Definición de triángulos semejantes
Una forma similar puede describirse como dos formas que tienen la misma forma, pero tamaños diferentes.
Los triángulos semejantes son un tipo de forma semejante, en la que dos triángulos son del mismo tipo pero de distinto tamaño.
Reglas de los triángulos semejantes
Dos triángulos se consideran semejantes si siguen estas dos reglas
- Tienen ángulos correspondientes del mismo tamaño.
- Todas las longitudes de los lados correspondientes tienen la misma proporción.
Prueba de triángulos similares
La idea de triángulos semejantes se puede mostrar y explicar en el siguiente diagrama:
Ejemplo de triángulos semejantes, StudySmarter Originals
Arriba puedes ver que los dos triángulos tienen un ángulo correspondiente. Además, ambos triángulos tienen lados de la misma razón. Esto significa que las longitudes de los lados de los triángulos son proporcionales entre sí, el triángulo mayor de la derecha es 2 veces mayor que el triángulo menor de la izquierda. Esta relación también se conoce como factor de escala.
Un ángulo correspondiente describe un ángulo que es el mismo en ambos triángulos.
Hay distintos teoremas que pueden demostrar la idea de triángulos semejantes:
Teorema de semejanza SSS
Teorema de semejanza AA
Teorema de semejanza SAS
Teorema de semejanza SSS
El teorema de semejanza SSS sugiere que cuando tres lados de un triángulo son proporcionales a un triángulo correspondiente, el triángulo es semejante.
Este teorema puede representarse con la fórmula siguiente:
Teorema de semejanza AA
El teorema de semejanza AA sugiere que cuando los dos ángulos de un triángulo son iguales a los dos ángulos de otro triángulo, ambos triángulos son semejantes.
Ejemplo de teorema de semejanza AA, StudySmarter Originals
Teorema de semejanza SAS
El teorema de semejanza SAS sugiere que cuando el ángulo incluido de un triángulo es igual al ángulo incluido de otro triángulo y la longitud de los lados de ambos triángulos es proporcional, el triángulo será semejante.
Ejemplo de teorema de semejanza SAS, StudySmarter Originals
Fórmulas de triángulos semejantes
Cuando observamos triángulos semejantes, a menudo nos los aclaran utilizando el símbolosímbolo . Se pueden utilizar fórmulas para mostrar cada uno de los teoremas de los triángulos semejantes:
- Cuando,
- Cuando ,
- Cuando ,
Tipos de ejemplos de triángulos semejantes
Di si los dos triángulos siguientes son semejantes y por qué.
Ejemplo sobre triángulos semejantes, StudySmarter Originals
Solución:
Puedes ver que las longitudes laterales de los triángulos correspondientes son proporcionales entre sí, el triángulo mayor de la derecha es el doble de grande que el otro triángulo, lo que significa que son triángulos semejantes. Para demostrarlo podemos recurrir al teorema de semejanza SSS, que sugiere que al dividir las longitudes laterales por su longitud correspondiente obtendrás la misma respuesta. Esto te da el factor de escala. Vamos a probarlo:
Esto demuestra el teorema de semejanza SSS, lo que significa que el factor de escala es 2.
Encuentra los ángulos que faltan en estos triángulos semejantes:
Ejemplo de triángulo semejante, StudySmarter Originals
Solución:
Como te han dicho que son triángulos semejantes, sabes que los ángulos se corresponden con cada triángulo. Por tanto, sabes que el ángulo B es de 60° y el ángulo X es de 45°, sólo tienes que calcular el tercer ángulo de los triángulos:
Esto significa que tanto el ángulo C como el ángulo Z miden 75°.
Triángulos semejantes - Puntos clave
- Los triángulos semejantes tienen la misma forma pero pueden ser de distinto tamaño; para que se consideren semejantes deben tener los mismos ángulos correspondientes o longitudes laterales proporcionales.
- Existen distintos teoremas para demostrar si un triángulo es semejante:
- Teorema de semejanza SSS
- Teorema de semejanza AA
- Teorema de semejanza SAS
- Puedes utilizar la información de los triángulos semejantes para ayudarte a encontrar los ángulos o las longitudes laterales que faltan.
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