Transformaciones

Definición de transformaciones y tipos de transformaciones

Decimos que una transformación es rígida si el objeto no cambia de tamaño ni de forma durante la transformación. Si el objeto cambia de tamaño durante una transformación, entonces la llamamos transformación no rígida.

Transformaciones rígidas

Una transformación rígidano cambia el tamaño ni la forma del objeto transformado. Algunos ejemplos de transformaciones rígidasson

1. Traslación - movimiento de la forma, hacia la izquierda, derecha, arriba y/o abajo;

2. Reflexión - reflejar una forma con respecto a una línea, la línea también puede ser el eje x o el eje y;

3. Rotación -girar una formaalrededor de un punto, en el sentido de las agujas del reloj o en sentido contrario.

Transformaciones no rígidas

Una transformación no rígida puede cambiar el tamaño o la forma, o ambos, del objeto. Un ejemplo de transformación no rígida esla dilatación : inflar o encoger un objeto.

Ejemplos de transformación

A continuación, vas a ver las principales transformaciones de las figuras, como la traslación, la reflexión, la rotación y la dilatación.

Traslación - definición y regla

La traslación puede considerarse como el proceso de desplazar un objeto en una hoja gráfica. Para conocer el movimiento de un objeto nos fijamos en cómo se transforman sus puntos de arista.

La traslación de un punto \((x, y)\) a un nuevo punto \((x', y')\) puede entenderse a partir de su cambio en las coordenadas \(x\) y \(y\). Con esta transformación, el punto se ha desplazado \(x-x'\) a lo largo de la dirección x y \(y-y'\) a lo largo de la dirección y.

Además

• un valor positivo en la dirección x indica el movimiento hacia la derecha y un valor negativo indica el movimiento hacia la izquierda;

• un valor positivo en la dirección y indica el movimiento hacia arriba y el valor negativo indica el movimiento hacia abajo.

• Si a es positivo te mueves a la derecha y si a es negativo te mueves a la izquierda.

• Si b es positivo te mueves hacia arriba y si b es negativo te mueves hacia abajo.

Por ejemplo, trasladar el objeto en \ ((2, -3)\) significa que lacoordenada x de cada punto del objeto aumentará en dos, y la coordenada y de cada punto del objeto disminuirá en tres. Con éxito, el objeto se moverá dos unidades hacia la derecha y tres unidades hacia abajo.

Reflexión - definición y regla

Una reflexión puede considerarse como ver algo a través de un espejo. Por tanto, siempre es con respecto a una línea dada en la que está colocado el espejo. La distancia entre el objeto y su imagen desde el espejo es la misma. De forma similar a la traslación, para reflejar un objeto se reflejan los puntos de los bordes del objeto.

Por ejemplo, para reflejar el punto \((1, 0)\) sobre el eje y, primero vemos la distancia a la que se encuentra el punto del eje y. En este caso, el punto \((1, 0)\) está a 1 unidad del eje y, por tanto, estará a 1 unidad al otro lado del eje y y, por tanto, a \((-1, 0)\).

Rotación - definición y regla

Las rotaciones son transformaciones en las que el objeto gira unos ángulos. Ejemplos de rotaciones son la aguja minutera de un reloj, el carrusel, etc.

En todos los casos de rotación, habrá un punto central que no se verá afectado por la transformación. En el reloj, el punto en el que la aguja está fija en el centro no se mueve en absoluto. En otras palabras, la aguja gira alrededor del reloj en torno a este punto.

Si d es positivo, gira en el sentido de las agujas del reloj; en caso contrario, gira en sentido contrario. En ambas transformaciones, el tamaño y la forma de la figura permanecen exactamente iguales.

Laregla general de transformación de la rotación en torno al origen \((0, 0)\) es la siguiente.

Gira la forma dada a \(270º\) en el sentido de las agujas del reloj y en el sentido contrario en torno al origen.

Puntos originales \((x, y)\)	Puntos cambiados(rotación en sentido antihorario)\((y, -x)\)	Puntos cambiados(rotación en sentido horario)\((-y, x)\)
\((-4, 6)\)	\((6, 4)\)	\((-6, -4)\)
\((-6, 4)\)	\((4, 6)\)	\((-4, -6)\)
\((-2, 4)\)	\((4, 2)\)	\((-4, -2)\)
\((-3, 1)\)	\((1, 3)\)	\((-1, -3)\)

SoluciónRotación en sentido horario y antihorario de la forma ABCD.

Dilatación - definición y regla

La dilataciónes una transformación que se utiliza para cambiar el tamaño del objeto y hacerlo más grande o más pequeño. Esta transformación produce una imagen que es igual a la original en forma, pero hay una diferencia en el tamaño del objeto.

• Si una dilatación creauna imagen más grande, entonces se conoce como ampliación (un estiramiento).

• Si una dilatación crea una imagen más pequeña, se denominareducción (encogimiento).

La descripción de una dilatación incluye el factor de escala (o relación) y el centro de la dilatación.

• Si el factor de escalaes mayor que \(1\), la imagen es una ampliación (un estiramiento).

• Si el factor de escalaestá entre \(0\) y \(1\), la imagen es una reducción (un encogimiento ).

Para el factor de escala \(k=3\), y siendo el origen el centro de dilatación tenemos la regla

\[(x,y)\a (3x,3y)\a].

Es decir, el punto original \((x, y)\) pasa a ser \((3x, 3y)\). En este caso, la imagen de la dilatación se estirará.

Para \(k=\dfrac{1}{4}\), obtenemos

\[(x,y)\to \left(\dfrac{x}{4},\dfrac{y}{4}\right)\]

En este caso, la imagen de la dilatación se encogerá.

Dilata la forma dada \(A\) en un factor de \(0,5\) con el origen como punto fijo.Solución
Las aristas de la forma A tienen las coordenadas \((6, 6)\), \((6, 2)\) y \((4, 2)\).Ahora las coordenadas de la forma dada se multiplican por \(0,5\). Obtenemos entonces las nuevas coordenadas \((3, 3)\), \((3, 1)\), \((2, 1)\).La Forma Original \(A\) y la Forma Reducida \(B\) se representan en el siguiente diagrama.

Dilatación del triángulo A en B.

Secuencia de transformaciones

Cuando un objeto sufre más de una transformación secuencialmente, lo llamamos transformación compuesta. Por ejemplo, un triángulo sufre primero una traslación y después una dilatación. Puede haber dos o más transformaciones realizadas una tras otra.