Tasas de Cambio

Significado de la tasa de cambio

El concepto de tasa de cambio se ha utilizado ampliamente para derivar muchas fórmulas como la de velocidad y aceleración. Nos indica el alcance de la actividad cuando se producen alteraciones en las cantidades que la componen.

Supongamos que un coche recorre una distancia A metros en n segundos.

Desde el punto A recorre otra distancia B en el m-ésimo segundo, observamos entonces que hay cambios entre la distancia A y la B, así como diferencias entre el n-ésimo y el m-ésimo segundo.

El cociente de estas diferencias nos da el índice de cambio.

¿Qué es un cambio en matemáticas?

En matemáticas, un cambio tiene lugar cuando el valor de una cantidad dada ha aumentado o disminuido.

Esto implica que el cambio puede ser positivo o negativo. Hay un cambio nulo cuando el valor de una cantidad no cambia.

Imagina que ahora mismo tienes 5 naranjas y más tarde tienes 8 naranjas. ¿Qué acaba de ocurrir? ¿Hay un cambio? Seguro que hay un cambio, porque tu número total de naranjas acaba de aumentar en 3 naranjas. De hecho, se trata de un cambio positivo.

Por el contrario, considera que tienes 5 naranjas en este momento y mucho más tarde en el día te queda una naranja. Esto sugiere que has experimentado una reducción de 4 naranjas. Por tanto, decimos que has experimentado un cambio negativo.

Basta señalar que el cambio es básicamente la diferencia de cantidades calculada como

$\Delta Q=Q_f-Q_i$

donde

$∆Q$ es el cambio en la cantidad

$Q_i$ es el valor inicial de la cantidad

$Q_f$ es el valor final de la cantidad.

Siempre que ΔQ sea positivo significa que hay un cambio positivo, sin embargo, cuando ΔQ es negativo implica un cambio negativo.

Como ya sabes lo que es un cambio, ahora estamos preparados para calcular la tasa de variación.

Fórmula de la tasa de variación

Para calcular la tasa de variación, calculamos el cociente entre las variaciones de las cantidades. Es decir

$rateofchange=\frac{changeinonequantity}{changeintheotherquantity}$

Para la derivación de esta fórmula, tomaremos como guía las direcciones de un gráfico. Consideremos que los cambios se realizan tanto en la dirección horizontal (eje x) como en la dirección vertical (eje y).

En la dirección horizontal, un cambio implicará

$\Delta x=x_f-x_i$

donde,

$∆x$ es el cambio en la dirección horizontal (eje x),

$x_i$ es la posición inicial en el eje x,

$x_f$ es la posición final en el eje x.

Del mismo modo, en la dirección vertical, implicará un cambio

$\Delta y=y_f-y_i$

donde

$∆y$ es el cambio en la dirección vertical (eje y),

$y_i$ es la posición inicial en el eje y,

$y_f$ es la posición final en el eje y.

Por tanto, la fórmula de la tasa de cambio pasa a ser

$$\begin{gathered} rateofchange=\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{y_f-y_i}{x_f-x_i} \\ rateofchange=\frac{y_f-y_i}{x_f-xi} \end{gathered}$$

Tasa de variación de una función

Sea w una función de u, expresada como

$w=f\left(u\right)$.

La tasa de variación de la función w nos indica la velocidad a la que cambia w y cambia u, sabiendo que w es una expresión de u.

La fórmula utilizada para calcular la tasa de variación de una función es

$\frac{\Delta y}{\Delta x}=\frac{f\left(x_f\right)-f\left(x_i\right)}{x_f-x_i}$

donde

$∆x$ es el cambio en la dirección horizontal (eje x),

$x_i$ es la posición inicial en el eje x,

$x_f$ es la posición final en el eje x,

$∆y$ es el cambio en la dirección vertical (eje y),

$f\left(x_i\right)$ es la función de la posición inicial en el eje x,

$f\left(x_f\right)$ es la función de la posición final en el eje x.

Tasas de variación en una gráfica

Representar tasas de variación en una gráfica requiere representar cantidades en una gráfica. Idealmente, existen tres tipos de gráficas que se basan en tres escenarios diferentes. Son las gráficas de tasa de variación cero, positiva y negativa, como se explica a continuación.

Tasas de variación cero

Las tasas de variación cero se producen cuando la cantidad del numerador cambia y no provoca ningún cambio en la segunda cantidad. Esto ocurre cuando

$y_f-y_i=0$.

El gráfico siguiente ilustra la tasa de variación cero.

Una ilustración de las tasas de cambio cero cuando no se produce ningún cambio en la dirección y - StudySmarter Originals

Observamos que la flecha apunta horizontalmente hacia la derecha, lo que sugiere que hay un cambio en los valores x pero los valores y no cambian. Por tanto, los valores y no se ven afectados por los cambios en x y, por tanto, el gradiente es 0.

Tasas de variación positivas

Las tasas de variación positivas se producen cuando el cociente de las variaciones entre ambas cantidades es positivo. La inclinación de la pendiente depende de qué cantidad experimenta un cambio mayor respecto a la cantidad de orden.

Esto significa que si el cambio en los valores y es mayor que el de los valores x, entonces la pendiente será suave. Por el contrario, si la variación de los valores x es mayor que la de los valores y, entonces la pendiente será pronunciada.

Observa que la dirección de la flecha que apunta hacia arriba revela que la tasa de cambio es positiva. Echa un vistazo a estas figuras de abajo para entenderlo mucho mejor.

Ilustración de una tasa de cambio positiva con pendiente suave - StudySmarter Originals

Tasas de variación negativas

Las tasas de cambio negativas se producen cuando el cociente de los cambios entre ambas cantidades da un valor negativo. Para que esto ocurra, uno de los cambios debe producir un cambio negativo mientras que el otro debe dar un cambio positivo. Ten en cuenta que cuando ambos cambios producen valores negativos, ¡entonces el índice de cambio es positivo y no negativo!

De nuevo, la inclinación de la pendiente depende de qué cantidad experimenta un cambio mayor en relación con la cantidad de orden. Esto significa que si el cambio en los valores y es mayor que el de los valores x, entonces la pendiente será suave. Por el contrario, si la variación de los valores x es mayor que la de los valores y, la pendiente será pronunciada.

Observa que la dirección de la flecha que apunta hacia abajo revela que, efectivamente, la tasa de cambio es negativa. Echa un vistazo a estas figuras de abajo para entenderlo mucho mejor.

Ejemplos de tasas de variación

Existen aplicaciones prácticas de las tasas de variación. Una buena aplicación es la determinación de la velocidad. La siguiente ilustración lo explicaría mejor.