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¿Cuál es la definición de trigonometría de triángulos?
En primer lugar, veamos qué es la trigonometría de triángulos.
La trigonometría de triángulos es un tema de las matemáticas que estudia la relación entre las longitudes de los lados y los ángulos de un triángulo.
Puede que hayas oído hablar de las identidades de los triángulos y de las identidades trigonométricas, y te hayas preguntado cuál es la diferencia.
Una identidad triangular es una regla que se cumple en todos los triángulos. Esto incluye reglas como
- la suma de los ángulos de un triángulo es \(180^\circ\), también conocido como \(\pi /2\) radianes; y
- la suma de dos lados cualesquiera es mayor que la longitud del lado restante.
Por otra parte, las identidades trigonométricas son las que se cumplen SÓLO en los triángulos rectángulos. Incluyen cosas como
- la Ley de los Senos
- la Ley de los Cosenos
- el Teorema de Pitágoras
- ¡y muchas más!
Fórmulas en trigonometría de triángulos
Las fórmulas de trigonometría pueden ayudarte a encontrar las longitudes de los lados y los ángulos que faltan en los triángulos. Hay distintas fórmulas que se utilizan dependiendo de la información que te hayan dado sobre el triángulo.
Primero veamos cómo se suele etiquetar un triángulo rectángulo.
La hipotenusa es el lado opuesto al ángulo recto. Siempre es el lado de mayor longitud del triángulo.
Elige un ángulo y dale un nombre. En este caso, en el dibujo de abajo se llama \(\eta\). El lado opuesto es el lado opuesto al ángulo \(\theta\).
El lado adyacente es el lado que está al lado, adyacente, del ángulo \(\theta\).
Fig. 1. Etiquetado de un triángulo.
SOHCAHTOA
En trigonometría de triángulos hay distintas reglas (también llamadas identidades trigonométricas) que puedes seguir para poder utilizar las funciones trigonométricas correctas. Cuando observes un triángulo rectángulo, puedes etiquetar cada lado para ayudarte a identificar qué función es mejor utilizar, existe un acrónimo llamado SOHCAHTOA que puede ayudarte a recordar qué función utilizar.
SOH - Senoigual a Opuestosobre Hipotenusa
CAH - Cosenoigual a Adyacentesobre Hipotenusa
TOA - Tangenteigual a Opuestosobre Adyacente
¡SOHCAHTOA sólo se aplica a triángulos rectángulos!
Fórmulas y SOHCAHTOA
Una vez que hayas etiquetado tu triángulo, podrás identificar qué función es la mejor para ayudarte a averiguar información sobre el triángulo rectángulo y también qué información sustituir en la fórmula. A continuación puedes ver las seis funciones trigonométricas básicas y la fórmula de cada una de ellas:
\[ \begin{align} \sin \theta &= \frac {\mbox{opuesta}} {\mbox{hipotenusa}} \\ ¾cos ¾theta &= ¾frac {\mbox{adyacente}} {\mbox{hipotenusa}} ¾tan ¾theta &= ¾frac {\mbox{opuesto}} {\mbox{adyacente}} {\mbox{hipotenusa}} {\mbox{adyacente}} \csc \theta &= \frac {\mbox{hipotenusa}} {\mbox{opuesta}} \sec \theta &= \frac {\mbox{hipotenusa}} {\mbox{adyacente}} \\ ¾cot ¾theta &= ¾frac {\mbox{adyacente}} {\mbox{opuesta}}end{align} \]
Para cada función puedes ver que necesitas introducir información del triángulo rectángulo etiquetado para encontrar el valor de la función.
La forma de utilizar la fórmula puede dividirse en pasos:
Paso 1: Rotula el triángulo.
Paso 2: Elige la función correcta.
Paso 3: Introduce las variables del triángulo y resuelve lo que necesites.
Por supuesto, es más fácil ver cómo se utilizan estas cosas en un ejemplo.
Halla el valor de la función Seno para el ángulo \( \theta\).
Fig. 2. Hallar un ángulo en un triángulo.
Contesta:
Repasemos los pasos.
Paso 1: Rotula el triángulo.Te han dado la hipotenusa y el opuesto, así que rotúlalos en el diagrama.
Fig. 3. Triángulo rotulado con la hipotenusa y los lados opuestos.
Paso 2: Elige la función correcta.
Cuando te hayan dado el opuesto y la hipotenusa, ya tienes todo lo que necesitas para utilizar la función seno.
\[ \sin \theta = \frac{\mbox{opuesto}} {\mbox{hipotenusa}} \]
Paso 3: Introduce tus variables del triángulo, y resuelve para \(\sin \theta \).
En este caso, el lado opuesto es \( 6 \; \text{cm}\) y la hipotenusa es \( 8 \; \text{cm}\), por lo que tienes
\[ \sin \theta = \frac {6} {8} = \frac{3}{4}. \]
¿Y el área de un triángulo?
Área de triángulos y trigonometría
El área de un triángulo es una forma de hablar del espacio que hay dentro de los tres lados del triángulo. Echa un vistazo a Área de triángulo para más información y ejemplos.
Aplicaciones de la trigonometría del triángulo rectángulo
La trigonometría del triángulo rectángulo puede aplicarse a muchas situaciones diferentes de la vida real. Puede utilizarse para ayudar a la gente a comprender las distancias. Las alturas de los árboles o la distancia desde la cima de un acantilado hasta la base pueden medirse utilizando la trigonometría si conoces los ángulos. Estos ángulos se conocen como ángulo de elevación o ángulo de depresión.
El ángulo de elevación es el ángulo desde una línea horizontal hasta un objeto situado por encima de la línea.
Veamos un ejemplo.
Supongamos que tienes un árbol y quieres saber cuánto mide. Desde la base del árbol mides \(100\) pies, y con tu transportador mides que el ángulo hasta la copa del árbol desde tu posición actual es de \(60\) grados. ¿Cuánto mide el árbol?
Contesta:
La copa del árbol está por encima de tu posición, por lo que este problema implica un ángulo de elevación. De hecho, en este ejemplo el ángulo de elevación hasta la copa del árbol es de \ (60\) grados. Como no se te da un diagrama, tendrás que dibujar el tuyo propio y etiquetarlo.
Fig. 4. Posición tuya respecto al árbol.
Paso 1: La distancia al árbol es de \ (100\) pies, y el ángulo de elevación es de \ (60\) grados. Se te pide que halles la altura del árbol, que es el lado opuesto. Por comodidad dale a ese lado el nombre de \(h\).
Paso 2: Elige la función correcta.
En la imagen anterior tienes el ángulo y el lado adyacente, y se te pide que halles el lado opuesto. ¡Eso implica la función tangente! Recuerda que
\[ \tan \theta = \frac{\mbox{opuesto}} {\mbox{adyacente}}. \]
Paso 3: Introduce tus variables del triángulo, y resuelve para \(h\).
Introduciendo lo que sabes
\[ \tan 45 = \frac{h} {100}. \]
Puedes usar lo que sabes sobre Funciones Trigonométricas para obtener que
\[ \tan 45 = \frac{sqrt{3}}{3} ,\]
así que
\frac{cuadrado}}{3} = \frac{h}{100}]
y
\h = 100 \frac {cuadrado}} {3}, \text{ft}. \frac {cuadrado}} {3}].
Es una respuesta exacta. Puede que te pidan que averigües la altura aproximada del árbol, así que puedes introducirla en una calculadora para averiguar que
\[ h \aproximadamente 57,7 \text{ft}.\}]
¿Y el ángulo de depresión?
El ángulo de depresión es el ángulo que forma una línea horizontal con un objeto situado por debajo de la línea.
Veamos un ejemplo.
¡Hoy has ido a escalar! Tu camión está aparcado al pie del acantilado, a unos 60 metros de la base. Se trata de un acantilado relativamente escarpado, por lo que la subida es prácticamente vertical. Una vez alcanzada la cima del acantilado, calculas que el ángulo de depresión con respecto a tu camión es de unos \(30\) grados. ¿A qué altura crees que estás?
Contesta:
Paso 1: ¡Ayuda hacer un dibujo! Pon la información que sepas, como que tu camión está a \ (200\) metros de la base del acantilado y que el ángulo de depresión es de unos \(30\) grados. Por comodidad, llama a la altura del acantilado \(h\).
Fig. 5. Triángulo que te muestra en la cima del acantilado y la ubicación de tu camión.
Paso 2: Elige la función correcta.
Quieres saber a qué altura está el acantilado, es decir, ¿qué es \(h\)? Si te fijas en la colocación del ángulo, tienes el lado opuesto de \( 200\) yardas, y quieres conocer el lado adyacente. Eso significa que querrás utilizar la función tangente.
Paso 3: Introduce tus variables del triángulo, y resuelve para \(h\).
Utilizando el hecho de que
\[ \tan \theta = \frac{\mbox{opuesta}} {\mbox{adyacente}}, \]
puedes poner la información que tienes para obtener
\[ \tan 30 = \frac{200} {h}. \]
Puedes usar lo que sabes sobre Funciones Trigonométricas para obtener que
\[ \tan 30 = \frac{cuadrado{3}}{3} ,\]
así que
\frac{cuadrado{3}}{3} = \frac{200}{h}]
y
\[\begin{align} h &= \frac{200}{\dfrac{cuadrado}}{3}} \\ y= \frac{200\cdot3} {cuadrado} {3} \\ &= \frac{600}{cuadrado}{3} \text{yd}. \end{align}\]
Si no te gusta la raíz cuadrada en el denominador, puedes multiplicar el numerador y el denominador por \(\sqrt{3}\) para obtener:
\[\begin{align} h &= \frac{600}{cuadrado{3}} \\ ¾ &= ¾frac{600} {(¾sqrt{3})^2}. \\ y= \frac {600} {3} {3} \\ y= 200qtrt{3} \text{yd}. \end{align}\]
Es una respuesta exacta. Es posible que te pidan que averigües aproximadamente a qué altura crees que estás, así que puedes introducirlo en una calculadora para averiguar que
\[ h \aprox 346 \, \text{yd}.\]
Por supuesto, ¡nunca hay suficientes ejemplos!
Ejemplos de trigonometría de triángulos
A veces te pedirán que encuentres los valores de las seis funciones trigonométricas para un ángulo dado.
Halla los valores de las seis funciones trigonométricas sobre el ángulo \(\theta\).
Fig. 6. Hallar los seis valores trigonométricos de un ángulo.
Como de costumbre, primero deberás etiquetar el triángulo rectángulo.
Fig. 7. Triángulo con el ángulo y los lados etiquetados.
Luego puedes utilizar SOHCHATOA para hallar los valores de tres de las funciones trigonométricas del ángulo \(\theta\).
SOH:
\[ \in{align} \sin \theta &= \frac {\mbox{opuesta}} {\mbox{hipotenusa}} \\ y= frac 8/10 \\ &= \frac{4}{5}. \end{align}\]
CAH:
\[Inicio \cos \theta &= \frac {\mbox{adyacente}} {\mbox{hipotenusa}} &= \frac {6} {10} \\ y = frac {3} {5}.end]
TOA:
\[ \begin{align} \tan \theta &= \frac {\mbox{opuesto}} {\mbox{adyacente}} \\ y= \frac {8}{6} \\ &= \frac{4}{3}. \fin \]
Entonces, para las otras tres
Cosecante:
\[ \begin{align} \csc \theta &= \frac{\mbox{hipotenusa}} {\mbox{opuesta}} &= \frac{10}{8} \\ y= frac{5}{4}. \fin \]
Secante:
\[ \frac{10}{8} \frac{5}{4}. \Secta &= Frac {\mbox{hipotenusa}} {\mbox{adyacente}} \\ y= \frac {10}{6} \\ &= \frac{5}{3}. \fin \]
Cotangente:
\[ \begin{align} \cot \theta &= \frac {\mbox{adyacente}} {\mbox{opuesto}} \\ y= \frac{6}{8} \\ y= frac {3} {4}. \fin \]
A veces te pedirán que encuentres un lado que falta.
Halla \(x\).
Fig. 8. Triángulo con ángulo dado y lado opuesto.
Paso 1: Rotula el triángulo. ¡Ya está hecho!
Paso 2: Elige la función correcta.
La información que tienes es un ángulo y el lado opuesto, y lo que quieres hallar es la hipotenusa. Eso significa que querrás utilizar la función seno.
Paso 3: Introduce tus variables del triángulo y resuelve para \(x\).
Utilizando la parte SOH de SOHCAHTOA, sabes que
\[\sin \theta = \frac{\mbox{opuesta}}{\mbox{hipotenusa}} .\]
Introduciendo lo que sabes obtienes
\[\sin 55 = \frac{16}{x} ,\]
así que
\[ x = \frac{ 16}{sin 55} \text{cm}. \]
Si te piden que encuentres el valor aproximado de \(x\) con dos decimales, la respuesta sería
\[ x = 19,53 \text{cm}.\}]
A veces te pedirán que "resuelvas" un triángulo. Lo que en realidad se te pide es que encuentres todos los ángulos y todos los lados.
Resuelve el triángulo \(\Delta ABC\).
Fig. 9. Resolución del triángulo.
Contesta:
¡Este triángulo ya está útilmente etiquetado! Sabes que el ángulo en el vértice \(B\) es \(90^\circ\), tienes dos de los lados, y uno de los otros ángulos. Sólo te queda hallar la longitud del lado \(x\) y la medida del ángulo \(y\).
Veamos primero cómo hallar \(x\). Es la hipotenusa, tienes que el ángulo en la esquina \(A\) es \(50^\circ\), y el lado adyacente tiene longitud \(5\, \text{cm}\). Por tanto, deberás utilizar la fórmula\[\cos \theta = \frac {\mbox{adyacente}} {\mbox{hipotenusa}}.
Introduciendo lo que sabes
\[ \cos 50= \frac{5}{x}, \]
así que
\x = \frac{5}{cos 50}, \text{cm}.\]
A continuación vamos a hallar \(y\). Para ello puedes utilizar una simple resta, ya que sabes que todos los ángulos de un triángulo suman \(180°\). Eso te da
\[ 180 = y + 55 + 90\]
así que resolviendo para \(y\)
\[ y = 35^\circ .\\\]
Trigonometría triangular - Puntos clave
- La trigonometría de triángulos estudia la relación entre los ángulos y los lados de un triángulo.
- Hay 6 funciones diferentes que se utilizan en trigonometría: seno, coseno, tangente, cosecante, secante y cotangente.
- Puedes utilizar el acrónimo SOHCAHTOA para recordar qué función es adecuado utilizar al resolver un triángulo rectángulo.
SOH - Seno igual a Opuesto sobre Hipotenusa
CAH - Coseno igual a Adyacente sobre Hipotenusa
TOA - Tangente igual a Opuesto sobre Adyacente
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