Suma y Resta de Expresiones Racionales: Ejemplos, Técnicas

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$\frac{2 x^{2} - 1}{3 x + 4}$

En este artículo vamos a ver cómo sumar y restar Expresiones Racionales.

Suma y resta de expresiones racionales

Recuerda cómo sumar o restar fracciones. Como las expresiones racionales son esencialmente fracciones cuyo numerador y denominador son polinomios, podemos utilizar aquí el mismo concepto básico.

La regla de oro para sumar y restar fracciones

La regla de oro para sumar y restar fracciones es

Si las fracciones a sumar o restar tienen los mismos denominadores, basta con sumar o restar los numeradores correspondientes manteniendo constante el denominador.

Esto conduce esencialmente a dos tipos de casos de uso:

Expresiones racionales con denominadores comunes
Expresiones racionales con denominadores diferentes

Suma de expresiones racionales con denominadores comunes

Para sumar o restar expresiones con denominadores iguales, basta con sumar o restar (según el signo) los numeradores manteniendo constante el denominador común.

Evalúa

$\frac{2 x^{3}}{5} + \frac{9 x^{3}}{5}$

Solución

Dado que los denominadores son comunes, podemos sumar los numeradores manteniendo constante el denominador.

$\frac{2 x^{3}}{5} + \frac{9 x^{3}}{5} = \frac{2 x^{3} + 9 x^{3}}{5} = \frac{11 x^{3}}{5}$

Evalúa

$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1}$

Solución

$\frac{x^{2}}{x - 1} - \frac{2 x - 1}{x - 1} = \frac{x^{2} - (2 x - 1)}{x - 1} = \frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1}$

Como ^x2-2x+1 es divisible por (x-1), podemos simplificar aún más la expresión.

$\frac{x^{2} - 2 x + 1}{x - 1} = \frac{{(x - 1)}^{2}}{x - 1} = x - 1$

Ten cuidado de que el signo negativo se distribuya por todo el polinomio. Así que -(2x-1) = -2x+1. Hay que negar todos los términos del polinomio.

Suma de expresiones racionales con distintos denominadores

Si tenemos que realizar sumas o restas en expresiones con denominadores distintos, primero manipulamos las expresiones para que acaben teniendo los mismos denominadores.

Puedes seguir el siguiente procedimiento para sumar y restar fracciones con denominadores distintos:

Paso1: Sustituye el denominador de cada término por el mínimo común múltiplo (MCC ) de todos los denominadores.

Paso 2: Sustituye el numerador de cada término por $(o r i g i n a l n u m e r a t o r) \times \frac{L C M o f d e n o m i n a t o r s}{O r i g i n a l d e n o m i n a t o r}$ .

Paso 3: Ahora que todos los denominadores son iguales, suma o resta los numeradores para obtener el numerador resultante sobre el denominador común.

Paso4 : Simplifica la expresión si es necesario.

Como la suma y la resta de polinomios con denominadores distintos implica calcular el MCP de los denominadores, que son polinomios, es necesario estar familiarizado con el cálculo del MCP de polinomios dados.

Hallar el mínimo común múltiplo de dos polinomios

El proceso de hallar el MCP de polinomios algebraicos no difiere del de hallar el MCP de un conjunto dado de números enteros. Antes de pasar a los ejemplos de suma y resta de polinomios con distintos denominadores, veamos primero un ejemplo de evaluación del MCP de 2 polinomios.

Halla el mcm de 15mn y 21np².

Solución:

Descompongamos los términos en sus factores primos y sus factores variables más pequeños.

15mn = 3×5×m×n

21np² = 3×7×n×p×p

Multiplica cada factor el mayor número de veces que aparezca en cualquiera de las factorizaciones.

LCM = 3×5×7×m×n×p×p

=105mnp²

Veamos ahora algunos ejemplos de suma y resta de expresiones racionales con denominadores distintos.

Evalúa

$\frac{m + n}{2} + \frac{2 n + 1}{5}$

Solución

$\frac{m + n}{2} + \frac{2 n + 1}{5} = \frac{2 (m + n) + 5 (2 n + 1)}{10} (L C M o f t h e d e n o m i n a t o r s i s 10) = \frac{2 m + 2 n + 10 n + 5}{10} = \frac{2 m + 12 n + 5}{10}$

Evalúa

$\frac{25}{a} + \frac{11}{2 a} - \frac{35}{a^{2}}$

Solución

\frac{25}{a} + \frac{11}{2 a} - \frac{35}{a^{2}} = \frac{2 a \times 25 + a \times 11 - 35}{2 a^{2}} (L C M o f d e n o m i n a t o r s i s 2 a^{2}) = \frac{50 a + 11 a - 35}{2 a^{2}} = \frac{61 a - 35}{2 a^{2}}

Evalúa

$\frac{8}{4 x^{2} - y^{2}} - \frac{3}{2 x + y}$

Solución

En este ejemplo, tenemos los siguientes polinomios en el denominador :

4x²-y² y 2x+y.

Ahora bien

4x²-y²=(2x+y)(2x-y)

Por tanto, el mcm de los denominadores es (2x+y)(2x-y) [o 4x²-y²].

$\frac{8}{4 x^{2} - y^{2}} - \frac{3}{2 x + y} = \frac{8 - (2 x - y) 3}{(2 x + y) (2 x - y)} = \frac{8 - 6 x + 3 y}{(2 x + y) (2 x - y)}$

Suma y resta de expresiones racionales - Puntos clave

Una expresión racional es una fracción algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios.
Para sumar o restar expresiones con denominadores semejantes, basta con sumar o restar (según el signo) los numeradores, manteniendo constante el denominador común.
Si tenemos que realizar sumas o restas en expresiones con denominadores distintos, primero manipulamos las expresiones para que acaben teniendo los mismos denominadores.

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¿Qué es una expresión racional?

Una expresión racional es una fracción algebraica cuyo numerador y denominador son polinomios.

Halla el mcm de

50x,^xy4 y ^75x2z

^150x2y4z

Halla el mcm de (x²-1), (x²+5x+4) e y

(x-1)(x+1)(x+4)y

Halla el mcm de

2z, 4x y 6xy

12xyz

Halla el mcm de

25x, 45x²y

225x²y

Halla el mcm de

3x², 45xy²

45x²y²

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Preguntas frecuentes sobre Suma y Resta de Expresiones Racionales

¿Qué son las expresiones racionales?

Las expresiones racionales son fracciones algebraicas donde tanto el numerador como el denominador son polinomios.

¿Cómo se suman expresiones racionales?

Para sumar expresiones racionales, primero encuentra un denominador común, luego ajusta los numeradores y suma.

¿Cómo se restan expresiones racionales?

Para restar expresiones racionales, encuentra un denominador común, ajusta los numeradores y resta los numeradores.

¿Qué se debe hacer si los denominadores son diferentes?

Si los denominadores son diferentes, encuentra el mínimo común múltiplo (mcm) de los denominadores para sumarlos o restarlos.

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