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En este artículo definiremos qué son las variables en álgebra, y cómo identificar y trabajar con variables en expresiones y ecuaciones algebraicas. También exploraremos el orden de las operaciones con variables y los conceptos de variable dependiente e independiente, mostrándote ejemplos prácticos.
Empecemos por el origen de las variables.
Introducción a las variables en álgebra
A veces, cuando necesitas resolver problemas matemáticos, puedes encontrarte con valores desconocidos, que son valores que pueden cambiar. En el sigloXVII , René Descartes tuvo una gran idea: representar las incógnitas en las ecuaciones mediante \(x\), \(y\) y \(z\), y las incógnitas mediante \(a\), \(b\) y \(c\).1 La idea era utilizar las letras como si fueran números, para poder elaborar soluciones generales a problemas en los que no se conocen todos los valores. Esto facilitó las cosas a los matemáticos, ahorrándoles tiempo y esfuerzo para encontrar todas las soluciones posibles.
¿Qué son las variables en álgebra?
En álgebra,las variables son letras que se utilizan para representar valores desconocidos que pueden cambiar.
Veamos algunos ejemplos en la sección siguiente.
Ejemplos de variables en álgebra
Las letras más comunes que se utilizan como variables en Álgebra son \(x, y, z, a, b, m, n, p,\) y \(q\). De éstas, las más populares son \(x\) y \(y\). En ciencia, \(t\) y \(d\) son variables muy utilizadas cuando se refieren al tiempo y a la distancia, respectivamente.
He aquí algunos ejemplos de variables:
a) Puedes definir una variable \(h\) como el número de horas que pasas en Internet al día.
\[h = \text{número de horas que pasas en Internet al día}\].
b) Una variable \(m\) como el número de cartones de leche que se venden al día en tu tienda local.
\m = \text{número de cartones de leche que se venden al día}].
c) Una variable \(d\) como el número de días que faltan para tus próximas vacaciones.
\[d = \text{número de días hasta las vacaciones}\]
Variables en expresiones algebraicas
Las variables son de suma importancia en álgebra. Cuando tienes un problema matemático en el que intervienen valores desconocidos o cambiantes, puedes utilizar variables para representarlos en expresiones algebraicas, también conocidas como expresiones variables. Recordemos qué son las expresiones algebraicas.
Las expresionesalgebraicas son cálculos que contienen una combinación de números, variables y símbolos de operaciones.
Las expresiones algebraicas contienen al menos una variable, y eso es lo que las diferencia de las expresiones aritméticas. La figura 1 muestra un ejemplo de expresión algebraica y sus distintos componentes.
Fig. 1. Ejemplo de una expresión algebraica.
Observa que cuando ves un número junto a una variable en una expresión algebraica, como \(3x\) en el ejemplo anterior, representa la multiplicación. En este caso, \(3x\) significa \(3\) veces el valor de \(x\). Esto se hace para evitar confusiones entre el símbolo de multiplicación \( \times \) y la variable de uso común \(x\).
Otro concepto importante que debes comprender cuando trabajes con expresiones algebraicas, es el concepto de términos.
Untérmino puede ser sólo un número (constante) o una combinación de un número y una o más variables.
Una expresión algebraica es una combinación de dichos términos, separados por símbolos de operación.
En el ejemplo anterior
\[3x + 1\]
\es el primer término, donde \(3\) es el coeficiente, y \(x\) es la variable,
\(1) es el segundo término, que es una constante.
Recuerda que, un coeficiente es un número que se multiplica por una variable. Si una variable no tiene coeficiente, se supone que es 1.
Evaluación de una expresión algebraica
Tener una variable en una expresión significa que el valor de la expresión será diferente, dependiendo del valor de la variable que se utilice para evaluarla.
Si tienes la expresión algebraica \(4x + 5\), y la evalúas cuando \(x = 2\). El resultado será el siguiente
\[4x + 5 = 4 \cdot \textbf2 + 5 = 8 + 5 = 13\]
Si luego lo evalúas cuando \(x = 3\), el resultado será distinto, como puedes ver a continuación.
\[4x + 5 = 4 \cdot \textbf3 + 5 = 12 + 5 = 17\]
Lee nuestro artículo sobre Expresiones lineales para saber más sobre este tema.
Variables en ecuaciones algebraicas
Las ecuaciones algebraicas se diferencian de las expresiones algebraicas porque contienen un signo igual. Mira un ejemplo de ecuación algebraica mostrando todos sus componentes en la Figura 2 de abajo.
Fig. 2. Ejemplo de ecuación algebraica.
Observa que en una ecuación algebraica tendrás un lado izquierdo y un lado derecho de la ecuación. El lado izquierdo de la ecuación corresponde al término o combinación de términos situados a la izquierda del signo igual, y el lado derecho de la ecuación corresponde al término o combinación de términos situados a la derecha del signo igual.
Ambos lados de la ecuación deben ser iguales. Por tanto, resuelves ecuaciones algebraicas para encontrar el valor de la variable que hace que la ecuación sea verdadera.
Veamos un ejemplo.
Mike encargó una camisa y un par de zapatos. Gastó un total de \(100 $), y la camisa le costó \(45 $). Esto se puede representar con la siguiente ecuación matemática:
\[45 + x = 100,\]
donde
\(x) es la variable que representa la cantidad que aún no conocemos, que es el coste de los zapatos.
Podemos resolver para \(x\), para hallar el coste de los zapatos. Para ello, tienes que restar \(45\) de ambos lados de la ecuación.
\[\begin{align}45 + x &= 100 \\\cancel{45} - \cancel{textbf{45}} + x &= 100 - \textbf{45} \\x &= 55\end{align}\]
El coste de los zapatos es \(55 $).
Ecuaciones lineales con dos variables
Las ecuaciones lineales pueden tener más de una variable. Recordemos qué son las ecuaciones lineales.
Lasecuaciones lineales son ecuaciones algebraicas en las que el grado de las variables es 1.
El grado de una variable es el número que aparece en superíndice junto a la variable. Por ejemplo, en \(x^2\) el grado de \(x\) es \(2\). En \(x\), el grado es \(1\), que suele omitirse en \(x^1\).
Las ecuaciones lineales con dos variables pueden escribirse en forma estándar como
\[ax + by + c = 0,\]
donde:
\(a\) y \(b\) son números reales y los coeficientes de las variables \(x\) y \(y\),
\(c flecha derecha) es una constante.
He aquí un ejemplo de ecuación lineal con dos variables en forma estándar:
\[-2x + y -1 = 0,\]
donde
\(a = -2\), \(b = 1\) y \(c = -1\).
También puedes encontrar ecuaciones lineales escritas en la forma pendiente-intersección como:
\[y = mx + b,\]
donde:
\(m\) \(\Derecha) es la pendiente,
\(b) es la intersección (y).
\(y = 2x + 1\), es una ecuación lineal con dos variables escrita en forma pendiente-intersección, y representa gráficamente una recta.
donde:
\(m = 2\), y \(b = 1\).
Lee nuestras explicaciones sobre Escritura de ecuaciones lineales y Resolución de ecuaciones lineales para obtener más detalles y ejemplos.
Orden de las operaciones con variables
El orden estándar de las operaciones \(PEMDAS\), que utilizas para resolver operaciones aritméticas, también se aplica al resolver expresiones algebraicas. Recordemos qué significan las siglas \(PEMDAS\):
\(P \Flecha derecha \) Paréntesis
\(E \Flecha derecha \) Exponentes
\M (Flecha derecha) Multiplicación
\(D flecha derecha) División
\(A flecha derecha) Suma
\(S flecha derecha) Resta
Primero se resuelven los paréntesis, luego los exponentes, seguidos de la multiplicación y la división (realizadas en orden de izquierda a derecha) y, por último, la suma y la resta, también realizadas en orden de izquierda a derecha.
Si no sigues el Orden de Operaciones correcto, acabarás con un resultado erróneo.
Al resolver expresiones algebraicas, tendrás que combinar términos semejantes. Cuando dos términos tienen variables diferentes, no se consideran "términos semejantes".
Los términossemejantes son términos del mismo tipo, en función de sus variables y potencias. Por ejemplo, las constantes son siempre términos semejantes con otras constantes.
Aquí tienes un par de ejemplos para que practiques.
a) Simplifica la expresión algebraica \(4x + 2x + 5(2^2 + 1)\), y evalúala cuando \(x = 2\).
Siguiendo las reglas \(PEMDAS\), primero tienes que resolver la operación dentro del paréntesis. Dentro del paréntesis tienes un exponente y una suma, así que vamos a resolverlos en ese orden.
\[4x + 2x + 5(4 + 1)\]
\[4x + 2x + 5 \cdot 5\]
A continuación, tienes que resolver la multiplicación,
\[4x + 2x + 25\]
Ahora puedes combinar(sumar o restar) términos semejantes. En este caso, \(4x\) y \(2x\) son términos semejantes, ya que tienen la misma variable \(x\).
\[6x + 25\\quad \text{Esta es la expresión algebraica simplificada}\}]
Ahora podemos evaluarla cuando \(x = 2\),
\[6x + 25 = 6 \cdot 2 + 25 = 12 + 25 = \textbf{37}\]
b) Simplifica la expresión algebraica \(4x + 2y + 3(x + 2)\), y evalúala cuando \(x = 1\) y \(y = 3\).
De nuevo, primero tienes que resolver la operación dentro del paréntesis. Sin embargo, \(x\) y \(2\) no son términos semejantes, por lo que no puedes sumarlos. Para resolver los paréntesis en este caso, tienes que expandirlos, multiplicando \(3\) por cada uno de los términos dentro de los paréntesis.
\[4x + 2y + 3x + 6\]].
A continuación, tienes que combinar (sumar o restar) los términos semejantes,
\[7x + 2y + 6\]
Y por último, puedes evaluarlo para los valores dados de las variables \(x\) y \(y\).
\[7x + 2y + 6 = 7 \cdot 1 + 2 \cdot 3 + 6 = 7 + 6 + 6 = \textbf{19}\}].
Variables dependientes e independientes
En álgebra, las variables pueden ser dependientes o independientes, según que su valor dependa o no del valor de otra variable.
Veamos cada caso por separado.
Las variablesindependientes son variables que no dependen del valor de ninguna otra variable.
He aquí un ejemplo. Piensa en la siguiente situación.
Si por tu trabajo te pagan \($10\) por hora. El salario que recibas mensualmente dependerá de cuántas horas trabajes en un mes.
Esto se puede representar en la siguiente ecuación algebraica:
\[s = 10h,\]
donde:
\(s \Flecha derecha \) salario mensual,
\(h flecha derecha \) número de horas trabajadas en un mes.
En este caso, \(h\) es la variable independiente, porque no depende de ninguna otra variable. Tú controlas cuántas horas trabajas.
Definamos ahora qué son las variables dependientes.
Las variablesdependientes son variables cuyo valor depende del valor de otras variables.
Volviendo a nuestro escenario.
En la ecuación algebraica
\[s = 10h,\]
La variable dependiente es \(s\), porque la cantidad que recibas como salario mensual dependerá del valor de la variable \(h\).
Por ejemplo,
Si trabajas \(80\) horas \((h = 80)\), entonces tu salario mensual será,
\[s = 10h = 10 \cdot 80 = \textbf{\$800}\}]
Si sólo consigues trabajar \(55\) horas \((h = 55)\), tu salario ese mes será,
\[s = 10h = 10 \cdot 55 = \textbf{\$550}\}]
Variables en álgebra - Puntos clave
- En álgebra, las variables son letras que se utilizan para representar valores desconocidos que pueden cambiar.
- Las expresiones algebraicas son cálculos que contienen una combinación de números, variables y símbolos de operaciones.
- Las expresiones algebraicas contienen al menos una variable, y eso es lo que las diferencia de las expresiones aritméticas.
- Las ecuaciones algebraicas se diferencian de las expresiones algebraicas porque contienen un signo igual.
- El orden estándar de las operaciones \(PEMDAS\), que utilizas para resolver operaciones aritméticas, también se aplica al resolver expresiones algebraicas.
- Las variables en álgebra pueden ser dependientes o independientes, según que su valor dependa o no del valor de otra variable.
Referencias
- Sorell, Tom (2000). Descartes: Una Brevísima Introducción. Nueva York: Oxford University Press.
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