Segmento de un círculo: Área, Fórmulas

Índice de temas

Los segmentos se dividen en mayores y menores:

Los segmentos mayores son la mayor proporción del círculo.
Los segmentos menores son la proporción más pequeña del círculo.

Segmento de una circunferencia Diagrama de segmento mayor y menor StudySmarter Segmento mayor y menor de un círculo -EstudiarMás Originales

Cuando trabajes con el área de un segmento de una circunferencia, debes recordar siempre la fórmula del área de una circunferencia: $π \times r^{2}$ . Ésta es la fórmula que debes utilizar independientemente de si el ángulo está en radianes o en grados.

Unidades para el ángulo del segmento de una circunferencia

Al calcular el área o la circunferencia de un segmento de una circunferencia, el ángulo en el centro de la circunferencia que define el segmento puede expresarse en radianes o en grados.

Los grados son denotados por $^{\circ}$ . En grados, una rotación completa equivale a $360^{\circ}$ .
Los radianes son otro tipo de unidad para los ángulos. Se definen por la relación entre el radio del círculo y la longitud del arco del círculo y se denotan por $^{r}$ . En radianes, una rotación completa es igual a $2 π^{r}$ .

Hallar el área de un segmento de una circunferencia cuando el área está en radianes

Para hallar el área de un segmento de una circunferencia (la parte azul), necesitas conocer el ángulo en el centro donde los radios cortan la cuerda (x) y el radio:

Segmento de un círculo diagrama de triángulo con ángulo de segmento StudySmarter Triángulo formado por el ángulo que define el segmento - StudySmarter Originals

Fórmulas para hallar el área de un segmento de circunferencia cuando el ángulo está en radianes

Para hallar el área de un segmento menor de una circunferencia cuando el ángulo en el centro (x) está en radianes, la fórmula es:

$M i n o r s e g m e n t = \frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))$

Para hallar el área de un segmento mayor de una circunferencia cuando el ángulo en el centro está en radianes, la fórmula es:

$M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [\frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))]$

En lugar de intentar recordar ambas fórmulas, quizá sea más fácil recordar la fórmula del área del segmento mayor como una ecuación de palabras:

$M a j o r S e g m e n t = a r e a o f a c i r c l e - a r e a o f m i n o r s e g m e n t$

El círculo A tiene un segmento menor resaltado en rosa.

Halla el área del segmento menor.
Halla el área del segmento mayor.

Segmento de un círculo ejemplo diagrama de segmento StudySmarter

a. Encontrar el segmento menor

Empieza por definir las características del segmento: $R a d i u s = 9; A n g l e = \frac{π}{3}$
Sustitúyelo en la fórmula:

M i n o r s e g m e n t = \frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))

M i n o r s e g m e n t = \frac{1}{2} \times 9^{2} \times (\frac{π}{3} - S i n (\frac{π}{3}))

Segmento menor = 7,64 unidades cuadradas (3 pies cuadrados)

b. Hallar el área del segmento mayor

Para hallar el segmento mayor, resta el segmento menor del área del círculo.

M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [\frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - Sin (x))]

$M a j o r S e g m e n t = (π \times 9^{2}) - [\frac{1}{2} \times 9^{2} \times (\frac{π}{3} - Sin (\frac{π}{3}))]$

Segmento mayor = 247 unidades cuadradas (3 pies cuadrados)

Para comprobarlo, si sumas los segmentos mayor y menor, deberías obtener aproximadamente lo mismo que el área de todo el círculo $(π \times r^{2})$ . En este caso $(π \times 9^{2}) = 254.47 s q u a r e u n i t s$ y segmento menor + segmento mayor = $7.34 + 247 \approx 254.54 s q u a r e u n i t s$ .

Hallar el área de un segmento de una circunferencia cuando el ángulo está en grados

Sigues necesitando conocer el radio y el centro del círculo, pero ahora existe una fórmula diferente.

Fórmulas para hallar el área de un segmento de una circunferencia cuando el ángulo está en grados

La fórmula para hallar el segmento menor de una circunferencia, cuando el ángulo en el centro (x) está en grados:

$M i n o r s e g m e n t = (\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}$

Para hallar el segmento mayor de una circunferencia cuando el ángulo en el centro (x) está en grados, la fórmula es:

$M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [(\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}]$

Utiliza el mismo principio que cuando el ángulo está en radianes: tienes que restar el segmento menor de toda el área del círculo.

El círculo B tiene un segmento menor, y el ángulo en el centro define la longitud del segmento. El ángulo es $120^{\circ}$ y el radio es de 10 cm.

¿Cuál es el área del segmento menor del círculo B?
¿Cuál es el área del segmento mayor del círculo B?

a. Halla el segmento menor del Círculo B.

Identifica toda la información clave necesaria para calcular el área. Radio = 10 cm; ángulo en el centro = $120^{\circ}$
Sustituye en la fórmula

$M i n o r s e g m e n t = (\frac{π \times x}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}$

$M i n o r s e g m e n t = (\frac{120 \times π}{360} - \frac{\sin (120)}{2}) \times 10^{2}$

Segmento menor = 75,7 unidades cuadradas (3 sf)

b. Hallar el segmento mayor del Círculo B.

Sustituye la información clave en la fórmula del segmento mayor

M a j o r s e g m e n t = (π \times r^{2}) - [(\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}]

M a j o r s e g m e n t = (π \times 10^{2}) - [(\frac{120 π}{360} - \frac{\sin (120)}{2}) \times 10^{2}]

Segmento mayor = 239 unidades cuadradas (3 sf)

Longitudes de arco

El método para calcular la longitud de arco de un segmento es el mismo que para calcular la longitud de arco de un sector.

Para hallar la longitud de arco cuando el ángulo en el centro (x) que define el segmento está en radianes:

$A r c L e n g t h = r \times x$

Un segmento del círculo C tiene un radio de 7 cm con un ángulo de $20^{\circ}$ . ¿Cuál es la longitud de arco de este segmento?

$A r c l e n g t h = 20^{°} \times \frac{π}{180} \times 7 = \frac{7 π}{9} c m$

Para hallar la longitud del arco cuando el ángulo en el centro (x) que define el segmento está en grados:

$A r c L e n g t h = x \times r \times \frac{π}{180}$

Un segmento del círculo D tiene un radio de 5 cm con un ángulo de $90^{\circ}$ . ¿Cuál es la longitud de arco de este segmento?

$A r c l e n g t h = 90 \times \frac{π}{180} \times 5 = 7.85 c m (3 s . f)$

Segmento de una circunferencia - Puntos clave

Un segmento de círculo es el área delimitada por la circunferencia y la cuerda. Los segmentos pueden ser mayores (la proporción mayor) o menores (la proporción menor).
Para hallar el área de un segmento menor de una circunferencia, puedes utilizar $\frac{1}{2} \times r^{2} \times (x - \sin (x))$ donde el ángulo (x) está en radianes o $(\frac{x \times π}{360} - \frac{\sin (x)}{2}) \times r^{2}$ donde el ángulo (x) está en grados.
Para hallar el área de un segmento mayor, resta el área del segmento menor al área del círculo.
Calcular la longitud de arco de un segmento es lo mismo que calcular la longitud de arco de un sector. Para calcular la longitud de arco de un segmento cuyo ángulo (x) está en radianes, puedes hacer $r \times x$ . Si el ángulo (x) está en grados, entonces utilizas $r \times x \times \frac{π}{180}$ .

Tarjetas en Segmento de un círculo 16

Empieza a aprender

¿Qué es un segmento?

Un segmento de círculo es el área definida por una línea que va de un lado a otro de la circunferencia.

¿Qué es un segmento menor?

La menor proporción de un círculo definida por una cuerda

¿Qué es un segmento principal?

Proporción mayor de un círculo definida por una cuerda.

Hay dos fórmulas que puedes utilizar para calcular el área de un segmento. ¿Qué decide cuál utilizas?

Las unidades del ángulo en el centro del círculo: si están en radianes o en grados.

¿Cómo se calcula el área del segmento mayor del círculo?

El área del círculo: el área del segmento menor.

La circunferencia A tiene un segmento menor en cuyo centro el ángulo que define la longitud del segmento es de ^100o y un radio de 9. ¿Cuál es el área del segmento menor de la circunferencia A?

91,2 (3 s.f)

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Preguntas frecuentes sobre Segmento de un círculo

¿Qué es un segmento de un círculo?

Un segmento de un círculo es la región delimitada por una cuerda y el arco correspondiente.

¿Cómo se calcula el área de un segmento de círculo?

El área se calcula restando el área del triángulo formado por la cuerda del área del sector del círculo.

¿Qué diferencia hay entre un sector y un segmento de círculo?

Un sector está delimitado por dos radios y un arco, mientras que un segmento está delimitado por una cuerda y su arco.

¿Cuál es la fórmula del área de un segmento circular?

Área = Área del sector - Área del triángulo. Si θ es el ángulo central en radianes, Área del sector = 0.5 * r^2 * (θ - sinθ).

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