Considera la ecuación y = (x + 3) (x-2).
¿Cuáles son las raíces de la ecuación anterior?
Solución
Las raíces de la ecuación anterior son valores de x para los que y = 0.
Por tanto
y = (x + 3) (x-2) = 0
cuando
x + 3 = 0, \(\rightarrow\) x = -3
o bien, x - 2 = 0 \(\rightarrow\) x = 2
Por tanto, las raíces de la ecuación dada son x = 2 y x = -3.
Teorema de la localización de las raíces
Considera la siguiente ecuación
y = (x-2) (x + 4) (x-6)
La siguiente gráfica muestra la curva correspondiente.
Gráfica de la función y = (x-2) (x + 4) (x-6)
A partir de la gráfica anterior, podemos ver que los puntos en los que la curva interseca con el eje X están en x = -4, x = 2 y x = 6. Por tanto, las raíces de la ecuación dada son -4, 2 y 6.
Observa ahora los puntos de la gráfica marcados con A (correspondiente a x = 1) y B (correspondiente a x = 4). A está por encima del eje X, y B por debajo del eje X. Dado que la gráfica es continua entre A y B (hay una línea ininterrumpida que une A y B en la gráfica), esto implica que necesariamente tiene que haber al menos una raíz entre A y B. Para que la curva pase de estar por encima del eje X a estar por debajo, tiene que cruzar el eje X en algún punto.
Que la gráfica sea continua en el intervalo entre A y B es aquí una condición necesaria. Si la gráfica fuera discontinua, la recta no estaría obligada a cruzar el eje X. Por ejemplo, podrías tener una función que divergiera en una asíntota vertical en el intervalo dado.
Podemos generalizar la discusión anterior para obtener el teorema de la localización de las raíces:
Si la función f (x) es continua en el intervalo [a, b] y f (a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces f (x) tiene al menos una raíz, x, que se encuentra entre a y b, es decir, a < x < b.
El cumplimiento de la condición anterior significa que hay al menos una raíz entre \(\x = a\) y \(\x = b\). Sin embargo, no significa necesariamente que haya una sola raíz entre \(\x = a\) y \(\x = b\). Por ejemplo, considera los puntos C y D del gráfico anterior. C y D cumplen la condición de ser de signos opuestos (el valor de la función es positivo en C y negativo en D), pero podemos ver en la gráfica que hay tres raíces entre C y D y no sólo una.
A la inversa, el hecho de que dos puntos se encuentren en el mismo lado del eje X (es decir, que el valor de f (x) tenga el mismo signo para dos valores de x) no significa necesariamente que no haya raíces entre ellos. Considera los puntos A y C de la gráfica. Ambos están por encima del eje X, es decir, el valor de f (x) es positivo en ambos puntos. Sin embargo, vemos que hay dos raíces distintas (en \(\x = 2\) y \(\x = 6\)) entre estos dos puntos.
Aplicaciones del teorema de la localización de las raíces
La aplicación del teorema de localización de las raíces no puede utilizarse directamente para encontrar la raíz o raíces exactas de una función. Sin embargo, puede ser muy útil para estimar la localización aproximada de las raíces de una función. En muchos métodos, el teorema de la localización de las raíces se aplica para encontrar una aproximación inicial de las raíces de una función. La aplicación sucesiva del teorema se utiliza para acercarse iterativamente a la raíz o raíces de la función. Consulta nuestro artículo sobre Métodos iterativos para obtener más detalles.
En el siguiente apartado, resolveremos algunos problemas de ejemplo sobre la localización de raíces.
Problemas sobre la localización de raíces
Ejemplo 1
Demuestra que la función f(x) = x³ - x + 5 tiene al menos una raíz entre x = -2 y x = -1
Solución 1
f(-2) = -2³ - (-2) + 5 = -1
f(-1) = -1³ - (-1) + 5 = 5
Como f(-2) es negativa y f(-1) es positiva, según el teorema de Localización de Raíces, esto implica que hay al menos una raíz de f(x) entre -2 y -1.
Ejemplo 2
Dada f (x) = x³ - 4x² + 3x + 1, demuestra que f (x) tiene una raíz entre 1,4 y 1,5
Solución 2
f (1,4) = 1,4³ - 4 x 1,4² + 3 x 1,4 + 1 = 0,104
f (1,5) = 1,5³ - 4 x 1,5² + 3 x 1,5 + 1 = -0,125
Como f(1,4) es positiva y f(1,5) es negativa, según el teorema de la Ubicación de las Raíces, esto implica que hay al menos una raíz de f(x) entre 1,4 y 1,5.
Ejemplo 3
Para una función cuadrática f(x), f(2) = 3,6, f(3) = -2,2, f(4) = -0,1, f(5) = 0,9.
A partir de la información anterior, ¿podemos concluir si hay una raíz entre
a) 2 y 3 ?
b) ¿3 y 4 ?
c) ¿4 y 5 ?
Solución 3
a) Vemos que hay un cambio de signo entre f(2) (positivo) y f(3) (negativo). Por tanto, podemos decir que hay al menos una raíz de f(x) entre 2 y 3.
b) Vemos que no hay cambio de signo entre f(3) (negativo) y f(4) (negativo). Si tiene que haber una raíz entre f(3) y f(4), tendría que haber al menos dos raíces, ya que el signo tendría que cambiar a positivo y luego volver a negativo. Pero sabemos que las ecuaciones cuadráticas tienen como máximo dos raíces, y ya hemos encontrado una ubicación diferente para una raíz. Esto significa que no hay ninguna raíz de f(x) entre 3 y 4.
c) Vemos que hay un cambio de signo entre f(4) (negativo) y f(5) (positivo). Por tanto, podemos decir que la raíz restante de la cuadrática f(x) se encuentra entre 4 y 5.
Localización de raíces - Puntos clave
- Una raíz de la función f(x) es un valor de x para el que f(x) = 0.
- La gráfica correspondiente a y = f(x) cruzará el eje X en los puntos correspondientes a la localización de las raíces de la función.
- El teorema de la localización de las raíces afirma que Si la función f(x) es continua en el intervalo [a, b] y f (a) y f (b) tienen signos opuestos, entonces f(x) tiene al menos una raíz, x, que se encuentra entre a y b, es decir, a < x < b.
- El cumplimiento del teorema de la localización de las raíces significa que hay al menos una raíz entre x = a y x = b. Sin embargo, no significa necesariamente que sólo haya una raíz entre x = a y x = b.
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