede resolver mediante factorización, completando el cuadrado o usando la fórmula general x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a).

Q: ¿Qué representa gráficamente una ecuación cuadrática?

Gráficamente, una ecuación cuadrática representa una parábola. El signo de 'a' determina si se abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0).

Q: ¿Qué es el vértice de una parábola?

El vértice es el punto máximo o mínimo de una parábola. Se calcula con las coordenadas V(h, k), donde h = -b / (2a) y k = f(h).

Saltar a un capítulo clave

Bueno, siempre es práctico considerar cualquier cosa matemática de forma visual. Esto nos permite observar las tendencias y, por tanto, examinar los patrones implicados. En este caso, representaremos las ecuaciones cuadráticas en forma de gráfico.

Ecuaciones cuadráticas

Antes de entrar en materia, recordemos primero la definición de ecuación cuadrática.

La forma estándar de una ecuación cuadrática viene definida por la expresión y = ^ax2 + bx + c, donde a ≠ 0.

Una ecuación cuadrática puede establecerse como una función mediante y = f(x) ⇔ f(x) = ^ax2 + bx + c.

Aquí, ax2^esel término cuadrático, bx es el término lineal y c es el término constante.

Como ya hemos dicho, resolver ecuaciones cuadráticas gráficamente es un buen truco que nos permite determinar sus soluciones y observar cualquier comportamiento significativo presente en la expresión dada. La gráfica de una fórmula cuadrática tiene un nombre especial, como se define a continuación.

La gráfica de cualquier ecuación cuadrática se describe mediante una parábola.

A lo largo de este tema, veremos técnicas para representar gráficamente dichas ecuaciones. Antes de empezar, veamos los componentes de una parábola.

Componentes de una parábola

Gráfica de una ecuación cuadrática

Considera la gráfica de y = ^ax2 + bx + c como se muestra a continuación.

Componentes de una parábola, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Todas las parábolas tienen un eje de simetría. La ecuación de esta recta se halla mediante la fórmula $x = - \frac{b}{2 a}$ .

El eje de simetría de una parábola es una recta vertical que divide la parábola en dos mitades iguales.

El vértice es el punto en el que el eje de simetría corta a una parábola.
La intersección y se halla introduciendo x = 0 en la ecuación cuadrática como y = a(0⁾² + b(0) + c = c.
La intersección x se halla igualando a cero la ecuación cuadrática como ^ax2 + bx + c = 0.
La coordenada x del vértice es $x = - \frac{b}{2 a}$ .
La coordenada y del vértice es $y = f (- \frac{b}{2 a})$ .

Valores máximo y mínimo

La coordenada y del vértice puede ser un valor máximo o mínimo. El vértice se conoce como punto de inflexión de la parábola.

El punto de inflexión de una curva es un punto en el que la gráfica cambia de dirección, es decir, pasa de creciente a decreciente o de decreciente a creciente.

El valor máximo es el valor más alto posible de y que alcanza la curva.

El valor mínimo es el valor más bajo posible de y que alcanza la curva.

Considerando la ecuación cuadrática y = ^ax2 + bx + c, el parámetro que nos indica de antemano si el vértice de la parábola respectiva será un valor máximo o mínimo es el signo del coeficiente del término principal, es decir, el signo de a. En la tabla siguiente se describe la gráfica para dos casos que puede tomar a, es decir, a > 0 y a < 0.

Propiedad	y = ^ax2 + bx + c, donde a ≠ 0
Valor del coeficiente a	a es positivoa > 0	a es negativoa < 0
Apertura de la parábola	Se abre hacia arriba	Se abre hacia abajo
Punto de inflexión de y	Valor mínimo	Valor máximo
Rango	Todos los números reales mayores o iguales que el mínimo	Todos los números reales menores o iguales que el máximo
Ejemplo de gráfico	Valor mínimo, Aishah Amri - StudySmarter Originals	Valor máximo, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Soluciones de una ecuación cuadrática

Las soluciones de una ecuación cuadrática puestas a cero son también las raíces o ceros de la función cuadrática correspondiente. Son los intersticios x de la parábola y se resuelven poniendo y a cero y resolviendo x como ^ax2 + bx + c = 0.

Considerando la ecuación cuadrática y = ^ax2 + bx + c, ¿cómo podemos saber cuántas soluciones puede tener? ¡Aquí es donde entra en juego el discriminante ! Una ecuación cuadrática puede tener una solución real, dos soluciones reales o ninguna solución real, y viene determinada por el signo del discriminante.

El discriminante

El discriminante se define mediante la expresión D = ^b2 - 4ac.

El valor del discriminante puede utilizarse para determinar el número y tipo de raíces de una ecuación cuadrática dada. Dada la ecuación cuadrática ax2⁺ bx + c = 0, donde a ≠ 0, hay tres condiciones para D que debemos considerar. Se explican en la tabla siguiente junto con su representación gráfica asociada para cada uno de estos casos.

Número de raíces reales	Gráfico
Dos raíces reales D > 0, D es un cuadrado perfecto	Dos raíces reales, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Una raíz real D = 0	Una raíz real, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Ninguna raíz real D < 0	Sin raíces reales, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante gráficas

Para esta técnica de resolución de ecuaciones cuadráticas, se trata de representar gráficamente dichas expresiones haciendo una tabla de valores. A continuación se explican los pasos de este método.

Establece y = ^ax2 + bx + c;
Halla los intersticios de y introduciendo x = 0 en y;
Localiza el eje de simetría y el vértice;
Introduce varios valores de x en y y crea una tabla de valores para este conjunto de puntos calculados;
Determina los intersticios de x. Si las soluciones no se pueden encontrar explícitamente, podemos estimarlas identificando los números enteros entre los que se encuentran las soluciones;
Traza la gráfica.

En el Paso 5, utilizaremos el Principio de Ubicación para estimar la ubicación de las soluciones en una ecuación cuadrática dada. A continuación se explica el Principio de Localización, seguido de tres ejemplos prácticos.

El Principio de Localización

Supongamos que y = f(x) representa una función cuadrática y a y b son dos números reales tales que f(a) < 0 y f(b) > 0. Entonces f tiene al menos un cero real entre a y b.

¿Cómo funciona el Principio de localización?

La intersección x de una gráfica cruza el eje x en y = 0. Esto, a su vez, cambia el signo de los valores y que siguen en la gráfica. Esencialmente, el Principio de Localización nos dice que buscamos un cambio de signo entre dos salidas de y dadas dos entradas de x.

Principio de localización, Álgebra 2 - Glencoe McGraw-Hill (2008)

Considera la función f(x) = ^2x2 - 4x - 3.

Decide si la función tiene un valor máximo o mínimo.
Evalúa el valor máximo o mínimo de la función.
Indica el dominio y el rango de la función.

Solución

Aquí, a = 2, b = -4 y c = -3.

1. Como a > 0, la gráfica se abre y la función tiene un valor mínimo.

2. El valor mínimo de la función es la coordenada y del vértice.

La coordenada x del vértice es $- \frac{(- 4)}{2 (2)} = 1$ .

Para hallar la coordenada y del vértice, evaluaremos la función en x = 1.

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 4 (1) - 3 \Rightarrow f (1) = - 5$

Por tanto, el valor mínimo de la función es -5.

3. El dominio es el conjunto de todos los números reales. El rango es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que el valor mínimo, f(x) ≥ -5. En notación de conjuntos, [-5, +∞ [.

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 1, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Considera la función f(x) = ^x2 - 6x + 3.

Determina la intersección y, la ecuación del eje de simetría y la coordenada x del vértice.
Crea una tabla de valores que incluya el vértice.
Grafica la función a partir de los resultados de las preguntas 1 y 2.

Solución

Aquí, a = 1, b = -6 y c = 3.

1. Para hallar la intersección y evaluaremos f en x = 0. Al hacerlo obtenemos, f(0) = c = 3. Por tanto, la intersección y es (0, 3). La ecuación del eje de simetría se halla mediante la fórmula

$x = - \frac{b}{2 a} = - \frac{(- 6)}{2 (1)} \Rightarrow x = 3$

Por tanto, la ecuación del eje de simetría es x = 3. De ello se deduce que la coordenada x del vértice es 3.

2. Ahora haremos nuestra tabla de valores. Para ello, elige unos valores para x que sean menores que 3 y otros que sean mayores que 3. De este modo, se grafican los puntos de cada lado del eje de simetría.

x	0	1	2	3	4	5	6
f(x)	3	-2	-5	-6	-5	-2	3

Apliquemos el Principio de Localización a este ejemplo. Observando la tabla anterior, resulta que hay un cambio de signo entre x = 0 y x = 1. Esto indica que hay un cero real entre estos dos valores de x. Esto indica que hay un cero real entre estos dos valores de x. Del mismo modo, observamos un cambio de signo entre x = 5 y x = 6, lo que de nuevo nos indica que debe existir un cero real entre este par de valores de x.

3. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 2, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 + 5x - 2 = 0 mediante una gráfica. Si no se pueden encontrar soluciones exactas, indica los números enteros consecutivos entre los que se encuentran las soluciones.

Solución

Sea f(x) = ^x2 + 5x - 2.

Ahora debemos hacer una tabla de valores para un dominio x. Tenemos que hacer una estimación del intervalo de valores de x sobre el que queremos aplicar el Principio de Localización. Elegiremos los valores enteros comprendidos entre x = -6 y x = 2.

Por el Principio de Localización, fíjate en que las intersecciones x de la gráfica sugieren que una solución está entre -6 y -5, y la otra entre 0 y 1.

x	-6	-5	-4	-3	-2	-1	0	1	2
f(x)	4	-2	-6	-8	-8	-6	-2	4	12

Resolución de ecuaciones cuadráticas mediante factorización

Forma de intersección de una ecuación cuadrática

La forma de intersección de una ecuación cuadrática es y = a(x - p)(x - q), donde p y q representan las raíces de una ecuación cuadrática dada. En otras palabras, p y q son las intersecciones x de la gráfica correspondiente a la función.

NOTA IMPORTANTE

La forma general de la forma intercepto es y = a(bx + c)(dx + e) donde bx + c = 0 y dx + e = 0.

Para expresar la forma de intersección de una ecuación cuadrática en la forma estándar de una ecuación cuadrática, podemos utilizar el método FOIL.

Método FOIL

El método FOIL utiliza la Propiedad Distributiva para multiplicar binomios. Esencialmente, estamos expandiendo una forma interceptada dada para obtener la expresión típica de una ecuación cuadrática. El método FOIL establece que el producto de dos binomios es la suma de los productos de F los primeros términos, O los términos exteriores, I los términos interiores y L los últimos términos.

Un binomio es una expresión formada por dos términos.

Expresa una ecuación cuadrática con $- \frac{1}{3}$ y 4 como raíces. Escribe la ecuación en forma estándar.

Solución

La forma de intersección de una ecuación cuadrática viene dada por (x - p)(x - q) = 0, donde p y q representan las raíces de la expresión. Como en esta pregunta no hay información sobre el coeficiente de ^x2, se deduce que a = 1. Aquí se nos da

$p = - \frac{1}{3} a n d q = 4$

Sustituyendo esto en la forma anterior obtenemos

$(x - (- \frac{1}{3})) (x - 4) = 0 \Rightarrow (x + \frac{1}{3}) (x - 4) = 0$

Ahora queremos escribir esta ecuación en la forma estándar de una ecuación cuadrática. Para ello, debemos expandir el lado derecho de la expresión utilizando el método FOIL.

$\Rightarrow x^{2} - 4 x + \frac{1}{3} x - \frac{4}{3} = 0 \Rightarrow x^{2} - \frac{11}{3} x - \frac{4}{3} = 0$

Multiplicando toda la ecuación por 3, obtenemos finalmente

$\Rightarrow 3 x^{2} - 11 x - 4 = 0$

Técnicas de factorización de ecuaciones cuadráticas

Podemos factorizar ecuaciones cuadráticas identificando ciertos patrones en una expresión dada. La factorización es un método en el que simplificamos la forma estándar de una ecuación cuadrática en la forma de intercepción. Esto nos permitirá localizar las raíces de la expresión y trazar las intersecciones x de la gráfica correspondiente. Hay cuatro formas de factorizar ecuaciones cuadráticas. Se describen en la tabla siguiente.

Técnica de cálculo alícuota	Caso general
Máximo común divisor (MCD)	$a^{3} b^{2} - 3 a b^{2} = a b^{2} (a^{2} - 3)$
Diferencia de dos cuadrados	$a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$
Trinomios cuadrados perfectos	$a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2} a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$
Trinomios generales	$a c x^{2} + (a d + b c) x + b d = (a x + b) (c x + d)$

Es útil observar que el método FOIL también se puede utilizar para factorizar una ecuación cuadrática en el producto de dos binomios. Observa que el producto del coeficiente de ^x2 y el término constante es abcd. Del mismo modo, multiplicando los dos términos del coeficiente de x también se obtiene abcd. Una vez que hemos factorizado nuestra ecuación cuadrática dada, podemos resolverla utilizando la Propiedad del Producto Cero.

(a x + b) (c x + d) = \underset{F}{\underset{⏟}{a x \times c x}} + \underset{O}{\underset{⏟}{a x \times d}} + \underset{I}{\underset{⏟}{b \times c x}} + \underset{L}{\underset{⏟}{b \times d}} = a c x^{2} + (a d + b c) x + b d

Propiedad del producto cero

Para cualesquiera números reales a y b, si ab = 0, entonces o bien a = 0, o bien b = 0, o bien tanto a como b son iguales a cero.

En términos de la forma de intersección y = a(x - p)(x - q), si fijamos y = 0, x - p = 0 y x - q = 0. Resolviendo esto, obtenemos x = p, x = q. El mismo concepto se aplica también a la forma generalizada, donde y = a(bx + c)(dx + e). Aquí, fijando y = 0 se obtiene bx + c = 0 y dx + e = 0. Por tanto, $x = - \frac{c}{b}, x = - \frac{e}{d}$ .

Aquí tienes algunos ejemplos prácticos que demuestran este concepto.

Factoriza la ecuación cuadrática ^3x2 = 9x y representa gráficamente la función correspondiente.

Solución

Empezaremos reordenando la ecuación en la forma estándar de una ecuación cuadrática

$3 x^{2} - 9 x = 0$

Observa que podemos factorizar 3x de la expresión anterior como

$3 x (x - 3) = 0$

Por la propiedad del producto cero, la raíz de esta función es

$3 x = 0 \Rightarrow x = 0 x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3$

Como el coeficiente de ^x2 es a = 3 > 0, la parábola se abre hacia arriba. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 3, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factoriza la ecuación cuadrática ^6x2 = 1 - x y representa gráficamente la función correspondiente.

Solución

Empezamos reordenando la ecuación a la forma estándar de una ecuación cuadrática

$6 x^{2} + x - 1 = 0$

Se trata de un trinomio general que podemos factorizar por (ax + b)(cx + d). Observa que el coeficiente 6 puede factorizarse como $6 \times 1 o r 2 \times 3$ mientras que la constante -1 se puede factorizar como $- 1 \times 1$ .

Recuerda que tienes que probar todos los pares y posiciones posibles para estos dos productos. Por ensayo y error, podemos factorizarlo como

$(3 x - 1) (2 x + 1) = 0$

Por la propiedad del producto cero, las raíces de esta función son

$3 x - 1 = 0 \Rightarrow x = \frac{1}{3} 2 x + 1 = 0 \Rightarrow x = - \frac{1}{2}$

Como el coeficiente de ^x2 es a = 6 > 0, la parábola se abre hacia arriba. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 4, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Factoriza la ecuación cuadrática ^x2 - 25 = 0 y representa gráficamente la función correspondiente.

Solución

Observa que $25 = 5^{2}$ .

Así pues, la ecuación toma la forma de la diferencia de dos cuadrados. Por tanto, podemos factorizarla como

$x^{2} - 25 = 0 \Rightarrow (x - 5) (x + 5) = 0$

Por la propiedad del producto cero, las raíces de esta función son

$x - 5 = 0 \Rightarrow x = 5 x + 5 = 0 \Rightarrow x = - 5$

Como el coeficiente de ^x2 es a = 1 > 0, la parábola se abre hacia arriba. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 5, Aishah Amri - StudySmarter Originals

La propiedad de la raíz cuadrada

También podemos resolver ecuaciones cuadráticas utilizando la propiedad de la raíz cuadrada. Esta técnica sólo puede utilizarse para resolver ecuaciones cuadráticas en las que la expresión cuadrática es un cuadrado perfecto.

Un cuadrado perfecto es un número entero que es el cuadrado de un número entero. En concreto, es el producto de algún número entero por sí mismo.

El número imaginario i se obtiene mediante ⁱ² = -1. Por tanto, la raíz cuadrada de -1 es i.

La propiedad de la raíz cuadrada

Para cualquier número real n, si ^x2 = n, entonces $x = \pm \sqrt{n}$

Veamos algunos ejemplos prácticos.

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 - 12x + 36 = 25 utilizando la propiedad de la raíz cuadrada.

Solución

Observa que el lado izquierdo de esta expresión adopta la forma de un trinomio cuadrado perfecto. Factorizándolo, obtenemos

$x^{2} - 12 x + 36 = 25 \Rightarrow {(x - 6)}^{2} = 25$

Utilizando ahora la propiedad de la raíz cuadrada para resolverlo, obtenemos

$\Rightarrow x - 6 = \pm \sqrt{25} \Rightarrow x = \pm \sqrt{25} + 6 \Rightarrow x = \pm 5 + 6$

Por tanto, las dos raíces son x = 1 y x = 11. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 6 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Si ampliamos el gráfico, vemos que las raíces son x = 1 y x = 11.

Ejemplo 6 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 + 8x + 16 = 20 utilizando la propiedad de la raíz cuadrada.

Solución

Observa que el lado izquierdo de esta expresión adopta la forma de un trinomio cuadrado perfecto. Factorizándolo, obtenemos

$x^{2} + 8 x + 16 = 20 \Rightarrow {(x + 4)}^{2} = 20$

Utilizando ahora la propiedad de la raíz cuadrada para resolverlo, obtenemos

$\Rightarrow x + 4 = \pm \sqrt{20} \Rightarrow x = \pm \sqrt{20} - 4 \Rightarrow x = \pm 2 \sqrt{5} - 4$

Por tanto, las dos raíces son

$x = - 2 \sqrt{5} - 4 \approx - 8.47 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s) x = 2 \sqrt{5} - 4 \approx 0.47 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

A continuación se muestra un esbozo de esta gráfica.

Ejemplo 7 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Haciendo zoom en este gráfico, vemos que las raíces son aproximadamente x ≈ -8,47 y x ≈ 0,47.

Ejemplo 7 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Completar el cuadrado

En la mayoría de los casos, las ecuaciones cuadráticas no se presentan como cuadrados perfectos. Sin embargo, podemos manipular la expresión para que adopte la forma de un cuadrado perfecto utilizando el método de Completar el Cuadrado. A continuación se describen los pasos de esta técnica.

1. Establece la ecuación cuadrática como ^ax2 + bx + c = 0;

2. 2. Divide la ecuación por $a$ como

x^{2} + \frac{b}{a} x + \frac{c}{a} = 0

;

3. Lleva la constante $\frac{c}{a}$ al lado derecho de la expresión como

x^{2} + \frac{b}{a} x = - \frac{c}{a}

;

4. Reduce a la mitad el coeficiente de x y eleva el resultado al cuadrado. Suma este valor a cada lado de la ecuación como

x^{2} + \frac{b}{a} x + {(\frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

;

5. Completa el cuadrado del lado izquierdo y evalúa la constante del lado derecho como

{(x + \frac{b}{2 a})}^{2} = - \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}

;

6. Ahora podemos utilizar la propiedad de la raíz cuadrada para resolver esta ecuación cuadrática como

x + \frac{b}{2 a} = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}}

;

7. Así pues, las soluciones de la ecuación cuadrática dada son

x = \pm \sqrt{- \frac{c}{a} + {(\frac{b}{2 a})}^{2}} - \frac{b}{2 a}

Resuelve la ecuación cuadrática ^x2 - 10x + 24 = 0 completando el cuadrado.

Solución

Resta 24 a ambos lados de la ecuación como

$x^{2} - 10 x + 24 = 0 \Rightarrow x^{2} - 10 x = - 24$

Para completar el cuadrado de esta expresión, debemos encontrar los valores que faltan de

$x^{2} - 10 x + □ = - 24 + □$

Como

${(- \frac{10}{2})}^{2} = {(- 5)}^{2} = 25$

sumaremos 25 a cada lado para equilibrar la ecuación

$\Rightarrow x^{2} - 10 x + 25 = - 24 + 25 \Rightarrow x^{2} - 10 x + 25 = 1$

Reescribe el lado izquierdo como cuadrado perfecto factorizando

$\Rightarrow {(x - 5)}^{2} = 1$

Ahora podemos utilizar la propiedad de la raíz cuadrada

$\Rightarrow x - 5 = \pm \sqrt{1} = \pm 1 \Rightarrow x = \pm 1 + 5$

Así, las dos soluciones son x = 4 y x = 6. La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 8, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Resuelve la ecuación cuadrática ^3x2 + 10x - 8 = 0 completando el cuadrado.

Solución

Divide la ecuación por el coeficiente 3

$3 x^{2} + 10 x - 8 = 0 \Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x - \frac{8}{3} = 0$

Añade $\frac{8}{3}$ en ambos lados

$\Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x = \frac{8}{3}$

Para completar el cuadrado de esta expresión, debemos encontrar los valores que faltan de

$x^{2} + \frac{10}{3} x + □ = \frac{8}{3} + □$

Como

${(\frac{10}{2 \times 3})}^{2} = {(\frac{5}{3})}^{2} = \frac{25}{9}$

sumaremos $\frac{25}{9}$ a cada lado para equilibrar la ecuación

$\Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x + \frac{25}{9} = \frac{8}{3} + \frac{25}{9} \Rightarrow x^{2} + \frac{10}{3} x + \frac{25}{9} = \frac{8}{3} + \frac{25}{9} = \frac{49}{9}$

Reescribe el lado izquierdo como cuadrado perfecto factorizando

$\Rightarrow {(x + \frac{5}{3})}^{2} = \frac{49}{9}$

Ahora podemos utilizar la propiedad de la raíz cuadrada

$\Rightarrow x + \frac{5}{3} = \pm \sqrt{\frac{49}{9}} \Rightarrow x = \pm \frac{\sqrt{49}}{\sqrt{9}} - \frac{5}{3} \Rightarrow x = \pm \frac{7}{3} - \frac{5}{3}$

Así, las dos soluciones son $x = - 4 a n d x = \frac{2}{3}$ . La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 9 (1), Aishah Amri - StudySmarter Originals

Haciendo zoom en esta gráfica, vemos que las raíces son verdaderas como se requiere.

Ejemplo 9 (2), Aishah Amri - StudySmarter Originals

La fórmula cuadrática

Otra forma de resolver ecuaciones cuadráticas es utilizando la Fórmula Cuadrática. Se trata de una herramienta muy útil cuando se trata de ecuaciones cuadráticas que producen raíces irracionales. Sin embargo, podemos utilizar esta fórmula para resolver cualquier forma de ecuación cuadrática. Eso significa que también podemos utilizarla para encontrar soluciones racionales.

Fórmula cuadrática

Las raíces de una ecuación cuadrática de la forma ax2⁺ bx + c = 0, donde a ≠ 0, pueden hallarse mediante la fórmula

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$ .

Identifica el número y tipo de raíces de la ecuación cuadrática ^3x2 + 5x + 1 = 0 . Determina las raíces de esta expresión utilizando la Fórmula Cuadrática.

Solución

Aquí, $a = 3, b = 5 a n d c = 1 .$

Empezamos por hallar el valor del discriminante como

$D = b^{2} - 4 a c = {(5)}^{2} - 4 (3) (1) \Rightarrow D = 25 - 12 \Rightarrow D = 13$

Como D > 0, debemos tener dos raíces reales. Además, observa que D no es un cuadrado perfecto, por lo que las raíces de esta ecuación cuadrática deben ser irracionales. Utilizaremos ahora la Fórmula Cuadrática para determinar dichas raíces.

$x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a} = \frac{- (5) \pm \sqrt{13}}{2 (3)} \Rightarrow x = \frac{- 5 \pm \sqrt{13}}{6}$

Así, las dos raíces son

$x = \frac{- 5 - \sqrt{13}}{6} \approx - 1.43 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s) x = \frac{- 5 + \sqrt{13}}{6} \approx - 0.23 (c o r r e c t t o t w o d e c i m a l p l a c e s)$

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 10, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Determina el número y tipo de raíces de la ecuación cuadrática ^x2 - 6x + 10 = 0 . Determina las raíces de esta expresión utilizando la Fórmula Cuadrática.

Solución

Toma, $a = 1, b = - 6 a n d c = 10 .$

Empezamos por hallar el valor del discriminante como

$D = {(- 6)}^{2} - 4 (1) (10) \Rightarrow D = 36 - 40 \Rightarrow D = - 4$

Como D < 0, debemos tener dos raíces complejas conjugadas. Utilizaremos ahora la Fórmula Cuadrática para determinar dichas raíces.

$x = \frac{- (- 6) \pm \sqrt{- 4}}{2 (1)} \Rightarrow x = \frac{6 \pm i \sqrt{4}}{2} \Rightarrow x = \frac{6 \pm 2 i}{2} \Rightarrow x = 3 \pm i$

Así, las dos raíces conjugadas complejas son $x = 3 - i a n d x = 3 + i .$

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 11, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Análisis de gráficas de ecuaciones cuadráticas

En este apartado conoceremos la forma de vértice de una ecuación cuadrática. Aquí nos referiremos a la ecuación cuadrática estándar, es decir, y = x2,^yobservaremos cómo la manipulación de ciertos coeficientes puede cambiar la forma de esta sencilla gráfica. Empecemos con la siguiente definición.

La forma de vértice de una ecuación cuadrática se describe mediante la expresión y = a(x - h⁾² + k donde (h, k) es el vértice de la parábola y x = h es el eje de simetría.

Traslación

La forma de vértice es una forma inteligente de expresar las ecuaciones cuadráticas, de modo que podemos trasladar la gráfica en función de la ecuación cuadrática estándar. En primer lugar, definamos qué es una traslación.

Una traslación desliza una figura sin cambiar su forma ni su tamaño.

Podemos aplicar este concepto en la gráfica de ecuaciones cuadráticas alterando los coeficientes o constantes de una expresión dada. La gráfica de la función cuadrática básica es f(x) = ^x2_.Se muestra a continuación.

Gráfica cuadrática estándar, Aishah Amri - StudySmarter Originals

El vértice aquí es el origen, (0, 0) y el eje de simetría es x = 0. Digamos que nos dan una ecuación cuadrática en forma de vértice, y = a(x - h⁾² + k. Hay tres formas en las que podemos transformar esta gráfica. Esto se ilustra en la tabla siguiente.

Forma del vértice	Cambio de valor	Trazado de la gráfica
y = a(x - h⁾² + k	Si a es grande, la gráfica se hace más inclinada (línea roja) Si a es pequeño, la gráfica se aplana (línea azul) Si a es negativo, la gráfica se invierte (línea verde)	Variar a, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Variar a altera la función en la dirección y, (el coeficiente a afecta a la inclinación de la gráfica)
y = a(x - h⁾² + k	Si h es negativo, la gráfica se desplaza h unidades a la izquierda del eje x (línea roja) Si h es positiva, la gráfica se desplaza h unidades a la derecha del eje x (línea azul)	Variando h, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Variar h cambia la función a lo largo del eje x en h unidades
y = a(x - h⁾² + k	Si k es negativo, la gráfica desciende k unidades en el eje y (línea roja) Si k es positivo, la gráfica sube k unidades en el eje y (línea azul)	Variar k, Aishah Amri - StudySmarter Originals
Variar k desplaza la función hacia arriba o hacia abajo en el eje y en k unidades

Expresa la ecuación y = ^x2 + 4x + 6 en forma de vértice y traza la gráfica de la función.

Solución

Observa que y = ^x2 + 4x + 6 no es un cuadrado perfecto. Empezamos completando el cuadrado de esta expresión.

$y = (x^{2} + 4 x + □) + 6 - □$

Para encontrar los valores que faltan, sumamos ${(\frac{4}{2})}^{2} = 4$ y equilibramos la ecuación restando 4 como

$y = (x^{2} + 4 x + 4) + 6 - 4$

Escribiendo ahora esto como un cuadrado perfecto, obtenemos

$\Rightarrow y = {(x + 2)}^{2} + 2$

Como h = -2 y k = 2, el vértice está en (-2, 2). El eje de simetría es x = -2. Como a = 1, la gráfica se abre y tiene la misma forma que la gráfica de y = ^x2. Además, la gráfica se traslada 2 unidades a la izquierda y 2 unidades hacia arriba.

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 12, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Escribe la ecuación y = ^-2x2 - 12x + 17 en forma de vértice y traza la gráfica de la función.

Solución

Observa que y = ^-2x2 - 12x + 17 no es un cuadrado perfecto. Empezaremos factorizando los dos primeros términos del lado derecho como

$y = - 2 (x^{2} + 6 x) + 17$

A continuación, completaremos el cuadrado de esta expresión.

$y = - 2 (x^{2} + 6 x + □) + 17 - (- 2) □$

Para encontrar los valores que faltan, sumamos ${(\frac{6}{2})}^{2} = 9$ y equilibramos la ecuación restando -2(9) como

$y = - 2 (x^{2} + 6 x + 9) + 17 - (- 2) (9)$

Escribiendo ahora esto como un cuadrado perfecto, obtenemos

$\Rightarrow y = {- 2 (x + 3)}^{2} + 35$

El vértice está en (-3, 35), y el eje de simetría es x = -3. Como a = -2, la gráfica se abre hacia abajo y es más estrecha que la gráfica de y = ^x2. Además, la gráfica está trasladada 1 unidad a la derecha y 2 unidades hacia arriba.

La gráfica se muestra a continuación.

Ejemplo 13, Aishah Amri - StudySmarter Originals

Graficar y resolver ecuaciones cuadráticas - Puntos clave

La forma estándar de una ecuación cuadrática es ^ax2 + bx + c = 0 donde a ≠ 0.
La intersección y se halla introduciendo x = 0 en la función cuadrática.
La intersección x se halla igualando la función cuadrática a cero, f(x) = 0
Si a > 0, la gráfica tiene un punto mínimo y la parábola se abre hacia arriba.
Si a < 0, la gráfica tiene un punto máximo y la parábola se abre hacia abajo.
La coordenada x del vértice es $x = - \frac{b}{2 a}$
La coordenada y del vértice es $y = f (- \frac{b}{2 a})$
Hay cuatro formas de factorizar ecuaciones cuadráticas
1. Máximo común divisor (MCD)
2. Diferencia de dos cuadrados
3. Trinomios cuadrados perfectos
4. Trinomios generales
Utilizamos la Propiedad del Producto Cero para resolver ecuaciones cuadráticas factorizadas.
La fórmula cuadrática se utiliza para hallar las raíces de una ecuación cuadrática y viene dada por $x = \frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 a c}}{2 a}$
El discriminante se utiliza para determinar el número y tipo de raíces de una ecuación cuadrática dada y viene dado por D = ^b2-4ac.
- Si D > 0 entonces hay dos raíces reales
- Si D = 0, sólo hay una raíz
- Si D < 0, hay dos raíces complejas conjugadas
La forma intercepto de una ecuación cuadrática es y = a(x - p)(x - q) donde p y q son raíces de la expresión.
La propiedad de la raíz cuadrada establece que para cualquier número real n, si ^x2 = n, entonces $x = \pm \sqrt{n}$
El método de Completar el Cuadrado se utiliza para resolver ecuaciones cuadráticas escribiendo la ecuación en forma de cuadrado perfecto.
La forma de vértice de una ecuación cuadrática se describe mediante la expresión y = a(x - h⁾² + k donde (h, k) es el vértice de la expresión.
Podemos utilizar traslaciones para representar gráficamente una función cuadrática.
Para la forma de vértice y = a(x - h⁾2+ k
- Variar a altera la función en la dirección y
- Variar h cambia la función a lo largo del eje x en h unidades
- Variar k desplaza la función hacia arriba o hacia abajo en el eje y en k unidades

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Preguntas frecuentes sobre Resolución y representación gráfica de ecuaciones cuadráticas

¿Qué es una ecuación cuadrática?

Una ecuación cuadrática es una ecuación de segundo grado de la forma ax² + bx + c = 0, donde a, b y c son constantes y a ≠ 0.

¿Cómo se resuelve una ecuación cuadrática?

Se puede resolver mediante factorización, completando el cuadrado o usando la fórmula general x = (-b ± √(b²-4ac)) / (2a).

¿Qué representa gráficamente una ecuación cuadrática?

Gráficamente, una ecuación cuadrática representa una parábola. El signo de 'a' determina si se abre hacia arriba (a > 0) o hacia abajo (a < 0).

¿Qué es el vértice de una parábola?

El vértice es el punto máximo o mínimo de una parábola. Se calcula con las coordenadas V(h, k), donde h = -b / (2a) y k = f(h).

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