Teorema del Ángulo-Lado-Ángulo

Teorema ASA geometría

En geometría, dos triángulos son congruentes cuando o bien todos los lados de un triángulo son iguales a todos los lados de otro triángulo respectivamente. O bien los tres ángulos de ambos triángulos son iguales respectivamente. Pero con el criterio ASA, podemos demostrar triángulos congruentes con la ayuda de dos ángulos y un lado de cada triángulo.

El teorema ASA, como su nombre indica, considera que dos ángulos y un lado de un triángulo son iguales respectivamente a los de otro triángulo. Aquí se toman dos ángulos adyacentes y el lado incluido entre estos ángulos. Pero hay que recordar que ASA no es lo mismo que AAS. Como ASA tiene el lado incluido de los dos triángulos, pero en AAS el lado seleccionado es el lado no incluido de ambos ángulos.

Triángulos ASA, StudySmarter Originals

Teorema de semejanza y congruencia de ASA

Podemos encontrar fácilmente triángulos semejantes y triángulos congruentes con ayuda del teorema de semejanza y congruencia ASA.

Teorema de semejanza ASA

Sabemos que si dos triángulos son semejantes, entonces todos los lados correspondientes están en proporcionalidad y todos los pares correspondientes son congruentes a partir de la definición de triángulos semejantes. Sin embargo, para asegurar la semejanza de dos triángulos sólo necesitamos información sobre dos ángulos con el teorema de semejanza ASA.

Matemáticamente lo representamos como, si $\angle A=\angle X,\angle B=\angle Y,$ entonces $△ABC~△XYZ.$ Y$\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}.$

ASA Triángulos semejantes, StudySmarter Originals

Generalmente, la semejanza ASA es más conocida como teorema de semejanza AA, ya que no hay nada más que comprobar porque sólo hay una razón de lados. Además, cuando se dan dos medidas de ángulo, podemos encontrar fácilmente el tercer ángulo como la medida total del ángulo isid="5236479" role="math" $180°$. Así podemos comprobar fácilmente la igualdad de los ángulos correspondientes de dos triángulos y determinar la semejanza de ambos triángulos.

Teorema de la congruencia ASA

El teorema de congruencia ASA significa Ángulo-Lado-Ángulo y da la relación de congruencia entre dos triángulos.

Matemáticamente decimos que, si$\angle B\cong \angle M,BC\cong MN,\angle C\cong \angle N,$ entonces id="5236480" role="matemáticas" $△ABC\cong △LMN.$

Como los ángulos y los lados son congruentes, también serán iguales. Así que$\angle B=\angle M,BC=MN,\angle C=\angle N,$entonces$△ABC\cong △LMN.$

Triángulos de congruencia ASA, StudySmarter Originals

Prueba del teorema ASA

Veamos ahora la prueba del teorema ASA de semejanza y congruencia.

Prueba del teorema de semejanza ASA

Para dos triángulos $△ABC$ y $△XYZ,$ se deduce del enunciado del teorema de semejanza ASA que $\angle A=\angle X,\angle B=\angle Y.$

Para probar: $△ABC~△XYZ.$ Y $\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}.$

ASA triángulo con línea construida , StudySmarter Originals

Ahora como dos ángulos $\angle A$ y $\angle B$ ya están dados en $△ABC,$ podemos hallar fácilmente $\angle C$ tomando $180°-(\angle A+\angle B).$Y lo mismo ocurrirá con el triángulo$△XYZ.$

Construiremos una recta PQ en el triángulo $△XYZ$ tal que $XP=AB$ y $XQ=AC.$ También se da que $\angle A=\angle X.$ Entonces utilizando el teorema de congruencia de SAS obtenemos que $△ABC~△XPQ.$

Puesto que $△ABC~△XPQ$ entonces las partes correspondientes de los triángulos congruentes son congruentes.

$\Rightarrow \angle B=\angle P\left(1\right)$

Además, se da que

$\angle B=\angle Y\left(2\right)$

De la ecuación (1) y la ecuación (2) $\angle P=\angle Y.$

Puesto que $\angle P$ y $\angle Y$ forman los ángulos correspondientes y XY funciona como transversal $PQ\parallel YZ.$

Uso del teorema básico de proporcionalidad en $△XYZ,$

$\frac{XP}{XY}=\frac{XQ}{XZ}$

A partir de la construcción de PQ sustituimos $XP=AB$y $XQ=AC$ en la ecuación anterior.

$\Rightarrow \frac{AB}{XY}=\frac{AC}{XZ}$

Análogamente, $\frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}$

$\Rightarrow \frac{AB}{XY}=\frac{BC}{YZ}=\frac{AC}{XZ}$

Por tanto, $△ABC~△XYZ.$

Demostración del teorema de congruencia ASA

Del enunciado del teorema de congruencia de ASA se desprende que $\angle B=\angle M,\angle C=\angle N,$ y $BC=MN.$

Triángulos congruentes ASA, StudySmarter Originals

Para demostrarlo: $△ABC\cong △LMN$

Para demostrar el enunciado anterior consideraremos distintos casos.

Caso 1: Supongamos que $AB=LM.$

ASA triángulos congruentes con AB y LM iguales, StudySmarter Originals

En $△ABC$ y $△LMN,AB=LM$ a partir de nuestra suposición. Y se da que $\angle B=\angle M$ y $BC=MN.$ Entonces, por el teorema de congruencia de SAS $△ABC\cong △LMN.$

Caso 2: Supongamos $AB>LM.$

Entonces construimos el punto X en AB tal que id="5236481" role="math" $XB=LM.$

ASA triángulo congruente con el punto X construido, StudySmarter Originals

Tenemos $XB=LM,\angle B=\angle M$ y $BC=MN.$ Usando el teorema de congruencia de SAS $△XBC\cong △LMN.$

Ahora se da que $\angle ACB=\angle LNM\left(1\right)$

Y a partir de la congruencia anterior,id="5236482" role="math" $△XBC\cong LMN,$ obtenemos que id="5236489" role="math" $\angle XCB=\angle LNM\left(2\right)$

Así que a partir de las ecuaciones (1) y (2), obtenemos

$$\begin{gathered} \angle ACB=\angle LNM=\angle XCB \\ \Rightarrow \angle ACB=\angle XCB \end{gathered}$$

Pero por nuestra suposición de $AB>LM,$ y también observando la figura esto no es posible. Así que $\angle ACB=\angle XCB$ sólo puede darse cuando los puntos A y X coinciden y $AC=XC.$

Por tanto, nos encontramos de nuevo con el hecho de que $△ABC$ y $△XCB$ son iguales. Por tanto, sólo podemos considerar un triángulo $△ABC$tal que $AB=LM.$ Esto es lo mismo que en el caso 1, y de ahí obtenemos que $△ABC\cong △LMN.$

Caso 3: Supongamos que $AB<LM.$

Construye entonces un punto Y en LM tal que $AB=YM$ y repetimos el mismo argumento que en el caso 2.

ASA triángulos congruentes con el punto Y construido, StudySmarter Originals

Por tanto, obtenemos que $△ABC\cong △LMN.$

Ejemplo del Teorema ASA

Veamos algunos ejemplos relacionados con los teoremas ASA.