Tasa media de cambio: Matemáticas, Cálculo

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Analizaremos el aspecto matemático de los supuestos anteriores, que luego pueden aplicarse a multitud de problemas del mundo real.

Definición y fórmula de la Tasa de variación media

La palabra "media" sugiere que la tasa de cambio que buscamos se producirá a lo largo de un intervalo considerable. La razón por la que la tasa de variación media es útil es que puede extenderse a lo largo de un intervalo grande para obtener resultados bastante precisos.

La Tasa de Cambio Media de una cantidad respecto a otra es la medida de cuánto cambia la cantidad en un intervalo determinado por unidad de cambio de la otra cantidad.

En sentido matemático, las cantidades se sustituyen por "funciones", pero la narración sigue siendo la misma.

Sea $y = f (x)$ es una función definida sobre el intervalo cerrado $[a, b]$ donde a y b son números reales. Queremos conocer la tasa de variación de la función sobre ese intervalo, la definición más rigurosa de Tasa Media de Variación es la siguiente:

La Tasa de variación media deuna función $y = f (x)$ a lo largo de un intervalo $[a, b]$ viene dada como la relación entre el cambio de la función a lo largo del intervalo y el cambio del valor de los puntos extremos.

Traduciendo la definición a una ecuación, la primera parte de la definición es 'el cambio en la función a lo largo del intervalo' que se convierte en $f (b) - f (a)$ y la segunda parte es 'el cambio en el valor de los puntos finales' que se traduce en $b - a$ . Ahora bien, la tasa de variación media de una función es el cociente de éstas, lo que nos da:

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

¿Cuál es la ecuación para hallar la tasa de variación media de y con respecto a x en el intervalo $[a, b]$ . También podemos hallar una expresión similar para la tasa de variación media de x respecto a y en el mismo intervalo, que no será más que el recíproco de la que obtuvimos anteriormente:

$\frac{Δ x}{Δ y} = \frac{b - a}{f (b) - f (a)}$

Pero, ¿cómo puede interpretarse esta tasa media de cambio en un sentido más visual o gráfico? Veámoslo.

Tasa de variación media en un gráfico

Tomemos la misma función conocida $y = f (x)$ sobre el intervalo $[a, b]$ . Ahora vamos a representar gráficamente los puntos extremos para comprender mejor lo que ocurre.

Tasa media de cambio, tasa media de cambio en dos puntos, StudySmarter La tasa media de cambio en dos puntos, StudySmarter Originals

Sean los dos puntos extremos A y B que tienen coordenadas $(a, f (a))$ y $(b, f (b))$ respectivamente. La tasa de variación media entre los dos puntos será la pendiente de la recta que pasa por A y B. La razón es que la relación entre la variación de y y la variación de x no es otra cosa que la pendiente de esa recta.

En otras palabras, la velocidad media de cambio en dos puntos es la pendiente de la recta secante que los atraviesa.

Ten en cuenta que la tasa de variación media de una función puede diferir en distintos intervalos, ya que la pendiente se alterará respectivamente. Para una función lineal, la tasa media de cambio será siempre la misma para cualquier intervalo, lo que puede justificarse gráficamente, ya que la pendiente será siempre la misma recta que la propia función.

Tasa de variación media de una función como gradiente

La tasa de variación media entre dos puntos también puede entenderse equivalentemente como el gradiente entre los dos puntos.

Tasa de variación media, gradiente sobre dos puntos como parte de un triángulo rectángulo, StudySmarter El gradiente sobre dos puntos como parte de un triángulo rectángulo, StudySmarter Originals

Si dibujamos el cambio en las coordenadas y y el cambio en las coordenadas x, obtenemos un triángulo rectángulo como el que se muestra arriba. A partir de las leyes de la trigonometría, el gradiente puede hallarse como:

$\frac{Δ y}{Δ x} = m = s l o p e$

Que no es más que una forma ligeramente distinta de ver la velocidad media de cambio entre dos puntos.

Si los dos puntos A y B están lo suficientemente cerca, la tasa media de cambio es más precisa en un intervalo más largo. Cuanto más cerca estén los puntos, más precisa será la tasa de cambio. Si los puntos se acercan lo suficiente, la tasa de cambio media se convierte en una tasa de cambio instantánea (de la que se habla en el artículo adjunto. Como $Δ y \to 0$ y $Δ x \to 0$ obtenemos $\frac{Δ y}{Δ x} \approx \frac{d y}{d x}$ ).

Ejemplos de Tasa de variación media

Halla la tasa de variación media de la función $f (x) = 2 x^{2} - 1$ cuando x varía de 1 a 3.

Solución:

Paso1 : Calcula el valor de la función en los puntos extremos, 1 y 3:

$f (1) = 2 {(1)}^{2} - 3 = - 1$

$f (3) = 2 {(3)}^{2} - 3 = 15$

Paso 2 : Halla la variación de x: $3 - 1 = 2$ .

Paso3 : Toma el cociente entre el cambio en la función y el cambio en x:

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (3) - f (1)}{3 - 1}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{15 + 1}{2} = 8$

Por tanto, la razón media de cambio de la función respecto a x entre los puntos 3 y 1 es 8.

Halla la tasa de variación media de la función $y = e^{2 t} - \frac{t^{3}}{2}$ entre los valores de t: $0 and \frac{3}{2}$ .

Solución:

Paso 1: Calcula el valor de la función en los puntos dados:

$f (0) = e^{2 (0)} - \frac{{(0)}^{3}}{2} = 1 - 0 = 1$

$f (\frac{3}{2}) = e^{2 . \frac{3}{2}} - \frac{1}{2} {(\frac{3}{2})}^{3} = e^{3} - \frac{27}{16}$

Paso 2 : Calcula la diferencia en las coordenadas t: $\frac{3}{2} - 0 = \frac{3}{2}$ .

Paso3 : Toma el cociente entre el cambio de la función y las coordenadas x:

$\frac{Δ y}{Δ t} = \frac{f (\frac{3}{2}) - f (0)}{\frac{3}{2} - 0}$

$\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{e^{3} - \frac{27}{16} - 1}{\frac{3}{2}}$ $= \frac{2 e^{3}}{3} - \frac{27}{24} - \frac{2}{3}$ $= \frac{16 e^{3} - 27 - 16}{24}$

$\frac{Δ y}{Δ t} = \frac{16 e^{3} - 43}{24}$

Por tanto, la razón media de cambio de la función es $\frac{16 e^{3} - 43}{24}$ entre los puntos $0 and \frac{3}{2}$ .

Un autobús recorre una distancia de 60 km desde su primera parada hasta la última. El autobús tarda unas 2 horas en hacer todo el recorrido. El conductor del autobús dice que hizo varias paradas intermedias y que condujo a distintas velocidades en distintos momentos. El conductor del autobús tiene que informar de la velocidad media a la que conducía para que las autoridades puedan estar seguras de que, de media, conducía por debajo del límite de velocidad. El límite de velocidad es de 35 km/h. ¿Cuál es su velocidad media por debajo del mismo?

Solución:

Paso1: Convierte los datos dados en información matemática. Sea d la distancia recorrida por el autobús y t el tiempo que tarda en recorrer la distancia.

Paso 2 : Halla el cambio en la distancia neta recorrida: $Δ d = 60 - 0 = 60$ km. Y el tiempo empleado en recorrer esa distancia: $Δ t = 2 h r s$ .

Paso3: La velocidad media de un objeto viene dada por el cociente entre la distancia neta recorrida por el autobús y el tiempo empleado en recorrer dicha distancia, por tanto:

$V_{a v} = \frac{Δ d}{Δ t}$ $= \frac{60}{2} \frac{k m}{h r}$

$V_{a v} = 30 k m / h r$

Por lo tanto, la velocidad media a la que conducía el conductor era de 30 km/h, que está por debajo del límite de velocidad media de 35 km/h.

Tasa de variación media - Puntos clave

La Tasa de Cambio Media de una cantidad respecto a otra es la medida de cuánto cambia la cantidad en un intervalo dado por unidad de cambio de la otra cantidad.
En sentido matemático, la Tasa de variación media deuna función $y = f (x)$ en un intervalo $[a, b]$ viene dada como la relación entre el cambio de la función a lo largo del intervalo y el cambio del valor de los puntos extremos.
La tasa de variación de una función entre dos puntos es igual a la pendiente de la recta que se forma uniendo los dos puntos.
La fórmula de la Tasa de variación media de una función entre dos puntos viene dada por $\frac{Δ y}{Δ x} = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$ .

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Preguntas frecuentes sobre Tasa media de cambio

¿Qué es la tasa media de cambio?

La tasa media de cambio mide la razón de cambio de una cantidad en relación con otra a lo largo de un intervalo específico.

¿Cómo se calcula la tasa media de cambio?

Se calcula dividiendo la diferencia en los valores de la función por la diferencia en los valores de la variable independiente.

¿Cuál es la fórmula de la tasa media de cambio?

Se utiliza la fórmula (f(b) - f(a)) / (b - a), donde f es la función y a y b son los puntos del intervalo.

¿Para qué se utiliza la tasa media de cambio en matemáticas?

Se utiliza para analizar el comportamiento de una función y entender cómo cambia en promedio entre dos puntos.

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