Factorización de polinomios

Encuentra las raíces de la función $x^2-4$.

Solución:

Debido a que las raíces son los puntos donde $f(x)=0$, debemos encontrar valores para los cuales $x^2-4=0$. Despejando $x^2$, obtenemos:

$$x^2=4$$

Aquí hay dos posibilidades:

$$x=2$$

$$x=-2$$

Si sustituimos ambas:

$$(2{)}^2-4=4-4=0$$

$$(-2{)}^2-4=4-4=0$$

Esto confirma que son raíces de la función.

Encuentra las raíces de la expresión $x^2+8x+15$ y exprésala como $(x\pm a^{\prime })(x\pm b^{\prime })$.

Solución:

Primero, usaremos la fórmula cuadrática:

$$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

Aquí $a=1$ $b=8$ y $c=15$.

Si usamos estos valores tenemos:

$$x={\displaystyle \frac{-8+\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}}$$

$$x={\displaystyle \frac{-8-\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}}$$

Esto nos da:

$$x=-3$$

$$x=-5$$

Por lo cual:

$$x^2+8x+15=(x+3)(x+5)$$

Si se tiene el polinomio $P(x)=2x^2+4x+8$, ¿qué factor puede extraerse de este polinomio?

Solución:

Si observamos, el polinomio tiene solo coeficientes pares, así que tomamos el coeficiente par más grande que es dos. Al dividir $P(x)$ entre dos, obtenemos:

$${\displaystyle \frac{P(x)}{2}}={\displaystyle \frac{2x^2+4x+8}{2}}=x^2+2x+4$$

Así que $2$ es un factor común de todos los términos del polinomio.

Obtén una de las raíces del polinomio $9x^7+8x-3x^3$.

Solución:

Realmente, no podemos usar la fórmula cuadrática, y este es un polinomio con una potencia muy elevada. Pero, sí podemos observar que todos sus términos tienen, al menos, una $x$. De este modo, podemos deducir que:

1. $x$ es un factor común de la expresión.
2. $x$ es una raíz del polinomio.

Así que podemos expresar $9x^7+8x-3x^3$ como:

$$x(9x^6+8-3x^2)$$

Aquí $x$ es el factor común.

Se tiene el polinomio de segundo grado $P(x)=x^2-x-2$ y se nos dice que la expresión $x+1$ es un factor del polinomio. Comprueba esto usando el teorema del factor.

Solución:

Para comprobar que esta expresión es un factor del polinomio, introducimos el valor de la raíz $x=-1$ en el polinomio:

$$(-1{)}^2-(-1)-2$$

Y esto es igual a:

$$1+1-2=0$$

Por lo tanto, el término $x+1$ es un factor del polinomio; además, significa que $x=-1$ es una raíz de la expresión original.

Se tiene la expresión $x^3+3x-20$, ¿es la expresión lineal $x+1$ una raíz de este polinomio?

Solución:

Si esta expresión es una raíz, también debe ser un factor común; y un factor común debe cumplir con que al dividir el polinomio original $x^3+3x-20$ entre $x+1$, nos da un resto de cero en la división.

Así que podemos comprobar si esta expresión es una raíz y un factor, simplemente, al sustituir el valor de $x=-1$ en el polinomio y comprobar que su resultado sea cero:

$$(-1{)}^3+3(-1)-20$$

Esto nos da:

$$-1-3-20=-24$$

Debido a que el residuo no es cero, este no es una raíz y, por lo tanto, el término $x+1$ no es un factor tampoco.

Encuentra el factor más simple del polinomio $P(x)=5x^{1}0+10x^8+20x^6$.

Solución:

Aquí es importante observar que se pueden factorizar tanto una constante como $x$.

Podemos extraer el término $x^6$, ya que por leyes de las potencias $x^m{x}^n=x^{m+n}$. Así que, por ejemplo $x^{1}0=x^6{x}^4$ que es la potencia más alta que podemos extraer.

Por otra parte, todos los coeficientes son múltiplos de $5$:

$$5=5·1$$

$$5=5·2=10$$

$$5=5·4=20$$

Así que podemos extraer el término $5x^6$, para obtener:

$$(x^4+2x^2+4)(5x^6)$$

El término $(5x^6)$ es un factor y, además, $x=0$ es una raíz del polinomio de grado diez que tenemos.

El polinomio $P(x)=x^2+x-6$ está formado por el factor $x+3$ y otro factor desconocido $x-a$. Para encontrar el segundo término de su factorización, divide la expresión $P(x)$ entre $x+3$.

Solución:

Sabemos que el término debe tener una $x$ inicial, así que:

$$(x+3)\sqrt{x^2+x-6}$$

Debemos encontrar un término que, al multiplicar por $x$, nos de $x^2$; este es, de hecho, $x$:

$$(x+3)\sqrt{x^2+x-6}|x$$

Si multiplicamos esta $x$ por los términos de la expresión $x+3$, tenemos:

$$x^2+3x$$

Y si restamos esto de los dos primeros términos dentro de la división, nos da:

$$x^2+x-x^2-3x=0-2x$$

El número $-6$ simplemente se deja igual, y tenemos la expresión:

$$-2x-6$$

Ahora, debemos encontrar un número que al multiplicar por la expresión $x+3$ elimine $-2x-6$; este es de $-2$:

$$(x+3)\sqrt{x^2+x-6}|x-2$$

Al multiplicar $x-2$ por $x-3$ y restarlo del polinomio que tenemos, nos da:

$$-2x-6+2x+6=0$$

Esto significa que el binomio $x-2$ es el segundo factor de $x^2+x-6$. Así que llegamos a:

$$x^2+x-6=(x+3)(x-2)$$

Encuentra los dos términos que componen el polinomio $3x^2+2x-3$ usando la fórmula cuadrática.

Solución:

Primero debemos identificar los coeficientes de la función, que son:

$a=3$, $b=2$ y $c=-3$.

Ahora, aplicamos la fórmula cuadrática, que es:

$$x={\displaystyle \frac{-b\pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}}$$

Sustituyendo, esto nos da:

$$x_1={\displaystyle \frac{-2+\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}}$$

$$x_2={\displaystyle \frac{-2-\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}}$$

Si hacemos las operaciones, se obtiene:

$$x_1=-{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}}$$

$$x_2=-{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}}$$

Así que los dos factores que componente el polinomio original son:

$$(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}})$$

$$(x+{\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{\sqrt{10}}{3}})$$