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Triángulos Similares

¿Te has preguntado alguna vez cómo se puede medir algo más alto que tú, quizá una casa o incluso el edificio más alto? A menudo se puede responder a esta pregunta con las propiedades de las formas semejantes. En este artículo vamos a aprender sobre una de las formas semejantes llamadas triángulos semejantes.

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Last Updated: 01.01.1970
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Definición de triángulos semejantes

Una forma similar puede describirse como dos formas que tienen la misma forma, pero tamaños diferentes.

Los triángulos semejantes son un tipo de forma semejante, en la que dos triángulos son del mismo tipo pero de distinto tamaño.

Reglas de los triángulos semejantes

Dos triángulos se consideran semejantes si siguen estas dos reglas

Tienen ángulos correspondientes del mismo tamaño.
Todas las longitudes de los lados correspondientes tienen la misma proporción.

Prueba de triángulos similares

La idea de triángulos semejantes se puede mostrar y explicar en el siguiente diagrama:

Triángulos semejantes, Ejemplo de triángulos semejantes, StudySmarter Ejemplo de triángulos semejantes, StudySmarter Originals

Arriba puedes ver que los dos triángulos tienen un ángulo correspondiente. Además, ambos triángulos tienen lados de la misma razón. Esto significa que las longitudes de los lados de los triángulos son proporcionales entre sí, el triángulo mayor de la derecha es 2 veces mayor que el triángulo menor de la izquierda. Esta relación también se conoce como factor de escala.

Un ángulo correspondiente describe un ángulo que es el mismo en ambos triángulos.

Hay distintos teoremas que pueden demostrar la idea de triángulos semejantes:

Teorema de semejanza SSS
Teorema de semejanza AA
Teorema de semejanza SAS

Teorema de semejanza SSS

El teorema de semejanza SSS sugiere que cuando tres lados de un triángulo son proporcionales a un triángulo correspondiente, el triángulo es semejante.

Triángulos Semejantes, Teorema SSS, StudySmarter

Ejemplo del teorema de semejanza SSS, StudySmarter Originals

Este teorema puede representarse con la fórmula siguiente:

$\frac{A B}{X Y} = \frac{B C}{Y Z} = \frac{A C}{X Z}$

Teorema de semejanza AA

El teorema de semejanza AA sugiere que cuando los dos ángulos de un triángulo son iguales a los dos ángulos de otro triángulo, ambos triángulos son semejantes.

Triángulos semejantes, Teorema AA, StudySmarter

Ejemplo de teorema de semejanza AA, StudySmarter Originals

Este teorema puede representarse con la siguiente fórmula:

$∠ A = ∠ X, ∠ B = ∠ Y, ∠ C = ∠ Z$

Teorema de semejanza SAS

El teorema de semejanza SAS sugiere que cuando el ángulo incluido de un triángulo es igual al ángulo incluido de otro triángulo y la longitud de los lados de ambos triángulos es proporcional, el triángulo será semejante.

Triángulos semejantes Teorema de semejanza SAS StudySmarter Ejemplo de teorema de semejanza SAS, StudySmarter Originals

Este teorema puede representarse con la siguiente fórmula:

\frac{A B}{X Y} = \frac{B C}{Y Z}

∠ B = ∠ Y

Fórmulas de triángulos semejantes

Cuando observamos triángulos semejantes, a menudo nos los aclaran utilizando el símbolo $~$ símbolo . Se pueden utilizar fórmulas para mostrar cada uno de los teoremas de los triángulos semejantes:

Cuando $∠ A = ∠ X, ∠ B = ∠ Y, ∠ C = ∠ Z$ , $△ A B C ~ △ X Y Z$
Cuando $\frac{A B}{X Y} = \frac{B C}{Y Z} = \frac{A C}{X Z}$ , $△ A B C ~ △ X Y Z$
Cuando $\frac{A B}{X Y} = \frac{B C}{Y Z} and ∠ B = ∠ Y$ , $△ A B C ~ △ X Y Z$

Tipos de ejemplos de triángulos semejantes

Di si los dos triángulos siguientes son semejantes y por qué.

Triángulos semejantes Ejemplo StudySmarter Ejemplo sobre triángulos semejantes, StudySmarter Originals

Solución:

Puedes ver que las longitudes laterales de los triángulos correspondientes son proporcionales entre sí, el triángulo mayor de la derecha es el doble de grande que el otro triángulo, lo que significa que son triángulos semejantes. Para demostrarlo podemos recurrir al teorema de semejanza SSS, que sugiere que al dividir las longitudes laterales por su longitud correspondiente obtendrás la misma respuesta. Esto te da el factor de escala. Vamos a probarlo:

$14 \div 7 = 2$

$24 \div 12 = 2$

$20 \div 10 = 2$

Esto demuestra el teorema de semejanza SSS, lo que significa que el factor de escala es 2.

Encuentra los ángulos que faltan en estos triángulos semejantes:

Triángulos semejantes Ejemplo StudySmarter Ejemplo de triángulo semejante, StudySmarter Originals

Solución:

Como te han dicho que son triángulos semejantes, sabes que los ángulos se corresponden con cada triángulo. Por tanto, sabes que el ángulo B es de 60° y el ángulo X es de 45°, sólo tienes que calcular el tercer ángulo de los triángulos:

$180 - 60 - 45 = 75$

Esto significa que tanto el ángulo C como el ángulo Z miden 75°.

Triángulos semejantes - Puntos clave

Los triángulos semejantes tienen la misma forma pero pueden ser de distinto tamaño; para que se consideren semejantes deben tener los mismos ángulos correspondientes o longitudes laterales proporcionales.
Existen distintos teoremas para demostrar si un triángulo es semejante:
- Teorema de semejanza SSS
- Teorema de semejanza AA
- Teorema de semejanza SAS
Puedes utilizar la información de los triángulos semejantes para ayudarte a encontrar los ángulos o las longitudes laterales que faltan.

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Preguntas frecuentes sobre Triángulos Similares

¿Qué son los triángulos similares?

Los triángulos similares son aquellos que tienen la misma forma pero no necesariamente el mismo tamaño, con ángulos correspondientes iguales.

¿Cuáles son las condiciones para que dos triángulos sean similares?

Para que dos triángulos sean similares, deben cumplir una de las siguientes condiciones: AA (ángulo-ángulo), LAL (lado-ángulo-lado), o LLL (lado-lado-lado).

¿Cómo se calcula la razón de semejanza?

La razón de semejanza se calcula dividiendo las longitudes de los lados correspondientes de los triángulos similares.

¿Para qué se utilizan los triángulos similares en la vida real?

Los triángulos similares se utilizan en la vida real para medir distancias inaccesibles, en cartografía, arquitectura y diseño.

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