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\[x^2+10\]
\[4x^2-10x-3\]
A pesar que ambos son polinomios y ambas expresiones son funciones cuadráticas, estas no tienen el mismo rango.
Por ejemplo, la primera función toma cualquier valor y solo nos da números positivos. Tomemos \(x=-3\) como ejemplo:
\[(-3)^2+10=16\]
En cambio, la segunda función puede darnos un número negativo, incluso si \(x\) es positiva; Por ejemplo:
\[4·1^2-10·1-3=-9\]
Esto se debe a que hay puntos donde la función es igual a cero (o \(x=0\)), otros puntos donde la función es negativa y otros puntos donde es positiva. En cálculo y análisis, estos puntos en los que \(x=0\) se conocen como raíces.
- En este artículo veremos en primer lugar las raíces de un polinomio.
- Luego veremos qué son los factores de un polinomio cuadrático.
- A continuación aprenderemos las formas de factorizar un polinomio, así como la factorización de polinomios simples.
- Después estudiaremos el teorema del factor y el teorema del resto.
- Luego explicaremos la factorización de polinomios por división.
- Por último, realizaremos algunos ejercicios de factorización de polinomios.
Raíces de un polinomio
Las raíces de un polinomio son los puntos de la función donde esta es igual a cero.
En este sentido, el valor de \(x\) insertado dentro de \(f(x)\) debe darnos como resultado cero.
Veamos un ejemplo sencillo:
Encuentra las raíces de la función \(x^2-4\).
Solución:
Debido a que las raíces son los puntos donde \(f(x)=0\), debemos encontrar valores para los cuales \(x^2-4=0\). Despejando \(x^2\), obtenemos:
\[x^2=4\]
Aquí hay dos posibilidades:
\[x=2\]
\[x=-2\]
Si sustituimos ambas:
\[(2)^2-4=4-4=0\]
\[(-2)^2-4=4-4=0\]
Esto confirma que son raíces de la función.
La función que vimos como ejemplo es, de hecho, un polinomio conformado por solo dos términos. Este polinomio se denomina binomio.
Factores de un polinomio cuadrático
Las raíces de un polinomio se pueden encontrar por diversos métodos. Si el polinomio es de segundo grado, estas pueden encontrarse fácilmente usando la fórmula cuadrática:
\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
- Donde los términos \(a\), \(b\) y \(c\) son los coeficientes del trinomio:\[ax^2+bx+c=0\]
La fórmula cuadrática que vimos en párrafos anteriores es una forma de factorizar un polinomio. Una vez que se encuentran las raíces de una cuadrática como \(x_1=a’\) y \(x_2=b’\), el polinomio puede factorizarse como:
\[ax^2+bx+c=(x-a’)(x-b’)\]
Encuentra las raíces de la expresión \(x^2+8x+15\) y exprésala como \((x±a’)(x±b’)\).
Solución:
Primero, usaremos la fórmula cuadrática:
\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Aquí \(a=1\) \(b=8\) y \(c=15\).
Si usamos estos valores tenemos:
\[x=\dfrac{-8+\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}\]
\[x=\dfrac{-8-\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}\]
Esto nos da:
\[x=-3\]
\[x=-5\]
Por lo cual:
\[x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\]
Esto es muy fácil de hacer, si se tiene una expresión sencilla y sin términos más grandes que una potencia cuadrática.
Formas de factorizar un polinomio
Sin embargo, puede haber polinomios más complejos y para esto requerimos otros métodos; uno muy poderoso es encontrar factores de un polinomio.
Un factor es un término \(Q(x)\) que puede ser sustraído del polinomio. Este factor debe cumplir con que al dividir el polinomio \(P(x)\) entre \(Q(x)\) el residuo sea cero.
Veamos el ejemplo de un factor constante:
Si se tiene el polinomio \(P(x)=2x^2+4x+8\), ¿qué factor puede extraerse de este polinomio?
Solución:
Si observamos, el polinomio tiene solo coeficientes pares, así que tomamos el coeficiente par más grande que es dos. Al dividir \(P(x)\) entre dos, obtenemos:
\[\dfrac{P(x)}{2}=\dfrac{2x^2+4x+8}{2}=x^2+2x+4\]
Así que \(2\) es un factor común de todos los términos del polinomio.
Factorización de polinomios simples
En este artículo lo que nos interesa son factores comunes que sean raíces de polinomios o que nos ayuden a encontrarlas. La forma más simple es un polinomio en el que todos los términos que lo componen tienen una \(x\); por ejemplo, \(3x^3+2x-7x^2\).
En estos casos, suceden dos cosas:
El término de \(x\) es un factor común del polinomio.
El término de \(x\) es, de hecho, una raíz de la función.
Practiquemos con un ejemplo:
Obtén una de las raíces del polinomio \(9x^7+8x-3x^3\).
Solución:
Realmente, no podemos usar la fórmula cuadrática, y este es un polinomio con una potencia muy elevada. Pero, sí podemos observar que todos sus términos tienen, al menos, una \(x\). De este modo, podemos deducir que:
- \(x\) es un factor común de la expresión.
- \(x\) es una raíz del polinomio.
Así que podemos expresar \(9x^7+8x-3x^3\) como:
\[x(9x^6+8-3x^2)\]
Aquí \(x\) es el factor común.
Por supuesto, esto no funciona para polinomios en los que no se tiene una \(x\) en cada término y tampoco para el polinomio resultante del ejemplo anterior \(9x^6+8-3x^2\). Para esto, requerimos otro tipo de factorización: factorizar un término del tipo \(x-b\). Para poder hacerlo, usaremos el teorema del factor y el teorema del resto.
Teorema del factor
El teorema del factor (en matemáticas) nos dice que si hay una expresión del tipo \(f(x)=(ax+b)\) que sea factor de un polinomio, al sustituir los valores de \(a\) y \(b\) en el polinomio \(P(x)\) su resultado será cero.
Se tiene el polinomio de segundo grado \(P(x)=x^2-x-2\) y se nos dice que la expresión \(x+1\) es un factor del polinomio. Comprueba esto usando el teorema del factor.
Solución:
Para comprobar que esta expresión es un factor del polinomio, introducimos el valor de la raíz \(x=-1\) en el polinomio:
\[(-1)^2-(-1)-2\]
Y esto es igual a:
\[1+1-2=0\]
Por lo tanto, el término \(x+1\) es un factor del polinomio; además, significa que \(x=-1\) es una raíz de la expresión original.
Sin embargo, podría suceder que el término no sea un factor, así que es siempre importante verificar.
Teorema del resto
Ahora, veamos un caso específico del teorema del factor: el teorema del residuo o del resto.
Se trata caso particular del teorema del factor, que nos dice que al dividir cualquier polinomio \(P(x)\) entre una expresión lineal del tipo \((x+a)\) o \((x-a)\), su residuo será cero, si y solo si al sustituir el valor de \(a\) en el polinomio \(P(x)\) su valor es cero.
Veamos un ejemplo al respecto:
Se tiene la expresión \(x^3+3x-20\), ¿es la expresión lineal \(x+1\) una raíz de este polinomio?
Solución:
Si esta expresión es una raíz, también debe ser un factor común; y un factor común debe cumplir con que al dividir el polinomio original \(x^3+3x-20\) entre \(x+1\), nos da un resto de cero en la división.
Así que podemos comprobar si esta expresión es una raíz y un factor, simplemente, al sustituir el valor de \(x=-1\) en el polinomio y comprobar que su resultado sea cero:
\[(-1)^3+3(-1)-20\]
Esto nos da:
\[-1-3-20=-24\]
Debido a que el residuo no es cero, este no es una raíz y, por lo tanto, el término \(x+1\) no es un factor tampoco.
Factorización de polinomios por división
Habrá veces que debamos hacer operaciones algo largas, queramos o no, para poder factorizar polinomios. Para esto, una opción que tenemos es hacer divisiones; de este modo, los factores resultantes de la división son las raíces de la función.
En esos casos, se debe de conocer una raíz de antemano. Entonces, se divide el polinomio \(P(x)\) entre la raíz \(x=a\), expresada como \(x-a\); esto es:
\[\dfrac{P(x)}{x-a}\]
Si la división es exacta y el residuo es cero, la expresión resultante de esta división, que es \(x+b\), es otro factor del polinomio original.
Factorización de polinomios: ejercicios
Hagamos algunos ejercicios para que recuerdes los teoremas del factor, del residuo y cómo factorizar polinomios.
Encuentra el factor más simple del polinomio \(P(x)=5x^10+10x^8+20x^6\).
Solución:
Aquí es importante observar que se pueden factorizar tanto una constante como \(x\).
Podemos extraer el término \(x^6\), ya que por leyes de las potencias \(x^mx^n=x^{m+n}\). Así que, por ejemplo \(x^10=x^6x^4\) que es la potencia más alta que podemos extraer.
Por otra parte, todos los coeficientes son múltiplos de \(5\):
\[5=5·1\]
\[5=5·2=10\]
\[5=5·4=20\]
Así que podemos extraer el término \(5x^6\), para obtener:
\[(x^4+2x^2+4)(5x^6)\]
El término \((5x^6)\) es un factor y, además, \(x=0\) es una raíz del polinomio de grado diez que tenemos.
El polinomio \(P(x)=x^2+x-6\) está formado por el factor \(x+3\) y otro factor desconocido \(x-a\). Para encontrar el segundo término de su factorización, divide la expresión \(P(x)\) entre \(x+3\).
Solución:
Sabemos que el término debe tener una \(x\) inicial, así que:
\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}\]
Debemos encontrar un término que, al multiplicar por \(x\), nos de \(x^2\); este es, de hecho, \(x\):
\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}| x\]
Si multiplicamos esta \(x\) por los términos de la expresión \(x+3\), tenemos:
\[x^2+3x\]
Y si restamos esto de los dos primeros términos dentro de la división, nos da:
\[x^2+x-x^2-3x=0-2x\]
El número \(-6\) simplemente se deja igual, y tenemos la expresión:
\[-2x-6\]
Ahora, debemos encontrar un número que al multiplicar por la expresión \(x+3\) elimine \(-2x-6\); este es de \(-2\):
\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}| x-2\]
Al multiplicar \(x-2\) por \(x-3\) y restarlo del polinomio que tenemos, nos da:
\[-2x-6+2x+6=0\]
Esto significa que el binomio \(x-2\) es el segundo factor de \(x^2+x-6\). Así que llegamos a:
\[x^2+x-6=(x+3)(x-2)\]
Encuentra los dos términos que componen el polinomio \(3x^2+2x-3\) usando la fórmula cuadrática.
Solución:
Primero debemos identificar los coeficientes de la función, que son:
\(a=3\), \(b=2\) y \(c=-3\).
Ahora, aplicamos la fórmula cuadrática, que es:
\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]
Sustituyendo, esto nos da:
\[x_1=\dfrac{-2+\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}\]
\[x_2=\dfrac{-2-\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}\]
Si hacemos las operaciones, se obtiene:
\[x_1=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}\]
\[x_2=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3}\]
Así que los dos factores que componente el polinomio original son:
\[(x+\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3})\]
\[(x+\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3})\]
Factorización de polinomios - Puntos clave
- Las raíces de un polinomio son los puntos de las función donde está es igual a cero.
- El teorema del factor en matemáticas nos dice que si hay una expresión del tipo \(f(x)=(ax+b)\) que sea factor de un polinomio, entonces al sustituir los valores de \(a\) y \(b\) en el polinomio \(P(x)\), su resultado será cero.
- El teorema del resto nos dice que al dividir cualquier polinomio \(P(x)\) entre una expresión lineal del tipo \((x+a)\) o \(x-a\), su residuo será cero, si y solo si al sustituir el valor de \(a\) en el polinomio \(P(x)\) su valor es cero.
- Las raíces de un polinomio se pueden encontrar al factorizar el polinomio original.
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Preguntas frecuentes sobre Factorización de polinomios
¿Cómo se hace la factorización de polinomios?
Para factorizar un polinomio se debe encontrar un término común, un factor. En caso de que el polinomio sea de segundo orden, se puede encontrar incluso una factorización de la forma (x+a)(x+b), usando la fórmula cuadrática.
Para otra forma, se debe conocer una raíz de antemano y proceder a dividir el polinomio entre el término x-a, donde a es la raíz conocida. Esta división da como resultado otro factor del polinomio.
¿Cómo factorizar un polinomio de dos términos?
Un binomio, o polinomio de dos términos, se puede factorizar fácilmente si:
1. Ambos términos poseen una x; de este modo, se sustrae la x con la potencia más baja de los dos términos. Por ejemplo, el binomio x4+3x3 se puede factorizar como (x+3)x3
2. Si el binomio posee un término constante, entonces se pueden encontrar las raíces de la función, despejando x. Estas raíces (a, b) son los términos x-a y x-b de los factores que producen el binomio.
¿Qué dice el teorema del resto?
El teorema del resto es un caso particular del teorema del factor, que nos dice que al dividir cualquier polinomio P(x) entre una expresión lineal del tipo (x+a) o (x-a), su residuo será cero, si y solo si al sustituir el valor de a en el polinomio P(x), su valor es cero.
¿Qué nos dice el teorema del factor?
El teorema del factor en matemáticas nos dice que si hay una expresión del tipo f(x)=(ax+b) que sea factor de un polinomio, al sustituir los valores de a y b en el polinomio P(x), su resultado será cero.
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