Teorema SSS

Teorema de congruencia SSS

El teorema de congruencia SSS da la relación de congruencia entre dos triángulos basándose en sus lados.

Matemáticamente, si $AB=XY,BC=YZ,$ y id="5236252" role="math" $AC=XZ$entonces $△ABC\cong △XYZ.$

SSS triángulos congruentes, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Por tanto, si podemos sustituir los tres lados de un triángulo por todos los lados de otro triángulo, entonces ambos triángulos son congruentes según el criterio SSS. En esta situación, ambos triángulos se representan con un símbolo de congruencia.

Como está dado sabemos que los tres lados de ambos triángulos $△ABC$ y $△XYZ$ tienen el mismo tamaño y la misma longitud entre sí. Por tanto, podemos colocar los lados XY en AB, YZ en BC y XZ en AC superponiendo ambos triángulos. De lo que resulta que $AB=XY,BC=YZ,AC=XZ.$ Así que $△ABC\cong △XYZ.$

Ejemplos de triángulos de congruencia SSS

A continuación veremos algunos ejemplos de congruencia SSS para comprenderla.

Teorema de congruencia SSS

En los triángulos, si los ángulos correspondientes son congruentes y los lados correspondientes son proporcionales, entonces ambos triángulos son semejantes. Pero para comprobarlo no tenemos que considerar necesariamente todos los lados y ángulos. Podemos utilizar simplemente el teorema de semejanza SSS y el conocimiento de los lados proporcionales para demostrar que los triángulos son semejantes.

Demostración: Nos dan que los lados correspondientes de dos triángulos son proporcionales.

Es decir $\frac{AB}{MN}=\frac{BC}{NO}=\frac{AC}{MO}\left(1\right)$

Demostrar: $△ABC~△MNO$

Triángulos con recta paralela construida, Mouli Javia - StudySmarter Originals

Primero, consideramos dos puntos P y Q sobre las rectas MN y MO respectivamente tales que $MP=AB$ y $MQ=AC$. Ahora unimos estos puntos y formamos una recta PQ tal que PQ es paralela a NO.

Entonces sustituimos AB y AC por MP y MQ respectivamente en la ecuación 1.

$\Rightarrow \frac{MP}{MN}=\frac{MQ}{MO}$

Ahora, como $PQ\parallel NO,\angle MPQ=\angle N$ y $\angle MQP=\angle O$ son los ángulos correspondientes respectivamente. Por tanto, aplicando AA - Semejanza tenemos $△MPQ~△MNO.$

De la definición de triángulos semejantes en $△MPQ$ y $△MNO,$ obtenemos que

$\frac{MP}{MN}=\frac{MQ}{MO}=\frac{PQ}{NO}\left(2\right)$

Sustituyendo de nuevo id="5236267" role="math" $MP=AB$ e id="5236266" role="math" $MQ=AC$ en la ecuación 1, obtenemos

$\frac{MP}{MN}=\frac{BC}{NO}=\frac{MQ}{MO}\left(3\right)$

Así que comparando la ecuación 2 y la ecuación 3 $\frac{PQ}{NO}=\frac{BC}{NO}\Rightarrow PQ=BC.$

Finalmente, sabemos que id="5236268" role="math" $AB=MP,BC=PQ,AC=MQ$. Así que por el teorema de congruencia SSS, obtenemos id="5236269" role="math" $△ABC\cong △MPQ.$Y también tenemos que id="5236270" role="math" $△MPQ~△MNO.$ Por tanto, de ambas semejanzas obtenemos id="5236271" role="math" $△ABC~△MNO.$

Ejemplos del teorema de semejanza SSS

Veamos algunos ejemplos del teorema de similitud SSS.