Fig. 1 - Cono simple.
Definición de las secciones cónicas
La imagen anterior es de un cono simple, pero cuando se habla de secciones cónicas, en realidad hay que pensar en un cono doble, como en la imagen siguiente. Esto es importante porque introduce una sección transversal más sobre la que aprenderás.
Fig. 2 - Cono doble utilizado para las secciones cónicas.
Una seccióncónica es la curva resultante de la intersección de un cono con un plano.
Las secciones cónicas pueden considerarse familias de curvas que resultan de la intersección de un plano con un cono determinado.
Tipos de secciones cónicas
Hay cuatro tipos de secciones cónicas que pueden resultar de estas intersecciones.
Círculo
Cuando el plano interseca al cono perpendicularmente al eje (pero no a través del punto central), la sección resultante será un círculo. Los círculos son técnicamente un tipo específico de elipse.
Fig. 3 - Círculo formado por la intersección de un cono y un plano perpendicular al eje del cono.
Elipse
Cuando el plano interseca a uno de los conos de forma inclinada, la sección transversal resultante será una elipse. Las elipses (y por tanto también los círculos) se consideran secciones cónicas cerradas.
Fig. 4 - Elipse formada por la intersección de un cono y un plano inclinado.
Para más información sobre este tipo de sección cónica, consulta Elipses.
Parábola
Cuando el plano interseca a uno de los conos por una de las bases, la sección resultante será una parábola. Una parábola es una sección cónicano limitada.
Fig. 5 - Parábola formada por la intersección de un cono y un plano que pasa por una de las bases.
Hipérbola
Cuando el plano interseca ambos conos (pero no pasa por el centro), la sección transversal resultante es una hipérbola. Una hipérbola está formada por dos piezas, llamadas ramas, que parecen dos parábolas simétricas. Las hipérbolas también son secciones cónicas no limitadas.
Fig. 6 - Hipérbola formada por la intersección de un doble cono y un plano que pasa por las bases de ambos conos.
Gráfico de secciones cónicas
Cada sección cónica puede definirse mediante una ecuación que puede representarse gráficamente en un plano de coordenadas cartesianas estándar. Pero antes de ver las ecuaciones, veamos sus gráficas y algunas de sus características importantes.
Características de todas las secciones cónicas
Todas las secciones cónicas tienen tres características en común: un foco (o focos), una directriz (o directrices) y una excentricidad.
Foco
Un foco es un punto fijo especial utilizado en la construcción de secciones cónicas en un plano de coordenadas. Está situado "dentro" de la sección cónica. También puedes ver los focos denominados loci.
Las circunferencias y las parábolas tienen un foco. Laselipses y las hipérbolas tienen dos focos (plural de la palabra foco). Junto con la directriz, el foco ayuda a determinar la excentricidad y la curvatura de la sección cónica.
Para más información sobre estos temas, consulta Excentricidad de las secciones cónicas y Loci con secciones cónicas.
Directriz
Una directriz es una línea fija perpendicular al eje de la sección cónica que, junto con los focos, ayuda a definir la forma de la sección cónica. Está situada "fuera" de la sección cónica.
Una parábola tiene una directriz. Las elipses y las hipérbolas tienen dos directrices (el plural de la palabra directriz). Un círculo no tiene una directriz definida. Puedes pensar que la distancia entre los puntos de una circunferencia y su "directriz" es infinita.
Excentricidad
La excentricidad describe la curvatura de la sección cónica y se define por la relación entre la distancia entre un punto de la sección cónica y un foco y la distancia entre ese punto y la directriz.
La excentricidad será constante dentro de una sección cónica. Una excentricidad mayor significa una curvatura menor, porque la excentricidad te indica cuánto varía la sección cónica respecto a ser un círculo. El tamaño de la excentricidad también puede indicarte con qué tipo de sección cónica estás trabajando:
Si la excentricidad es igual a \(0\), entonces la sección cónica es un círculo.
Si la excentricidad está entre \(0\) y \(1\), la sección cónica es una elipse.
Si la excentricidad es igual a \(1\), la sección cónica es una parábola.
Si la excentricidad es mayor que \(1\), la sección cónica es una hipérbola.
Para comprender mejor la excentricidad y el razonamiento entre estos valores, consulta nuestro artículo sobre la Excentricidad de las secciones cónicas.
Círculo
Como de costumbre, los círculos son elegantemente sencillos. Sólo necesitas conocer el punto central \((h,k)\) y el radio \(r\). Con esa información, puedes representar gráficamente una circunferencia y escribir su ecuación. En una circunferencia, el centro es también el foco y, como ya se ha dicho, no hay una directriz definida. La imagen siguiente muestra un ejemplo de círculo con el centro y el radio marcados.
Fig. 7 - Gráfica de una circunferencia mostrando el centro y el radio.
Elipse
Las elipses tienen muchas características similares a los círculos. De hecho, los círculos son un tipo particular de elipse. Una elipse típica tiene el mismo aspecto que un óvalo. Son más anchas en una dirección que en la otra. La dirección más ancha se llama eje mayor, y la más corta, eje menor.
Para profundizar en las características y ecuaciones de las elipses, consulta nuestro artículo sobre Elipses. La imagen siguiente muestra una elipse con el centro, los focos y las directrices etiquetados.
Fig. 8 - Gráfica de una elipse que muestra el centro, los focos, las directrices y los ejes mayor y menor.
Parábola
Es posible que ya estés familiarizado con las parábolas, puesto que son un tema importante del Álgebra. Probablemente sepas que una parábola tiene el aspecto de un arco simétrico o forma de U. Además de un foco y una directriz, una parábola tiene un vértice. Éste se encuentra en el eje de simetría de la parábola, en la "curva".
Fig. 9 - Gráfica de una parábola que muestra el vértice, el foco y la directriz.
Hipérbola
Una hipérbola parece un par de parábolas iguales que se dirigen hacia fuera en direcciones opuestas. En las hipérbolas, el centro \((h,k)\) está situado equidistante de los dos vértices de las ramas. La distancia entre los vértices de las dos ramas se denomina eje transversal. El eje conjugado es perpendicular a éste. En el siguiente apartado, verás cómo afecta la ecuación a estos valores. Estos ejes también ayudan a determinar las asíntotas oblicuas que forman la figura de la parábola.
Fig. 10 - Gráfica de la hipérbola que muestra el centro, los vértices, los focos, las directrices y los ejes transversal y conjugado.
Resolución de secciones cónicas y fórmulas
Todas las secciones cónicas tienen su origen en la misma ecuación general
\[Ax^2+Bxy+Cy^2+Dx+Ey+F=0\]
donde \(A, B, C, D, E, \text{ y } F\) son constantes. La sección cónica que se describe depende del valor de cada constante y de si es positiva o negativa. Pero esta ecuación no es fácil de trabajar ni de representar gráficamente, por lo que no se utiliza a menudo.
Cada sección cónica tiene su propia fórmula, o ecuación, que puede utilizarse para representarla gráficamente en un plano de coordenadas cartesianas, como en las imágenes anteriores. Cada una de las ecuaciones siguientes es la forma estándar o forma cónica de la ecuación. Estas formas de la ecuación son las más útiles a la hora de representar gráficamente e identificar las características importantes de cada sección cónica.
Círculo
Como ya hemos dicho, sólo necesitas el centro y el radio de una circunferencia para escribir la ecuación o hacer la gráfica.
La ecuación de una circunferencia con centro \((h,k)\) y radio \(r\) es
\[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2 \]
o
\[ \frac{(x-h)^2}{r^2}+\frac{(y-k)^2}{r^2}=1.\]
La primera forma de la ecuación es probablemente la que verás más a menudo. La segunda forma muestra cómo se relaciona con la ecuación de la elipse que se muestra en el siguiente apartado.
Elipse
Las elipses también son bastante sencillas. Sólo necesitas un centro y las distancias entre el centro y el extremo de cada eje.
La ecuación de una elipse con centro \((h,k)\), eje mayor \(2a\) y eje menor \(2b\) es
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1. \]
Si \(a>b\) entonces la elipse es más ancha que alta, y se llama elipse horizontal. Si \(a<b\), la elipse es más alta que ancha, y se denomina elipse vertical.
Para un círculo, \(a=b\).
Parábola
Es probable que ya hayas aprendido mucho sobre las parábolas. La ecuación puede ser en forma general, en forma factorizada o en forma de vértice. La ecuación siguiente es la forma cónica que relaciona una parábola con sus características importantes de sección cónica.
La ecuación de una parábola con vértice \((h,k)\) y distancia \(p\) entre el vértice y el foco (o entre el vértice y la directriz) es
\[(x-h)^2=4p(y-k)\]
para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo, o
\[(y-k)^2=4p(x-h)\]
para una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha.
Hipérbola
Una hipérbola parece un par de parábolas iguales que se dirigen hacia fuera en direcciones opuestas. En las hipérbolas, el centro \((h,k)\) está situado equidistante de los dos vértices de las ramas. La distancia entre los vértices de las dos ramas se denomina eje transversal y se define como \(2a\). El eje conjugado es perpendicular a éste y se define como \(2b\). Este eje ayuda a definir la amplitud de las ramas.
La ecuación de una hipérbola con centro \((h,k)\), eje transversal \(2a\) y eje conjugado \(2b\) es
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \]
para una hipérbola que se abre a izquierda y derecha, o
\[\frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1\]
para una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo.
Reglas para calcular secciones cónicas
También hay reglas y fórmulas para hallar las características importantes de las distintas secciones cónicas, como el foco, la directriz y la excentricidad. Todo lo que necesitas para círculos y parábolas está incorporado en las ecuaciones anteriores. Pero para las elipses y las hipérbolas, encontrar estas características requiere un poco más de trabajo.
Hallar los focos y las rectas de las elipses
Para la ecuación de la elipse
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\]
que tiene un eje mayor horizontal, la fórmula para hallar la distancia \(c\) entre el centro y cualquiera de los focos es
\[c=\sqrt{a^2-b^2}.\]
Una vez hallada esta distancia, súmala a \(h\), la coordenada \(x\) del centro, para hallar un foco, y réstala de \(h\) para hallar el otro foco. Las coordenadas de los focos serán \((h\pm c,k)\). Los focos deben caer siempre dentro de la elipse.
La fórmula para hallar la excentricidad \(e\) de una elipse es
\[e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\]
que necesitarás para hallar las directrices. Una vez hallado \(e\), puedes utilizarlo en la fórmula para hallar la distancia \(d\) entre el centro y las directrices, que es
\[d=\frac{a}{e}.\\]
Al igual que con el foco, una vez hallada esta distancia, súmala a \(h\), la coordenada \(x\) del centro, para hallar una directriz, y réstala de \(h\) para hallar la otra directriz. Las ecuaciones de las rectas directriz serán \(x=h\pm d\). Las directrices deben caer siempre fuera de la elipse.
Si la elipse tiene la forma
\[\frac{(x-h)^2}{b^2}+\frac{(y-k)^2}{a^2}=1,\]
que tiene un eje mayor vertical, las fórmulas seguirán siendo las mismas, salvo que las distancias se sumarán a \(k\), la coordenada \(y\) del centro (en lugar de la coordenada \(x\)). Las líneas directriz serán \(y=k\pm d\).
El siguiente ejemplo muestra cómo hallar los focos y las directrices de la elipse de la gráfica anterior.
La gráfica anterior es la de la elipse definida por la ecuación
\[\frac{(x+2)^2}{4}+\frac{(y-1)^2}{1}=1.\]
Halla los focos y las directrices.
Focos: Empecemos por hallar la distancia focal desde el centro utilizando la fórmula \(c=\sqrt{a^2-b^2}\) y sustituyendo.
\[\begin{align} c&=\sqrt{a^2-b^2}\\c&=\sqrt{4-1}\\&=\sqrt{3}.\\ \end{align}\]
Como se trata de una elipse con orientación horizontal (el eje mayor es horizontal), encontrarás los focos a izquierda y derecha del centro. El centro está en el punto (-2,1) (recuerda que este punto aparece en la ecuación de la elipse). Por tanto, un foco estará en \((-2+sqrt{3},1)\) (o alrededor de \((-0,27,1)\)), y el otro foco estará en \((-2-\sqrt{3},1)\) (o alrededor de \((-3,73,1)\)).
Directrices: Para hallar las directrices, primero tienes que hallar la excentricidad, mediante la fórmula
\[e=\sqrt{1-\frac{b^2}{a^2}}\]
y sustituyendo
\e=cuadrado1-\frac {b^2} {a^2}&=cuadrado1-\frac {1} {4}&=cuadrado3} {4}&=cuadrado3} {2}.\final}]
A continuación, halla la distancia entre el centro y cada directriz con la fórmula \(d=\dfrac{a}{e}\}). Así que
\[d=\frac{2}{\frac{\sqrt{3}}{2}}=\frac{4}{\sqrt{3}}.\]
Suma este valor a \(h\) para hallar las ecuaciones de las rectas directriz. Una de ellas estará situada en \(x=-2++dfrac{4}{sqrt{3}}aprox 0,31), y la otra en \(x=-2-\dfrac{4}{sqrt{3}}aprox -4,31).
Tómate un momento para desplazarte hasta el gráfico de la elipse y comprobar que estos valores coinciden con los focos y las directrices indicados en el gráfico.
Hallar los focos y las directrices de las hipérbolas
Para la ecuación de la hipérbola
\[\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1,\]
que se abre a izquierda y derecha (y tiene un eje transversal horizontal), la fórmula para hallar la distancia \(c\) entre el centro y cualquiera de los dos focos es
\[c=\sqrt{a^2+b^2}.\]
Una vez hallada esta distancia, súmala a \(h\), la coordenada \(x\) del centro, para hallar un foco, y réstala de \(h\) para hallar el otro foco, igual que con una elipse. Las coordenadas de los focos serán \((h\pm c,k).\) Los focos deben caer siempre dentro de las ramas de la hipérbola.
Para hallar lasdirectrices, utiliza la fórmula para hallar ladistancia \(d\) entre el centro y las directrices, que es
\[d=\frac{a^2}{c}.\]
Una vez hallada esta distancia, súmala a \(h\), la coordenada \(x\) del centro, para hallar una de las directrices, y réstala de \(h\) para hallar la otra. Las ecuaciones de las rectas directriz serán \(x=h\pm d\). Las directrices deben caer siempre entre las ramas de la hipérbola.
El ejemplo siguiente muestra cómo hallar los focos y las directrices de la hipérbola de la gráfica anterior.
La gráfica anterior es la de la hipérbola definida por la ecuación
\[\frac{(x-8)^2}{16}-\frac{(y-6)^2}{9}=1.\]
Halla los focos y las directrices.
Focos: Empecemos por hallar la distancia focal desde el centro utilizando la fórmula \(c=\sqrt{a^2+b^2}\) y sustituyendo.
\[\begin{align} c&=\sqrt{a^2+b^2}\\&=\sqrt{16+9}\\&=\sqrt{25}=5.\\ \end{align}\]
Como se trata de una hipérbola que se abre a izquierda y derecha, encontrarás los focos a izquierda y derecha del centro. El centro está en el punto (8,6). Así que un foco estará en \((8+5,6)\text{ o }(13,6)\), y el otro foco estará en \((8-5,6)=(3,6).\)
Directrices: A continuación, utiliza la fórmula \(d=\dfrac{a^2}{c}) para hallar la distancia entre el centro y las directrices.
\[\begin{align} d&=\frac{a^2}{c}\\&=\frac{16}{5}\\&=3.2.\\ \end{align}\]
Suma este valor a \(h\) para hallar las ecuaciones de las rectas directriz. Una directriz estará situada en \(x=8+3,2=11,2\), y la otra directriz estará situada en \(x=8-3,2=4,8.\)
De nuevo, tómate un momento para desplazarte hacia arriba y comprobar que el gráfico coincide.
Ejemplos de secciones cónicas
Hay muchos tipos diferentes de problemas de secciones cónicas. Los ejemplos anteriores sobre cómo hallar los focos y las directrices son sólo uno de ellos. A continuación verás otro tipo: cómo representar gráficamente una sección cónica a partir de su ecuación.
Graficar una elipse
Representar gráficamente una elipse no es demasiado difícil. Es bastante similar a la representación gráfica de una circunferencia. El siguiente ejemplo muestra los pasos a seguir.
Grafica la ecuación:
\[\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1.\]
Paso 1: Identifica el tipo de sección cónica y la orientación.
Cuando veas una ecuación de sección cónica con un término \(x^2\) y un término \(y^2\), debes pensar automáticamente en una elipse o una hipérbola. La única diferencia significativa en las ecuaciones es el signo de suma o resta entre las fracciones. Las elipses tienen suma entre los términos, como ésta.
La orientación viene determinada por dónde está el eje mayor. Aquí \(a=2\) y \(b=4\), por lo que \(a<b\) y esta elipse tiene una orientación "vertical".
Paso 2: Traza el centro y los ejes mayor y menor.
Toda la información que necesitas para estas cosas está ahí, en la ecuación. Los valores entre paréntesis con las variables forman el centro. Recuerda que la forma estándar de la ecuación de la elipse incluye un signo de resta delante de la coordenada. Para esta ecuación, el centro es \((h,k)=(1,0)\).
Los denominadores de los términos te indican la distancia desde el punto central hasta el extremo de cada eje. El eje mayor (aquí, el eje vertical) es \(2a=8\), o \(a=4\), y el eje menor (aquí, el eje horizontal) es \(2b=4\), o \(b=2\).
Represéntalos en un gráfico, como en la imagen siguiente.
Fig. 11 - Esquema del centro, eje mayor y eje menor necesarios para trazar la gráfica de una elipse.
Paso 3: Une los puntos extremos de los ejes para formar una elipse.
Empieza en cualquier punto final de cualquiera de los ejes. Traza una curva para conectarlo con un extremo adyacente de un eje. Continúa hasta cerrar la elipse. Observa en la imagen siguiente el aspecto que debe tener la gráfica final.
Fig. 12 - Gráfica de la ecuación elíptica \(\frac{(x-1)^2}{4}+\frac{y^2}{16}=1.\)
Veamos ahora las hipérbolas.
Gráfica de una hipérbola
Representar gráficamente una hipérbola a partir de su ecuación puede ser complicado. El siguiente ejemplo muestra los pasos necesarios.
Grafica la ecuación:
\[\frac{(y-4)^2}{25}-\frac{(x+2)^2}{9}=1.\]
Paso 1: Identifica el tipo de sección cónica y la orientación.
Observa el signo de resta entre las fracciones. Eso indica que se trata de la ecuación de una hipérbola. Para comprobar su orientación, es decir, si se abre hacia la izquierda/derecha o hacia arriba/abajo, comprueba qué variable tiene el signo negativo. Como la \(x\) tiene el signo negativo delante del paréntesis, entonces esta hipérbola estará orientada verticalmente y se abrirá hacia arriba y hacia abajo.
Paso 2: Utiliza la ecuación para identificar el centro y los vértices.
El centro forma parte de la ecuación, así que el centro \((h,k)=(-2,4)\). El denominador de la primera fracción de las ecuaciones te dice a qué distancia están del centro los vértices de las ramas de la hipérbola. En la ecuación estándar, el denominador se define como \(a^2\). Por tanto, para esta hipérbola, \(a=5\). Y como la hipérbola está orientada hacia arriba y hacia abajo, los vértices estarán \(5\) unidades por encima y por debajo del centro, por tanto \((-2,9)\) y \((-2,-1)\). El segmento de recta entre los vértices, que tiene la longitud \(2a\), es el eje transversal.
Paso 3: Traza los puntos, ejes y asíntotas importantes.
Ya conoces el eje transversal del Paso 2. También necesitarás conocer el eje conjugado, que puedes hallar a partir del denominador de la segunda fracción. Ese denominador es \(b^2\) en la ecuación, así que para esta ecuación \(b=3\). El eje conjugado tiene una longitud de \(2b=6\), por lo que \(b=3\), y es perpendicular al eje transversal por el centro.
A continuación, necesitas las asíntotas que forman los límites de la hipérbola. Utiliza los ejes transversal y conjugado para trazar un rectángulo. Después dibuja las diagonales del rectángulo, extendiéndolas más allá del propio rectángulo, para formar las asíntotas. Comprueba en el diagrama siguiente lo que hay que esbozar hasta ahora.
Fig. 13 - Esbozo del centro, vértices, ejes transversal y conjugado y asíntotas necesarios para dibujar la gráfica de una hipérbola.
Paso 3: Esboza las ramas.
Partiendo de cada vértice, dibuja una curva en forma de U que se aproxime a cada asíntota. Debe parecerse a la gráfica siguiente.
Fig. 14 - Gráfica de la ecuación hiperbólica \(\frac{(y-4)^2}{25}-\frac{(x+2)^2}{9}=1.\)
Secciones cónicas - Puntos clave
- Las secciones cónicas son el resultado de la intersección de un doble cono con un plano.
- Existen cuatro secciones cónicas: círculo, elipse, parábola e hipérbola.
- Cada sección cónica tiene un foco y una directriz (o dos de cada) que determinan la excentricidad, o curvatura, de la sección cónica.
- La forma estándar de la ecuación de cada sección cónica es
- Círculo: La ecuación de una circunferencia con centro \((h,k)\) y raduis \(r\) es \[(x-h)^2+(y-k)^2=r^2\].
- Elipse: La ecuación de una elipse con centro \((h,k)\), eje mayor \(2a\) y eje menor \(2b\) es \[\frac{(x-h)^2}{a^2}+\frac{(y-k)^2}{b^2}=1. \] Si \(a>b\) entonces la elipse es más ancha que alta, y se llama elipse horizontal. Si \(a<b\) entonces la elipse es más alta que ancha, y se llama elipse vertical.
- Parábola: La ecuación de una parábola con vértice \((h,k)\) y distancia \(p\) entre el vértice y el foco (o entre el vértice y la directriz) es \[(x-h)^2=4p(y-k)\]para una parábola que se abre hacia arriba o hacia abajo, o\[(y-k)^2=4p(x-h)\] para una parábola que se abre hacia la izquierda o hacia la derecha.
- Hipérbola: La ecuación de una hipérbola con centro \((h,k)\), eje transversal \(2a\) y eje conjugado \(2b\) es \[\frac{(x-h)^2}{a^2}-\frac{(y-k)^2}{b^2}=1 \] para una hipérbola que se abre a izquierda y derecha, o \frac{(y-k)^2}{a^2}-\frac{(x-h)^2}{b^2}=1 \2] para una hipérbola que se abre hacia arriba y hacia abajo.
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