Fracciones algebraicas

Fracciones equivalentes

Por tanto, podemos decir que: al simplificar una fracción algebraica, llegamos a una fracción equivalente.

Mínimo común múltiplo de un polinomio

El mínimo común múltiplo (m.c.m.) de los polinomios se define de la misma manera que para los números reales. Por tanto, lo que vamos a buscar es el polinomio que sea múltiplo, a la vez, de otros polinomios y que este nuevo polinomio sea el múltiplo mínimo.

Por ejemplo, con números naturales: si queremos hacer el m.c.m. de 10 y 12, debemos factorizar estos números:

\[10=2·5\]

\[12=2^2·3\]

En esos casos, el mínimo común múltiplo es el número que es múltiplo, a la vez, de 10 y de 12. Entonces, cogemos los factores que componen cada uno de esos números. Entre los factores que se repiten en ambos, elegimos el de mayor multiplicidad (mayor exponente). Por tanto, el m.c.m. de 10 y 12 es:

\[5·3·2^2=60\]

Como ves, el \(2\) es un factor de ambos números, y hemos cogido el de mayor multiplicidad; en este caso, \(2^2\).

Este concepto es el mismo que vamos a utilizar en polinomios. Para calcular el m.c.m. entre polinomios debes seguir los siguientes pasos:

• Factorizar los polinomios.

• Obtener el m.c.m., multiplicando los factores comunes y no comunes a todos los polinomios y eligiendo siempre los factores de mayor multiplicidad (mayor exponente).

Veamos un ejemplo, rápidamente:

Máximo común divisor polinomios

De manera similar al mínimo común múltiplo, podemos hallar el máximo común divisor (m.c.d.) de un polinomio. El proceso es similar, en cuanto a que se deben factorizar los polinomios de los cuales queremos hallar el m.c.d.

Por tanto, para calcular el m.c.d. de polinomios debes seguir los siguientes pasos:

• Factorizar los polinomios.

• Obtener el m.c.d., multiplicando solo los factores comunes a todos los polinomios y con la menor multiplicidad (menor exponente).

Veamos un ejemplo:

Simplificación de fracciones algebraicas

Una vez que ya sabes hacer el máximo común divisor y el mínimo común múltiplo, es muy sencillo simplificar las fracciones algebraicas: simplemente, factoriza ambos polinomios en el numerador y denominador y elimina los factores comunes. Al hacer esto llegamos a expresiones más sencillas, pero que son equivalentes. Sin embargo, recuerda que al eliminar factores en el denominador, estás eliminando puntos de discontinuidad de las funciones.

Operaciones con fracciones algebraicas

Algo muy común es que debas hacer operaciones con fracciones, pero ¿cómo se hace esto, si tienes fracciones algebraicas? Después de todo, una fracción algebraica se puede componer de más de un término.

Por poner dos ejemplos: la suma de fracciones, o la resta.

Para poder hacer estas operaciones, se necesitan seguir ciertas reglas, bastante similares a las operaciones con fracciones numéricas, pero con un paso extra que es “multiplicar y desarrollar los términos”. Veamos cada operación por separado.

Suma y resta de fracciones algebraicas

Para realizar la suma y resta de fracciones algebraicas, hay que reducir las fracciones al denominador común. Para esto utilizamos el m.c.m. de los denominadores de las fracciones algebraicas implicadas.

Veamos un ejemplo muy sencillo.

Como puedes ver, los pasos extra son:

• Multiplicar los términos para expandir las expresiones.
• Simplificar o reducir, sumando los términos restantes.

Producto de fracciones algebraicas

En el caso de la multiplicación de las fracciones, lo que se tiene es un producto directo entre los numeradores y denominadores:

\[\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)} \cdot \dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}\]

Por esto, lo mejor es factorizar numeradores y denominadores antes de hacer la operación entre fracciones. Así reducimos la complejidad de las posteriores operaciones.

Hagamos un ejemplo como el del ejercicio anterior.

División de fracciones algebraicas

La división de fracciones algebraicas también sigue las mismas líneas que las fracciones numéricas, estas son:

\[\dfrac{\dfrac{f_1(x)}{f_2(x)}}{\dfrac{g_1(x)}{g_2(x)}}=\dfrac{f_1(x)g_2(x)}{f_2(x)g_1(x)}\]

Hagamos un ejemplo con el ejercicio anterior.

Descomposición de fracciones algebraicas en fracciones parciales

Toda fracción con mínimo dos factores en el denominador se puede expresar como varias fracciones. Esto implica que expresiones fraccionarias con múltiples términos algebraicos pueden expresarse como fracciones parciales.

Denotaremos a cada parte de la fracción como dos funciones: \(f(x)\) y \(g(x)\) para el numerador y el denominador, respectivamente; aunque puedes darles el nombre que desees:

\[F(x)=\dfrac{f(x)}{g(x)}\]

Por ejemplo:

Podemos ver que cada fracción contiene uno de los factores lineales de la fracción mayor original. Básicamente, lo que estamos haciendo es descomponer una fracción en dos o más fracciones. Esto hace que la fracción sea mucho más fácil de trabajar; por eso te puede interesar para, por ejemplo, integrar la fracción algebraica, puesto que la hace mucho más sencilla. El método de fracciones parciales es el que permite encontrar los valores de \(A\), \(B\)... \(N\).

Casos fracciones parciales

Hay casos de fracciones parciales que exploramos aquí:

• Dos factores lineales que no se repiten:

  • \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)(x+b)}=\dfrac{A}{(x+a)}+\dfrac{B}{(x+b)}\]

• Dos factores lineales que se repiten (factor cuadrático irreducible):

  • \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)(x+a)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)^2}=\dfrac{A}{(x+a)}+\dfrac{B}{(x+a)^2}\]

• Distintos factores cuadráticos:

  • \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x+a)^2(x+b)^2}=\dfrac{Ax+B}{(x+a)^2}+\dfrac{Cx+D}{(x+b)^2}\]

• Mismos factores cuadráticos:

  • \[\dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{f(x)}{(x^2+a)^2}=\dfrac{Ax+B}{x^2+a}+\dfrac{Cx+D}{(x^2+a)^2}\]

En las fórmulas anteriores, los coeficientes \(a, b, c, d\) son arbitrarios y dependen de \(g(x)\).

Antes de empezar con fracciones parciales, veamos algunas herramientas útiles para esto.

Encontrar fracciones parciales

Como viste en el apartado anterior, hay 4 casos importantes cuando se tienen fracciones parciales.

Hagamos un caso, paso por paso, para que comprendas cómo funciona:

Simplifica la siguiente expresión usando fracciones parciales y factorización:

\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{x^2-x-2}\]

En primer lugar, puedes factorizar el denominador, usando la fórmula cuadrática:

\[x_1=\dfrac{-b+\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

\[x_2=\dfrac{-b-\sqrt{b^2-4ac}}{2a}\]

Con \(a=1\), \(b=-1\) y \(c=-2\), encontramos la raíces:

\[x=-1\]

\[x=2\]

Esto significa que podemos factorizar la parte inferior como:

\[{x^2-x-2}=(x+1)(x-2)\]

Al hacer esto, la funcion original es, ahora:

\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{(x+1)(x-2)}\]

Sabemos que esto es igual a:

\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{A}{(x+1)}+\dfrac{B}{x-2}\]

Ahora, debemos multiplicar cada término de la derecha por el denominador de la izquierda, que es \((x+1)(x-2)\).

Esto nos da:

\[\dfrac{A(x+1)(x-2)}{(x+1)}+\dfrac{B(x+1)(x+2)}{x-2}\]

Eliminando los términos comunes:

\[\dfrac{A \cancel{(x+1)}(x-2)}{\cancel{(x+1)}}+\dfrac{B(x+1)\cancel{(x+2)}}{\cancel{x-2}}\]

Lo siguiente es multiplicar los términos:

\[Ax-2A+Bx+B\]

Ahora, reagrupamos solo los términos con \(x\) y solo los que tienen una constante:

\[x(A+B)+(-2A+B)\]

Igualamos estos a los términos originales en el numerador o \(f(x)\).

\[-5x=x(A+B)\]

\[2=(-2A+B)\]

Lo cual nos da el sistema de ecuaciones:

\[A+B=-5\]

\[-2A+B=2\]

Si resolvemos esto, obtenemos:

\[A=-\dfrac{7}{3}\]

\[B=-\dfrac{8}{3}\]

Con lo cual se tiene que:

\[F(x)=\dfrac{-5x+2}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{-\frac{7}{3}}{x+1}+\dfrac{-\frac{8}{3}}{x-2}\]