Teorema de De Moivre

Fórmula de De Moivre

La fórmula del Teorema de De Moivre se puede escribir de la siguiente manera:

$$z^n=(r(\cos x+i \sin x))^n=r^n(\cos{nx}+i\sin{nx})$$

Para demostrar la Fórmula de De Moivre, sólo necesitas el método de"Demostración por inducción matemática":

Demostración:

Sea \(z=r(\cos x+i\sin x)\), y \(n \en \mathbb{N}\):

Sea \(P(n)\) la afirmación de que \(z^n=r^n(\cos{nx}+i\sin{nx})\).

Procede demostrando \(P(1)\):

$$ \begin{aligned} &\text{LHS}=z & \text{RHS}=r(\cos x+i \sin x) \end{aligned}$$

Por tanto, \(z=r(\cos x+i \sin x)\) (sí, es tan trivial como parece), lo que hace que \(P(1)\) sea cierta.

Supongamos ahora que \(P(k)\) es cierta para \(\para todo k \en \mathbb{N}\). Entonces, tienes \(z^k=r^k(\cos{kx}+i\sin{kx})\).

El objetivo es demostrar la afirmación \(P(k+1)\) utilizando el hecho de que \(P(k)\) es verdadera:

$$z^{k+1}=r^{k+1}(\cos{(k+1)x}+i\sin{(k+1)x})$$

Empezando por \(\text{LHS}\):

$$\begin{aligned} \text{LHS} &=z^{k+1} \\ &=z^k\ z \ &=r^k(\cos x +i\sin x)^k\ r(\cos x+i\sin x) \end{aligned}$$

Utilizando el enunciado de \(P(k)\):

$$z^k=r^k(\cos x +i\sin x)^k=r^k(\cos{kx}+i\sin{kx})$$

Sustituyendo esto en \(\text{LHS}\):

(\cos x+i\sin x) &=r^{k+1}(\cos x\cos{kx} +i\cos{kx} \sin x) &=r^{k+1}(\cos x\cos{kx} +i\cos{kx} \sin x +i\cos x \sin{kx} -i\sin x \sin{kx}) \siendo así \ \text{LHS} &=r^{k+1}((\cos x \cos{kx} - \sin x \sin{kx})+i(\sin x \cos{kx} +\cos x \sin{kx}) \ end{aligned}$$

Ahora sólo tienes que reconocer la solución recordando las identidades trigonométricas de las funciones seno y coseno:

$$\begin{aligned} &\cos{(a+b)}=cos a \cos b -\sin a \sin b \\ &\sin{(a+b)}=\sin a \cos b+\cos a \sin b \end{aligned}$$

Sustituyendo estas fórmulas en \text{LHS}\$:

$$\begin{aligned} \text{LHS} &=r^{k+1} (\cos{(k+1)x}+i\sin{(k+1)x}) \\ &=texto{RHS} \\ Por lo tanto, \text{LHS} &=text{RHS}\end{aligned}$$.

que es lo que se te pedía que demostraras.

Por tanto, suponiendo que \(P(k)\) sea cierta, implica que \(P(k+1)\) es cierta. Así pues, por el principio de inducción matemática, \(P(n)\) es verdadera \(\para todo n \en \mathbb{N}).

Queda por demostrar el teorema para todos los enteros negativos. Para ello, utiliza el resultado que has demostrado para los enteros positivos \(n\):

$$z^n=r^n(\cos{nx}+i\sin{nx})$$

Sustituyendo \(n\) por \(-n\):

$$\begin{aligned} z^{-n} &=r^{-n}(\cos (n x)+i \sin (n x))^{-1} \ &=r^{-n}\frac{1}{cos (nx)+i \sin (n x)} \cdot\left(\frac{cos (n x)-i \sin( n x)}{\cos (n x)+i \sin (nx)}\right) \ &=r^-n}\frac{\cos(n x)-i \sin (n x)}{\cos^2 (nx)+\sin^2 (nx)} \ &=r^{-n} \frac{\cos (-n x)+i(\sin (-n x))}{1} \\ Por tanto, z^{-n} & = r^{-n}(\cos(-n x)+i \sin (-n x)) \fin{alineado}$$

que demuestra el teorema para todos los enteros negativos \(n\)

Resolver utilizando el teorema de De Moivre

Supón que te piden que resuelvas la ecuación cúbica \(x^3-1=0\), ¿cuál sería tu respuesta? Seguramente sería \(x=1\), lo cual es correcto, pero la respuesta es incompleta. \(x=1\) es la raíz real de esta ecuación cúbica, pero ¿qué pasa con las demás raíces? El grado del polinomio es \(3\); por tanto, debería tener tres raíces en total.

Aquí es donde los métodos que has aprendido en el instituto llegan a su fin (más o menos). Resulta que las otras raíces de esta ecuación no son reales, sino complejas.

Intentemos abordar esto de forma general y luego volvamos al problema de hallar la raíz cúbica de \(1\). En general, tratamos de resolver la ecuación \(x^n=a+ib\) donde \(n \en \mathbb{N}\). Escribiendo \(a+ib\) en forma polar, obtenemos

$$a+ib=s(\cos \alfa +i\sin \alfa) $$

donde \(s\) es la magnitud de \(a+ib\) y \(\alpha\) es el argumento principal de la misma.

Ahora, igualando esto a \(x^n\), pero en primer lugar, dejemos que \(x=r(\cos \theta +i\sin \theta)\), de modo que tengamos formas polares en ambos lados:

$$\begin{aligned} &x^n = s(\cos \alpha +i\sin \alpha) \ \por tanto \ &(r(\cos \theta +i\sin \theta)^n = s(\cos \alpha +i\sin \alpha)\end{aligned}$$

Aquí se utiliza el teorema de De Moivre en el lado izquierdo:

$$ r^n(\cos {n\theta} +i \sin{n\theta}) = s(\cos \alpha +i\sin \alpha)$$

Observa que \(s\) y \(\alpha\) son conocidos, ya que \(a+ib\) es conocido. Así que \(r\) y \(\eta) pueden calcularse comparando los coeficientes de ambos lados de la siguiente manera:

$$ r=s^{1/n} \ \ \texto{y} \ \ \ \theta=\frac{{alfa}{n}$$

Ahora recuerda una importante propiedad de la trigonometría, que las funciones seno y coseno son periódicas, es decir, \(\sin \theta =\sin{2\pi k+\theta}\) y \(\cos \theta = \cos{2 \pi k +\theta}\). Por tanto, en este caso, \(\theta= \frac{alfa +2 \pi k}{n}).

Por tanto, tienes \( r=s^{1/n}\) y \(\theta= \displaystyle \frac{{alfa +2 \pi k }{n}\), donde \(k \en {1, \ 2, \ 3, ... , \ n-1}\).

Volvamos a encontrar las raíces cúbicas de \(1\).

Aplicación del teorema de De Moivre en la expansión

Intenta pensar en algún tipo de aplicación del teorema de De Moivre, sólo con mirarlo. Anotemos la identidad para ello:

$$z^n=r^n(\cos x+i\sin x)^n=r^n(\cos{nx}+i\sin{nx})$$

donde \(z=r(\cos x+i\sin x)\). La identidad esencialmente expande el número complejo para dar una forma más simple, que es de hecho la aplicación más importante del Teorema de De Moivre: expandir potencias enteras de un número complejo.

Un número complejo puede expresarse de una de estas dos formas \(z=a+ib\) y \(z=r(\cos x+i\sin x)\).

Con esta última forma es fácil trabajar; aplica directamente la identidad de De Moivre.

En cuanto a la primera forma, conviértela en la forma polar, sobre la que luego se puede utilizar la identidad. Veamos algunos ejemplos en los que se utiliza.

Teorema del binomio y teorema de De Moivre

¿Cómo escribirías \(\sin 3\theta\) en términos de \(\sin \theta\) y \(\cos \theta\)? Explorarás una técnica que utiliza el teorema binomial y el teorema de De Moivre para responder a esta pregunta. En general, aprenderás a escribir \(\sin n\theta\) y \( \cos n\theta\) en términos de \(\sin \theta\) y \(\cos \theta\).

Recuerda que el Teorema del Binomio dice que para un polinomio \((a+b)^n\) se expande como:

$$(a+b)^n=a^n + {n elige 1} a^{n-1}b+ {n elige 2} a^{n-2}b^2+...+b^n$$

donde \( {n \elegir r} = \frac{n!}{r! \ (n-r)!} \).

Usando esto, puedes expandir \((\cos \theta +i \sin \theta)^n\) para obtener:

$$ \begin{aligned} (\cos \theta +i \sin \theta)^n &= \cos^n \theta+i{n \elegir 1} \cos^{n-1} \theta \sin \theta+i^2{n \elegir 2} \cos^{n-2} \theta \sin^2 \theta + \ ... \ +i^n \sin^n \theta \ & = \left( \cos^n \theta -{n \elegir 2} \cos^{n-2} \theta \sin^2 \theta +{n \elegir 4} \cos^{n-4} \theta \sin^4 \theta + \ ... \derecha) \ & \ \ \ \ +izquierda( {n \elegir 1} \cos^{n-1} \theta \sin \theta - {n \ elige 3} \cos^{n-3} \theta \sin^3 \theta+ \ ...\right) \end{aligned} $$

Comparando la parte real de ambos lados

$$ \cos n\theta =\cos^n \theta -{n elige 2} \cos^{n-2} \theta \sin^2 \theta +{n elige 4} \cos^{n-4} \theta \sin^4 \theta + \ ...$$

Y ahora comparando la parte imaginaria

$$\sin n\theta = {n \elegir 1} \cos^{n-1} \theta \sin \theta - {n \ elige 3} \cos^{n-3} \theta \sin^3 \theta+ \ ...$$

Así tienes una fórmula con la que se pueden escribir las fórmulas de ángulos múltiples de las funciones seno y coseno.

Ejemplos del teorema de De Moivre