Eliminación gaussiana

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando eliminación gaussiana:

\[\left\{\begin{array}\,-3x+6y=2\\2x-8y=1\end{array}\right.\]

Solución:

Primero, debemos transformarlo en una matriz que contenga la matriz de coeficientes y la matriz ampliada:

\[\left(\begin{array}{rr|r}-3 & 6 &2\\ 2 & -8 &1\end{array}\right) \]

Ahora, procedemos a transformarla en una matriz triangular superior, usando operaciones elementales:

• Paso 1: multiplicamos la primera fila de modo que \(F_1\rightarrow \frac{-1}{3}F_1\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 2 & -8 &1\end{array}\right) \]

• Paso 2: ahora hacemos \(F_2\rightarrow 2F_1-F_2\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 0 & -4 &\frac{-7}{3}\end{array}\right) \]

• Paso 3: operamos en la segunda fila \(F_2\rightarrow \frac{-1}{4}F_2\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}1 & -2 &\frac{-2}{3}\\ 0 & 1 &\frac{7}{12}\end{array}\right) \]

Esto nos da como resultado el sistema:

\[\left\{\begin{array}\,x-2y=\frac{-2}{3}\\y=\frac{7}{12}\end{array}\right.\]

Con lo cual, el valor de la segunda variable es \(y=\frac{7}{12}\).

Para calcular el valor de \(x\), sustituimos en la primera ecuación. Una vez hecho esto, obtenemos:

\[x-2(\frac{7}{12})=\frac{-2}{3} \]

\[x=\frac{1}{2}\]

Resuelve el siguiente sistema de ecuaciones, usando eliminación gaussiana:

\[\left\{\begin{array}\,-3x+2y+z=2\\6x-8y-2z=1\\x-y-2z=3\end{array}\right.\]

Solución:

Transformando este sistema en una matriz, tenemos:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 6 & -8 & -2 &1\\ 1& -1 & -2 &3\end{array}\right) \]

Ahora, lo llevamos a una forma triangular superior, para lo cual primero hacemos \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 1& -1 & -2 &3\end{array}\right) \]

Para conseguir un 0 en la última fila, hacemos \(F_3\rightarrow \frac{1}{3}F_1+F_3\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& \frac{-1}{3} &\frac{-5}{3} &\frac{11}{3}\end{array}\right) \]

Podemos multiplicar la última fila para eliminar los denominadores:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 1 &5 &-11\end{array}\right) \]

Ahora, hacemos \(F_3\rightarrow F_2+4F_3\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &20 &-39\end{array}\right) \]

Por tanto, hemos obtenido el valor de una variable:

\[z=\dfrac{-39}{20}\]

En este caso, en la segunda ecuación hemos obtenido directamente el valor de \(y\):

\[y=\dfrac{-5}{4}\]

Finalmente, podemos usar estos dos valores para calcular el valor de \(x\) en la primera ecuación:

\[-3x+2y+z=2\]

\[-3x+2\dfrac{-5}{4}+\dfrac{-39}{20}=2\rightarrow x=\dfrac{-43}{20}\]

Por ejemplo, la matriz:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,a & b&e\\c & d&f\end{array}\right)\]

se debe llevar a la forma:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & 0&e'\\0 & 1&f'\end{array}\right)\]

donde los coeficientes \(e’, f’\) son el resultado de hacer operaciones elementales sobre los coeficientes originales \(e\) y \(f\).

Otro ejemplo sería la matriz \(3\times 3\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}\,a & b&c&j\\d & e &f &k\\ g & h & i&l\end{array}\right)\]

Que se debe llevar a la forma:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}\,1 & 0 & 0&j'\\0 & 1 & 0 &k'\\ 0 & 0 & 1&l'\end{array}\right)\]

Encuentra la solución del siguiente sistema de ecuaciones, usando el método de Gauss-Jordan:

\[\left\{\begin{array}\,3x-40y=6\\-2x+5y=10\end{array}\right.\]

Solución:

Este sistema se convierte en la matriz:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,3 & -40&6\\-2 & 5&10\end{array}\right)\]

• Paso 1: multiplicamos la primera fila por \(\frac{1}{3}\).

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\-2 & 5&10\end{array}\right)\]

• Paso 2: multiplicamos la primera fila por \(2\) y la sumamos a la segunda:

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\0 & -\frac{65}{3}&14\end{array}\right)\]

• Paso 3: ahora, multiplicamos la segunda fila por \(-\frac{3}{65}\):

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & \frac{-40}{3}&2\\0 & 1&-\frac{42}{65}\end{array}\right)\]

Este último paso dejaría la matriz en una forma que nos permite resolverla de inmediato, lo que sería el método de Gauss. Pero, ahora procedemos a reducir los coeficientes en la parte superior de la diagonal principal.

• Paso 4: multiplicamos la segunda fila por \(\frac{40}{3}\) y la sumamos a la primera fila.

\[\left(\begin{array}{rr|r}\,1 & 0&-\frac{86}{13}\\0 & 1&-\frac{42}{65}\end{array}\right)\]

Esta matriz ya tiene los valores de \(x\) e \(y\) despejados; entonces, la solución del sistema sería:

\[x=-\frac{86}{13}\]

\[y=-\frac{42}{65}\]

Tomemos el segundo ejemplo del método de Gauss y reduzcamos hasta obtener las soluciones de las ecuaciones usando el de Gauss-Jordan.

Si recuerdas, el sistema:

\[\left\{\begin{array}\,-3x+2y+z=2\\6x-8y-2z=1\\x-y-2z=3\end{array}\right.\]

nos dio la matriz:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &20 &-39\end{array}\right) \]

En este caso, podemos hacer \(F_3\rightarrow \frac{F_3}{20}\), lo cual nos da:

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & -4 & 0 &5\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]

Podemos, también, hacer \(F_2\rightarrow -\frac{F_2}{4}\):

\[\left(\begin{array}{rrr|r}-3 & 2 & 1 &2\\ 0 & 1 & 0 &\frac{-5}{4}\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]

Con esto obtenemos los valores de \(z\) y \(y\). Ahora procedemos a operar sobre \(F_1\):

1. Multiplicamos \(F_3\) por menos uno y se lo sumamos a la primera fila.
2. Multiplicamos \(F_2\) por menos dos y se los sumamos a la primera fila también.
3. Por ultimo, dividimos la primera fila entre tres.

Estos tres pasos nos dan: \[\left(\begin{array}{rrr|r} 1& 0 & 0 &\frac{-43}{20}\\ 0 & 1 & 0 &\frac{-5}{4}\\ 0& 0 &1 &\frac{-39}{20}\end{array}\right) \]