Teorema SSS: Triángulos, Congruencia

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Definición del teorema SSS

Los triángulos que tienen la misma forma y tamaño son triángulos congruentes.

Es decir, los triángulos tienen ángulos y lados correspondientes. Podemos comprobar su congruencia utilizando algunos teoremas sin comprobar todos los ángulos y lados de los triángulos. Y uno de los teoremas es el teorema SSS.

Teorema SSS : Si los tres lados correspondientes de dos triángulos son iguales entre sí, entonces son congruentes.

Así que, como su nombre indica, este teorema significa Lado-Lado-Lado. Aquí sólo nos fijamos en los lados del triángulo y nada más.

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Teorema de congruencia SSS

El teorema de congruencia SSS da la relación de congruencia entre dos triángulos basándose en sus lados.

Teorema de congruencia SSS : Los dos triángulos son congruentes si los tres lados respectivos de ambos triángulos son iguales.

Matemáticamente, si $A B = X Y, B C = Y Z,$ y id="5236252" role="math" $A C = X Z$ entonces $△ A B C ≅ △ X Y Z .$

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Por tanto, si podemos sustituir los tres lados de un triángulo por todos los lados de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes según el criterio SSS. En esta situación, ambos triángulos se representan con un símbolo de congruencia.

Como está dado sabemos que los tres lados de ambos triángulos $△ A B C$ y $△ X Y Z$ tienen el mismo tamaño y la misma longitud entre sí. Por tanto, podemos colocar los lados XY en AB, YZ en BC y XZ en AC superponiendo ambos triángulos. De lo que resulta que $A B = X Y, B C = Y Z, A C = X Z .$ Así que $△ A B C ≅ △ X Y Z .$

Ejemplos de triángulos de congruencia SSS

A continuación veremos algunos ejemplos de congruencia SSS para comprenderla.

Demuestra que los triángulos dados son congruentes entre sí.

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Solución:

Podemos ver en la figura $A B = D E = 7, B C = E F = 11, A C = D F = 15 .$ Como los tres lados de ambos triángulos son iguales entre sí respectivamente, podemos utilizar directamente el teorema de congruencia SSS.

Por tanto $△ A B C ≅ △ D E F .$

Teorema de congruencia SSS

En los triángulos, si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces ambos triángulos son semejantes. Pero para comprobarlo no tenemos que considerar necesariamente todos los lados y ángulos. Podemos utilizar simplemente el teorema de semejanza SSS y el conocimiento de los lados proporcionales para demostrar que los triángulos son semejantes.

Teorema de semejanza SSS : Se dice que dos triángulos son semejantes cuando los lados correspondientes de estos dos triángulos son proporcionales.

Demostración: Nos dan que los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales.

Es decir $\frac{A B}{M N} = \frac{B C}{N O} = \frac{A C}{M O} (1)$

Demostrar: $△ A B C ~ △ M N O$

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Primero, consideramos dos puntos P y Q sobre las rectas MN y MO respectivamente tales que $M P = A B$ y $M Q = A C$ . Ahora unimos estos puntos y formamos una recta PQ tal que PQ es paralela a NO.

Podemos construir la recta PQ mediante el postulado de la paralela, que afirma que hay una recta paralela que pasa por cualquier punto que no esté en esa recta en el mismo plano.

Entonces sustituimos AB y AC por MP y MQ respectivamente en la ecuación 1.

$\Rightarrow \frac{M P}{M N} = \frac{M Q}{M O}$

Ahora, como $P Q ∥ N O, ∠ M P Q = ∠ N$ y $∠ M Q P = ∠ O$ son los ángulos correspondientes respectivamente. Por tanto, aplicando AA - Semejanza tenemos $△ M P Q ~ △ M N O .$

De la definición de triángulos semejantes en $△ M P Q$ y $△ M N O,$ obtenemos que

$\frac{M P}{M N} = \frac{M Q}{M O} = \frac{P Q}{N O} (2)$

Sustituyendo de nuevo id="5236267" role="math" $M P = A B$ e id="5236266" role="math" $M Q = A C$ en la ecuación 1, obtenemos

$\frac{M P}{M N} = \frac{B C}{N O} = \frac{M Q}{M O} (3)$

Así que comparando la ecuación 2 y la ecuación 3 $\frac{P Q}{N O} = \frac{B C}{N O} \Rightarrow P Q = B C .$

Finalmente, sabemos que id="5236268" role="math" $A B = M P, B C = P Q, A C = M Q$ . Así que por el teorema de congruencia SSS, obtenemos id="5236269" role="math" $△ A B C ≅ △ M P Q .$ Y también tenemos que id="5236270" role="math" $△ M P Q ~ △ M N O .$ Por tanto, de ambas semejanzas obtenemos id="5236271" role="math" $△ A B C ~ △ M N O .$

Ejemplos del teorema de semejanza SSS

Veamos algunos ejemplos del teorema de similitud SSS.

Comprueba si los triángulos dados son semejantes o no.

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Solución:

Aquí para determinar triángulos semejantes necesitamos comprobar los lados proporcionales. Así que primero encontraremos las proporciones de los lados correspondientes.

$\Rightarrow \frac{D E}{A B} = \frac{4}{8} = \frac{1}{2} \frac{E F}{B C} = \frac{5}{10} = \frac{1}{2} \frac{D F}{A C} = \frac{6}{12} = \frac{1}{2}$

Así que todos los lados correspondientes de ambos triángulos son iguales.

$\Rightarrow \frac{D E}{A B} = \frac{E F}{B C} = \frac{D F}{A C}$

Utilizando el teorema de semejanza SSS, ambos triángulos id="5236272" role="math" $△ A B C$ y id="5236273" role="math" $△ D E F$ son semejantes.

Halla el valor de x utilizando el teorema de semejanza SSS.

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Solución:

Primero hallamos la proporción de los lados correspondientes. Para ello, tenemos en cuenta cualquiera de los lados con valor desconocido. Consideremos los lados AB y BC en $△ A B C$ y los lados DE y EF en $△ D E F .$

Entonces la proporción de los lados será

$\frac{A B}{D E} = \frac{B C}{E F} \Rightarrow \frac{4}{12} = \frac{x - 1}{18} \Rightarrow 4 \times 18 = (x - 1) \times 12 \Rightarrow 72 = 12 x - 12 \Rightarrow 12 x = 72 + 12 \Rightarrow 12 x = 84 \Rightarrow x = \frac{84}{12} \Rightarrow x = 7$

Por tanto, el valor de x es 7. Pero confirmémoslo sustituyéndolo en los lados de valor desconocido y comprobando sus proporciones.

$B C = x - 1 = 7 - 1 = 6 D F = 3 (x + 1) = 3 (7 + 1) = 3 \times 8 = 24$

Ahora comprobamos las proporciones de los lados correspondientes.

$\Rightarrow \frac{A B}{D E} = \frac{4}{12} = \frac{1}{3} \frac{B C}{E F} = \frac{6}{18} = \frac{1}{3} \frac{A C}{D F} = \frac{8}{24} = \frac{1}{3}$

Como los triángulos dados son triángulos semejantes, sus lados proporcionales correspondientes deben ser iguales. Y vemos claramente que son iguales. Por tanto, nuestro valor de $x = 7$ es correcto.

Teorema SSS - Puntos clave

Teorema SSS : Si los tres lados correspondientes de dos triángulos son iguales entre sí, entonces son congruentes.
Teorema de congruencia SSS : Los dos triángulos son congruentes si los tres lados correspondientes de ambos triángulos son iguales.
Teorema de semejanza SSS : Se dice que dos triángulos son semejantes cuando los lados correspondientes de estos dos triángulos son proporcionales.

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Para mostrar triángulos congruentes utilizando la congruencia SSS, ¿cuál de los siguientes elementos es necesario?

Los pares de lados congruentes

Si se dan tres pares de lados congruentes para dos triángulos, ¿cuál de las siguientes relaciones puede establecerse?

Congruencia

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Preguntas frecuentes sobre Teorema SSS

¿Qué es el teorema SSS?

El teorema SSS establece que si tres lados de un triángulo son congruentes a tres lados de otro triángulo, entonces los triángulos son congruentes.

¿Cómo se aplica el teorema SSS?

Se aplica comparando los tres lados de dos triángulos. Si los tres lados son iguales en longitud, los triángulos son congruentes.

¿El teorema SSS se aplica a todos los triángulos?

Sí, el teorema SSS se aplica a todos los triángulos sin importar su tipo, siempre que se verifique la igualdad de sus tres lados.

¿Cuál es un ejemplo del uso del teorema SSS?

Si un triángulo tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, y otro triángulo también tiene lados de 3 cm, 4 cm y 5 cm, entonces, según el teorema SSS, los triángulos son congruentes.

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