Factorización de polinomios

Encuentra las raíces de la función \(x^2-4\).

Solución:

Debido a que las raíces son los puntos donde \(f(x)=0\), debemos encontrar valores para los cuales \(x^2-4=0\). Despejando \(x^2\), obtenemos:

\[x^2=4\]

Aquí hay dos posibilidades:

\[x=2\]

\[x=-2\]

Si sustituimos ambas:

\[(2)^2-4=4-4=0\]

\[(-2)^2-4=4-4=0\]

Esto confirma que son raíces de la función.

Encuentra las raíces de la expresión \(x^2+8x+15\) y exprésala como \((x±a’)(x±b’)\).

Solución:

Primero, usaremos la fórmula cuadrática:

\[x=\dfrac{-b±\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Aquí \(a=1\) \(b=8\) y \(c=15\).

Si usamos estos valores tenemos:

\[x=\dfrac{-8+\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}\]

\[x=\dfrac{-8-\sqrt{8^2-4(1)(15)}}{2(1)}\]

Esto nos da:

\[x=-3\]

\[x=-5\]

Por lo cual:

\[x^2+8x+15=(x+3)(x+5)\]

Si se tiene el polinomio \(P(x)=2x^2+4x+8\), ¿qué factor puede extraerse de este polinomio?

Solución:

Si observamos, el polinomio tiene solo coeficientes pares, así que tomamos el coeficiente par más grande que es dos. Al dividir \(P(x)\) entre dos, obtenemos:

\[\dfrac{P(x)}{2}=\dfrac{2x^2+4x+8}{2}=x^2+2x+4\]

Así que \(2\) es un factor común de todos los términos del polinomio.

Obtén una de las raíces del polinomio \(9x^7+8x-3x^3\).

Solución:

Realmente, no podemos usar la fórmula cuadrática, y este es un polinomio con una potencia muy elevada. Pero, sí podemos observar que todos sus términos tienen, al menos, una \(x\). De este modo, podemos deducir que:

1. \(x\) es un factor común de la expresión.
2. \(x\) es una raíz del polinomio.

Así que podemos expresar \(9x^7+8x-3x^3\) como:

\[x(9x^6+8-3x^2)\]

Aquí \(x\) es el factor común.

Se tiene el polinomio de segundo grado \(P(x)=x^2-x-2\) y se nos dice que la expresión \(x+1\) es un factor del polinomio. Comprueba esto usando el teorema del factor.

Solución:

Para comprobar que esta expresión es un factor del polinomio, introducimos el valor de la raíz \(x=-1\) en el polinomio:

\[(-1)^2-(-1)-2\]

Y esto es igual a:

\[1+1-2=0\]

Por lo tanto, el término \(x+1\) es un factor del polinomio; además, significa que \(x=-1\) es una raíz de la expresión original.

Se tiene la expresión \(x^3+3x-20\), ¿es la expresión lineal \(x+1\) una raíz de este polinomio?

Solución:

Si esta expresión es una raíz, también debe ser un factor común; y un factor común debe cumplir con que al dividir el polinomio original \(x^3+3x-20\) entre \(x+1\), nos da un resto de cero en la división.

Así que podemos comprobar si esta expresión es una raíz y un factor, simplemente, al sustituir el valor de \(x=-1\) en el polinomio y comprobar que su resultado sea cero:

\[(-1)^3+3(-1)-20\]

Esto nos da:

\[-1-3-20=-24\]

Debido a que el residuo no es cero, este no es una raíz y, por lo tanto, el término \(x+1\) no es un factor tampoco.

Encuentra el factor más simple del polinomio \(P(x)=5x^10+10x^8+20x^6\).

Solución:

Aquí es importante observar que se pueden factorizar tanto una constante como \(x\).

Podemos extraer el término \(x^6\), ya que por leyes de las potencias \(x^mx^n=x^{m+n}\). Así que, por ejemplo \(x^10=x^6x^4\) que es la potencia más alta que podemos extraer.

Por otra parte, todos los coeficientes son múltiplos de \(5\):

\[5=5·1\]

\[5=5·2=10\]

\[5=5·4=20\]

Así que podemos extraer el término \(5x^6\), para obtener:

\[(x^4+2x^2+4)(5x^6)\]

El término \((5x^6)\) es un factor y, además, \(x=0\) es una raíz del polinomio de grado diez que tenemos.

El polinomio \(P(x)=x^2+x-6\) está formado por el factor \(x+3\) y otro factor desconocido \(x-a\). Para encontrar el segundo término de su factorización, divide la expresión \(P(x)\) entre \(x+3\).

Solución:

Sabemos que el término debe tener una \(x\) inicial, así que:

\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}\]

Debemos encontrar un término que, al multiplicar por \(x\), nos de \(x^2\); este es, de hecho, \(x\):

\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}| x\]

Si multiplicamos esta \(x\) por los términos de la expresión \(x+3\), tenemos:

\[x^2+3x\]

Y si restamos esto de los dos primeros términos dentro de la división, nos da:

\[x^2+x-x^2-3x=0-2x\]

El número \(-6\) simplemente se deja igual, y tenemos la expresión:

\[-2x-6\]

Ahora, debemos encontrar un número que al multiplicar por la expresión \(x+3\) elimine \(-2x-6\); este es de \(-2\):

\[(x+3) \sqrt{x^2+x-6}| x-2\]

Al multiplicar \(x-2\) por \(x-3\) y restarlo del polinomio que tenemos, nos da:

\[-2x-6+2x+6=0\]

Esto significa que el binomio \(x-2\) es el segundo factor de \(x^2+x-6\). Así que llegamos a:

\[x^2+x-6=(x+3)(x-2)\]

Encuentra los dos términos que componen el polinomio \(3x^2+2x-3\) usando la fórmula cuadrática.

Solución:

Primero debemos identificar los coeficientes de la función, que son:

\(a=3\), \(b=2\) y \(c=-3\).

Ahora, aplicamos la fórmula cuadrática, que es:

\[x=\dfrac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Sustituyendo, esto nos da:

\[x_1=\dfrac{-2+\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}\]

\[x_2=\dfrac{-2-\sqrt{2^2-4·3·(-3)}}{2·3}\]

Si hacemos las operaciones, se obtiene:

\[x_1=-\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3}\]

\[x_2=-\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3}\]

Así que los dos factores que componente el polinomio original son:

\[(x+\dfrac{1}{3}-\dfrac{\sqrt{10}}{3})\]

\[(x+\dfrac{1}{3}+\dfrac{\sqrt{10}}{3})\]