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Definición de una función
Veamos la definición de función.
Una función es un tipo de relación matemática en la que una entrada crea una salida.
Veamos un par de ejemplos.
Algunos ejemplos de tipos de funciones son
- \(f(x)=x^2\)
- \(g(x)= x^4+3\)
Funciones algebraicas
En las funciones algebraicas intervienen las variables y constantes conectadas mediante distintas operaciones, como la suma, la resta, la multiplicación, la división, la exponenciación, etc. Conozcamos la función algebraica con su definición, tipos y ejemplos.
Una función algebraica es un tipo de función que contiene operaciones algebraicas.
Algunos ejemplos de estas funciones.
- \(f(x)=2x+5\)
- \(f(x)=x^3\)
- \(f(x)=2x^2+x-2\)
Las funciones algebraicas pueden representarse en una gráfica, cada tipo de función crea un tipo de gráfica diferente.
Diferentes tipos de gráficas de funciones
Los distintos tipos de funciones pueden crear distintos tipos de gráficas, cada una con sus características.
Funciones pares
Se dice que una función es par cuando \(f(-x)=f(x)\). Una función par crea una gráfica en la que la línea de la gráfica es simétrica respecto al eje y.
Fig. 1. Gráfica de una función par.
Algunos ejemplos de funciones pares son, \(x^2, x^4\) y \(x^6\).
Algunos tipos de funciones también pueden ser pares, como las funciones trigonométricas. Un ejemplo de función trigonométrica par es \(\cos(x)\).
\(\cos(-x)=\cos(x)\)
Funciones impares
Se dice que una función es impar cuando \(f(-x)=-f(x)\). Una función impar crea una gráfica en la que la línea de la gráfica es simétrica respecto al origen.
Fig. 2. Gráfica de una función impar.
Algunos ejemplos de funciones impares son, \(x\), \(x^3\) y \(x^5\).
Al igual que las funciones pares, otras funciones pueden ser impares, como la función \(sen(x)\).
\(\sin(-x)=-\sin(x)\)
Función cuadrática
La palabra ''quad'' en las funciones cuadráticas significa ''un cuadrado''. En resumen, son funciones cuadráticas. Se utilizan en diversos campos de la ciencia y la ingeniería. Cuando se trazan en una gráfica, obtienen una forma parabólica. Veamos la definición de las funciones cuadráticas con ejemplos.
Una función cuadrática es un tipo de función que se escribe de la forma
\f(x)=ax^2+bx+c\].
Puedes identificar una función como cuadrática si su máximo exponente es 2.
Algunos ejemplos de ecuaciones cuadráticas son
- \(f(x)=2x^2+2x-5\)
- \(f(x)=x^2+4x+8)
- \(f(x)=6x^2+5x-3)
Para saber más sobre estas funciones, consulta Formas de las funciones cuadráticas.
Funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas
Puesto que una función es una relación entre un dominio y un rango, las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas se diferencian por esa relación. Para demostrarlo podemos fijarnos en los mapeados, esto nos mostrará las diferentes relaciones que cada tipo de función tiene con el dominio y el rango.
Fig. 3. Mapeados inyectivos, suryectivos y biyectivos.
Funciones inyectivas
Una función inyectiva tiene muchas propiedades;
Sólo un elemento del dominio apuntará a un elemento del rango.
Puede haber elementos en el rango que no tengan un par en el dominio.
Este tipo de asignación también se conoce como "uno a uno".
Para saber más, visita Funciones inyectivas.
Funciones suryectivas
Una función suryectiva tiene muchas propiedades;
- Todos los elementos del dominio tendrán una coincidencia en el rango.
- Puede haber un elemento en el rango que coincida con más de uno de los elementos del dominio.
- No habrá ningún elemento en el rango que no tenga ninguna coincidencia.
Para saber más visita, Funciones suryectivas.
Funciones biyectivas
Una función biyectiva tiene muchas propiedades;
Es una combinación de funciones inyectivas y suryectivas.
Hay una cantidad perfecta de elementos tanto en el dominio como en el rango que coinciden, no hay elementos que queden fuera.
Para saber más visita, Funciones biyectivas.
Entrada de una función: Una entrada de una función es un valor que puede introducirse en una función para que se genere una salida válida, y la función existe en ese punto. Son los valores x de una función.
Dominio de una función: El dominio de una función es el conjunto de todas las entradas posibles de una función. El dominio es la mayor parte posible del conjunto de todos los números reales. El conjunto de todos los números reales se puede escribir abreviadamente como \(\mathbb{R}\).
Salida de una función: La salida de una función es lo que obtenemos una vez evaluada la función en la entrada. Son los valores y de una función.
Codominio de una función: El codominio de una función es el conjunto de todas las posibles salidas de una función. En cálculo, el codominio de una función es el conjunto de todos los números reales, \(\mathbb{R}\), salvo que se indique lo contrario.
Rango de una función: El rango de una función es el conjunto de todas las salidas reales de una función. El rango es un subconjunto del codominio. Consideraremos el rango mucho más a menudo que el codominio.
Es importante no confundir codominio y rango. El rango de una función es un subconjunto de su codominio. En la práctica, consideraremos el rango de una función con mucha más frecuencia que el codominio.
Tipos de funciones exponenciales
Las funciones exponenciales te ayudan a encontrar el crecimiento o decrecimiento de las bacterias, el crecimiento o decrecimiento de la población, la subida o bajada de los precios, la capitalización del dinero, etc. Veamos la definición de las funciones exponenciales.
Una función exponencial tiene una constante como base y una variable como exponente. Se puede escribir de la forma \(f(x)=a^x\), donde \(a\) es una constante y \(x\) es una variable.
Veamos un ejemplo.
Algunos ejemplos de funciones exponenciales son
- \(f(x)=5^x\)
- \(f(x)=4^{2x}\)
- \(f(x)=\frac{1}{3}^x\)
Hay dos resultados diferentes de las funciones exponenciales: crecimiento exponencial o decaimiento exponencial. Cuando se representa gráficamente esta función, el crecimiento exponencial puede identificarse por una gráfica creciente. El decaimiento exponencial puede identificarse mediante una gráfica decreciente.
Tipos de funciones con ejemplos
Identifica el tipo de función: \(f(x)=x^2\).
Solución:
Aquí \[ \inicio {alineado} f(x) & =x^2 \f(-x) & =(-x)^2 \f(-x) & =x^2 \final {alineado} \]
Puesto que \(f(x)=f(-x)=x^2\)
Se trata de una función par.
Identifica el tipo de función: \(f(x)=x^5\).
Solución:
Aquí \[ \inicio {alineado} f(x) & =x^5 \f(-x) & =(-x)^5 \f(-x) & =-x^5 \final {alineado} \]
Puesto que \(f(x)≠ f(-x)\)
Se trata de una función impar.
Identifica el tipo de función: \(f(x)=2x^2+4x+3\).
Solución:
Se trata de una función cuadrática, está escrita en la forma correcta para una función cuadrática y su máximo exponente es \(2\).
Identifica el tipo de función: \(f(x)=8^x\).
Solución:
Se trata de una función exponencial, la base es una constante, es decir \(8\) y la potencia es una variable, es decir \(x\).
Tipos de funciones - Puntos clave
- Hay muchos tipos distintos de funciones, y cada una de ellas tiene propiedades diferentes.
- Una función par puede darte una recta simétrica en una gráfica sobre el eje \(y-\)-.
- Cuando se representa gráficamente, una función impar da una recta simétrica respecto al origen.
- Las funciones inyectivas, sobreyectivas y biyectivas pueden diferenciarse por su cartografía.
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