Sucesiones y Series

Los distintos tipos de secuencias

Hay dos tipos diferentes de secuencias comunes;

1. Secuencias aritméticas - en esta secuencia, los términos aumentan o disminuyen por adición o sustracción. Esta diferencia es constante y se conoce como diferencia común o \(d\) .

2. Secuencias geométricas - en este tipo de secuencia, los términos aumentan o disminuyen por multiplicación o división. Esta diferencia se conoce como razón común o \(r\) .

Series

Una serie es una suma de los términos de una secuencia, por ejemplo;

• \((3, 9, 15, 21, 27, 33)\) es una secuencia y su serie es \(3 + 9 + 15 + 21 + 27 + 33\)

• \((72, 64, 56, 48, 40, 32)\) es una sucesión y su serie es \(72 + 64 + 56 + 48 + 40 + 32\)

¿Qué fórmulas se utilizan para las secuencias y las series?

Cuando trabajes con secuencias y series, puede que te pidan que encuentres un término concreto dentro de una secuencia o la suma de una serie. Aquí tienes las fórmulas que puedes utilizar para encontrar las respuestas:

Fórmulas para secuencias

Existe una fórmula para los dos tipos de sucesiones, aritméticas y geométricas. La fórmula que se utiliza para hallar el (n)^{º término de} una sucesión aritmética es;

\[ u_n = a + (n-1)d\]

• \(u_n\) es el \(n\)^º término
• \(a\) es el primer término
• \(d\) es la diferencia común.

Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

Encuentra el decimoquinto término de esta secuencia \((5, 12, 19, 26, 33, 40, \ puntos )\)

• \(u_n\) es el \(n\^)º término, por tanto \(n=15\)
• \(a\) es el primer término, por tanto \(a=5\)
• \(d\) es la diferencia común, por tanto \(d = 7\)
• entonces \(u_{15} = 5 + (15-1)7 = 103\)

La fórmula utilizada para hallar el \(n\^)º término de una sucesión geométrica es;

\[ u_n = ar^{n-1}\]

• \(u_n\) es el \(n\^)º término
• \(a\) es el primer término
• \(r\) es el cociente común.

El cociente común es el número utilizado para multiplicar o dividir cada término.

Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

Halla el término (24⁾ de esta secuencia (6, 12, 24, 48, 96, puntos).

• \(u_n\) es el \(n\⁾º término, por tanto \(n=24\)
• \(a\) es el primer término, por tanto \(a=6\)
• \(r\) es el cociente común, por tanto \(r = 2\)
• entonces \(u_{24} = 6\cdot 2^{24-1}\)

Fórmulas para series

La fórmula utilizada para hallar la suma de los primeros términos de una serie aritmética es

\[ s_n = \frac{n}{2}(2a + (n-1)d) \]

• \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos
• \(a\) es el primer término
• \(d\) es la diferencia común.

Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

Halla la suma de los primeros \(35\) términos de esta serie \( (2, 8, 14, 20, 26, 32, \dots ) \)

• \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos por tanto \(n=35\ )
• \(a\) es el primer término, por tanto \(a=2\)
• \(d\) es la diferencia común, por tanto \(d = 6\)
• entonces \[s_{35} = \frac{35}{2}(2\cdot 2 + (35-1)6) \].

Se pueden utilizar dos fórmulas distintas para hallar la suma de una serie geométrica . La primera es más fácil de usar cuando \(r <1\) y la segunda cuando \(r> 1\);

\[ s_n = \frac{a(1-r^n)}{1-r}\]

o

\[ s_n = \frac{a(r^n-1)}{r-1}].

• \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos
• \(a\) es el primer término
• \(r\) es el cociente común

Veamos un ejemplo y cómo lo sustituiríamos en la fórmula;

Halla la suma de los primeros \(50\) términos de esta serie \( (4, 12, 36, 108, \dots ) \)

• \(s_n\) es la suma de los primeros \(n\) términos por tanto \(n=50\ )
• \(a\) es el primer término, por tanto \(a=4\)
• \(r\) es el cociente común, por tanto \(r = 3\)
• entonces \[s_{50} = \frac{4(3^n-1)}{3-1} \]

Notación sigma

La letra griega sigma puede utilizarse para identificar la suma. Para utilizarla, escribe los límites por encima y por debajo de sigma para mostrar los términos que estás utilizando. Esto se muestra a continuación;

\[ \suma_limites_{r=1}^6 (2r+4) \]

Esto te indica que hallarás la secuencia sustituyendo r en la ecuación desde \(1\) hasta \(6\). Esto te dará la cifra para crear tu suma.

¿Cuáles son las aplicaciones de las secuencias y series?

Las secuencias y series pueden aplicarse en muchas situaciones de la vida real, lo que también se conoce como modelización. Muchos ejemplos proceden del dinero: por ejemplo, si alguien ahorra 10€ el primer mes y el segundo mes ahorra el doble de lo que había ahorrado el mes anterior, y así sucesivamente. Así podemos utilizar series geométricas para hallar sus ahorros en un año.