Significado de las relaciones de recurrencia de segundo orden
Siempre que describas una relación de sucesos que requieran información de distintas posiciones temporales, estarás hablando de relaciones de recurrencia. Ahora bien, las relaciones de recurrencia de segundo orden son relaciones que requieren información dos pasos por detrás para obtener la información que deseas.
Las relaciones de recurrencia de segundo orden son relaciones de recurrencia de la forma \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] para todos los enteros \(n\) mayores que algún entero fijo, \(A\N) y \(B\N) son constantes y \(f(n)\Nes un polinomio.
Ejemplos de relaciones de recurrencia de segundo orden son
- \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
- \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
- \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}+n^2\).
Las relaciones de recurrencia de segundo orden se clasifican en relaciones de recurrencia homogéneas y no homogéneas.
Relaciones de recurrencia de segundo orden homogéneas
Las relaciones de segundo ordenhomogéneas son relaciones que sólo muestran una relación entre los términos de la secuencia en diferentes iteraciones.
Las relaciones de recurrencia de segundo orden homogéneas son de la forma [u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}] para todos los enteros \(n\) mayores que algún número entero fijo, \(A\N) y \(B\N) son constantes.
Ejemplos de relaciones de recurrencia homogéneas de segundo orden son,
- \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}\),
- \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}\),
- \(u_{n+1}=-4u_{n}+7u_{n-1}\).
Relaciones de recurrencia de segundo orden no homogéneas
Las relaciones de segundo orden no homogéneas son relaciones que muestran una relación entre los términos de la secuencia en distintas iteraciones que tienen un poco de información extra, generalmente un polinomio en términos de \(n\). De hecho, ésta es la definición general introducida en el primer párrafo de este artículo.
Las relaciones de recurrencia de segundo orden no homogéneas son relaciones de recurrencia de la forma \[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\] para todos los enteros \(n\) mayores que algún entero fijo, \(A\N) y \(B\N) son constantes y \(f(n)\} es un polinomio.
Ejemplos de relaciones de recurrencia de segundo orden no homogéneas son,
- \(u_{n+2}=2u_{n+1}-u_{n}+3\),
- \(u_{n}=u_{n-1}-4u_{n-2}+n+1\),
- \(u_{n+1}=9u_{n}+3u_{n-1}-7n^2\)
Resolución de relaciones de recurrencia de segundo orden
Al resolver una relación de recurrencia de segundo orden de la forma
\[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}+f(n),\]
buscamos una expresión del término \(n^{texto{ésimo}}), que adopte la forma
\[u_{n}=c(n)+p(n),\]
donde \(c(n)\) es la función complementaria y \(p(n)\) es la función particular.
El primer paso para resolver relaciones de recurrencia de segundo orden, es resolver su parte homogénea, también llamada ecuación reducida. Si ocultas \(f(n)\) llegarás a la parte homogénea de una relación de recurrencia,
\[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}, \]
y para resolver esta parte tendrías que hallar lo que llamamos la función complementaria \(c(n).\)
Ahora, para hallar la función complementaria, procedemos como sigue. Buscamos una expresión de la forma \(u_{n}=r^n\) donde \(u_{n}\) satisface
\[u_{n+2}=Au_{n+1}+B u_{n}. \]
Sustituyendo se llega a
\[\begin{align} u_{n+2}&=Au_{n+1}+Bu_{n} \\ r^{n+2}&=Ar^{n+1}+Br^{n}\ r^2-Ar-B&=0\end{align}\]
\(r^2-Ar-B=0\) se llama ecuación característica y el número de soluciones que tenga determinará la forma general de la función complementaria \(c(n).\)
Distinguimos tres casos para la ecuación característica \(r^2-Ar-B=0.\)
- Si \(r^2-Ar-B=0\) tiene dos soluciones reales distintas \(r_1\) y \(r_2\), entonces \[u_n=Cr_{1}^n+Dr_{2}^n,\] para unas constantes \(C\) y \(D\).
- Si \(r^2-Ar-B=0\) tiene una raíz doble \(r\), entonces \[u_n=Cr^n+Dnr^n.\].
- Si \(r^2-Ar-B=0\) tiene dos raíces complejas \(z_1\) y \(z_2\), entonces \[u_n=C z_1^n+Dz_2^n,\] para unas constantes \(C\) y \(D\).
En cuanto a la solución particular \(p(n)\), toma la forma del polinomio \(f(n).\)
Ahora, ¡hagamos el trabajo y recapitulemos los pasos del cálculo!
Paso 1. Halla la ecuación reducida estableciendo \(f(n)=0\).
Para las relaciones de recurrencia homogéneas, la ecuación reducida es la misma que la ecuación de la relación de recurrencia. Esto te da una ecuación de la forma \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}\).
Paso 2. Encuentra la ecuación característica y resuelve para \(r\).
Paso 3. Halla la función complementaria utilizando los valores de \(r\).
| Raíces reales y distintas \ (r_{1}\}) y \ (r_{2}\}) | \(c(n)=Cr_{1}^{n}+D r_{2}^{n}\) |
| Raíces reales repetidas \ (r_{1}=r_{2}=r\) | \(c(n)=Cr^{n}+Dnr^{n}\) |
| Raíces complejas \(r_1=z_1\) y \(r_{2}=z_2\) | \(c(n)=C z_1^n+D z_2^n \) |
Paso 4. Encuentra la forma general de la solución particular y sustituye \(p(n)=u_{n}\) en la ecuación original y resuelve las incógnitas.
Paso 5. Utilizando el valor inicial dado en la pregunta, halla el valor de \(C\) y \(D\).
Los ejemplos siempre son una buena idea para entender el tema, así que ¡allá vamos!
Ejemplo de resolución de una relación de recurrencia de segundo orden no homogénea con raíces reales distintas
Resuelve la relación de recurrencia \ (u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_{n}+4n+12\) con los valores iniciales \(u_{1}=-1\) y \(u_{2}=16\).
Solución
Paso 1. Halla la ecuación reducida estableciendo \(f(n)=0\), para obtener
$$u_{n+2}=2u_{n+1}+3u_n.$$
Paso 2. Halla la ecuación característica y resuelve para \(r\).
La ecuación característica viene dada por \(r^2-2r-3=0,\) resolviéndola obtenemos \(r_1=-1\) y \(r_2=3.\)
Paso 3. Encuentra la función complementaria \(c(n).\)
\[c(n)=Cr_1^{n}+Dr_2^{n}=C(-1)^n+D 3^n\]
Paso 4. Encuentra la forma de la solución particular y sustituye \(p(n)=u_{n}\) en la ecuación original y resuelve las incógnitas.
Como \(f(n)=4n+12\), la solución particular tiene la forma \(p(n)=an+b\).
Establece \(p(n)=u_n=an+b\), por tanto, \(p(n+1)=u_{n+1}=a(n+1)+b\)) y \(p(n+2)=u_{n+2}=a(n+2)+b\).
Sustituyéndolos en la ecuación original obtenemos
\[\in{align} u_{n+2}&=2u_{n+1}+3u_n+4n+12 \a(n+2)+b&=2(a(n+1)+b)+3(an+b)+4n+12 \a+2a+b&=2an+2a+2b+3an+3b+4n+12 \end{align}\a].
Para resolver \(a\) y \(b\), comparas coeficientes.
Comparando los coeficientes de \(n\) se obtiene
\[a&=2a+3a+4 \ a&=-1 \end{align}\]
Comparando los términos constantes se obtiene
\[\begin{align} 2a+b&=2a+2b+3b+12 \\\b b&=-3 \end{align}]
Por tanto, la solución particular es \(p(n)=-n-3.\)
Por tanto, la solución general es \(u_n=C(-1)^n+D3^{n}-n-3.\\)
Paso 5. Utilizando los valores iniciales dados en la pregunta, halla los valores de \(C\) y \(D\).
Como los valores iniciales son \(u_{1}=-1\) y \(u_{2}=16\), tenemos
\[\begin{align} u_1=-1&=C(-1)+D(3)-1-3 \\ -C+3D&=3\end{align}]
\[\begin{align} u_2=16&=C(-1)^2+3^2D-2-3 \\ C+9D&=21 \end{align}\]
Resolviendo las ecuaciones anteriores simultáneamente obtenemos, \(C=3\) y \(D=2\).
Por tanto, la solución es la ecuación de forma cerrada
$$u_n=3 veces (-1)^n+2 veces 3^n -n-3.$$
Ejemplo de solución de una relación de recurrencia homogénea de segundo orden con raíces repetidas
Resuelve la relación de recurrencia \(u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}) con los valores iniciales \(u_{1}=1\) y \(u_{2}=4\).
Solución
Paso 1. Halla la ecuación reducida.
Como se trata de una ecuación homogénea, tenemos $$u_{n+2}=6u_{n+1}-9u_{n}.$$
Paso 2. Halla la ecuación característica y resuelve para \(r\).
La ecuación característica viene dada por
\[r^2-6r-9=0\]].
Por tanto, \(r_1=r_2=r=3.\)
Paso 3. Halla la función complementaria.
Como tenemos raíces repetidas, la función complementaria viene dada por,
\[\begin{align} c(n)&= Cr^n+Dnr^n=C\times 3^n+D n\times 3^n \end{align}\]
Paso 4. Como \(f(n)=0\) no hay solución particular.
Por tanto, la solución general es \(u_{n}=(C+Dn)\times3^{n}\).
Paso 5. Utilizando los valores iniciales dados, hallamos los valores de \(C\) y \(D\).
Como \(u_{1}=1\) y \ (u_{2}=4\), tenemos
\[\begin{align} u_1&=1=3(C+D)=3C+3D\\ u_{2}&=4=9(C+2D)=9C+18D\end{align}\]
Resolviendo simultáneamente se obtiene
$$C=\frac{2}{9}, D=\frac{1}{9}.$$ Por lo tanto,
$$ u_{n}=\left(\frac{2}{9}+\frac{n}{9}\right)\times3^{n}.$$
Ejemplo de resolución de una relación de recurrencia homogénea de segundo orden con raíces complejas
Resuelve la relación de recurrencia \(u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_{n}) con los valores iniciales \(u_{1}=24\) y \(u_{2}=-54\).
Solución
Paso 1. Halla la ecuación reducida.
Como se trata de una ecuación homogénea, tenemos $$u_{n+2}=8u_{n+1}-41u_n.$$
Paso 2. Encuentra la ecuación característica y resuelve para \(r\).
La ecuación característica viene dada por \[r^2-8r-41=0,\] por tanto \(r_1=z_1=4+5i\) y \(r_2=z_2=4-5i\).
Paso 3. Halla la función complementaria.
\[\begin{align} c(n)&=Cz_{1}^{n}+Dz_{2}^{n} \\ &=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n. \end{align}\]
Paso 4. Encuentra la solución particular.
Como \(f(n)=0\), no hay solución particular.
Ahora tenemos una solución general, \(u_n=C(4+5i)^n+D(4-5i)^n\).
Paso 5. Utilizandolos valores iniciales dados en la pregunta, halla los valores de \(C\) y \(D.\)
Como los valores iniciales son \(u_{1}=24\) y \(u_{2}=-54\), tenemos
\[\begin{align}u_1&=24=C(4+5i)+D(4-5i)\\ u_2&=-54=C(4+5i)^2+D(4-5i)^2 \end{align}\]
Resolviendo simultáneamente, se obtiene \(C=3\) y \(D=3\).
Por tanto, la solución es la ecuación de forma cerrada
$$u_n=3(4+5i)^n+3(4-5i)^n.$$
Relación de recurrencia de segundo orden - Puntos clave
- Las relaciones de recurrencia de segundo orden son aquellas en las que cada término de la secuencia es función de los dos anteriores y tienen la forma \(u_{n+2}=Au_{n+1}+Bu_{n}+f(n)\) donde \(f(n)\) es un polinomio y \(A\) y \(B\) son constantes.
- Las relaciones de recurrencia de segundo orden se denominan homogéneas si \(f(n)=0\) y no homogéneas en caso contrario.
- Resolver relaciones de recurrencia de segundo orden implica encontrar la solución de forma cerrada.
- El método que utilizamos para resolver estas relaciones de recurrencia se denomina Técnica Característica y se resume en los siguientes pasos,
- Paso 1. Encuentra la ecuación reducida estableciendo \(f(n)=0\).
- Paso 2. Halla la ecuación característica y resuelve para \(r\).
- Paso 3. Halla la función complementaria.
- Paso 4. Encuentra la solución particular y sustituye \(p(n)=u_{n}\) en la ecuación original y resuelve la incógnita.
- Paso 5. Ahora que tienes una forma general para la solución, utiliza los valores iniciales dados en la pregunta para hallar las incógnitas restantes.
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