Contenidos de aprendizaje
Funciones
Descubra
Hay muchos tipos de matrices y, seguramente, ya has leído sobre algunos de ellos en nuestro artículo correspondiente. Un tipo importante es conocido como la matriz inversa, pues tiene propiedades que se enlazan con la solución del sistema que representa esta matriz o con la matriz identidad.
Millones de tarjetas didácticas para ayudarte a sobresalir en tus estudios.
Regístrate gratisEs una propiedad de la matriz inversa:
Es una propiedad de la matriz inversa:
¿Cuál de las siguientes expresiones es resultado de una propiedad de la matriz inversa?:
¿Cuál de las siguientes fórmulas sirve para calcular la matriz inversa de una matriz de \(2\times 2\) usando el determinante y la matriz adjunta, si \(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)?
¿Cuál es la fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz mediante su matriz adjunta?
¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz?
Si una matriz no tiene inversa y el sistema que representa tiene todos sus resultados iguales a cero:
¿Con qué símbolo se denota la matriz inversa?
Un menor es:
Es una propiedad de la matriz inversa:
Es una propiedad de la matriz inversa:
¿Cuál de las siguientes expresiones es resultado de una propiedad de la matriz inversa?:
¿Cuál de las siguientes fórmulas sirve para calcular la matriz inversa de una matriz de \(2\times 2\) usando el determinante y la matriz adjunta, si \(A=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d\end{pmatrix}\)?
¿Cuál es la fórmula para calcular la matriz inversa de una matriz mediante su matriz adjunta?
¿Cómo se puede calcular la inversa de una matriz?
Si una matriz no tiene inversa y el sistema que representa tiene todos sus resultados iguales a cero:
¿Con qué símbolo se denota la matriz inversa?
Un menor es:
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?
Review generated flashcards
Comienza a aprender o crea tus propias tarjetas de aprendizaje con IA
Equipo de profesores de Matriz inversa
¡Gracias por tu interés en el aprendizaje por audio!
Esta función aún no está lista, pero nos encantaría saber por qué prefieres el aprendizaje por audio.
¿Por qué prefieres el aprendizaje por audio? (opcional)
Enviar comentariosSu definición más formal es:
La matriz inversa de una matriz \(A\) es la matriz que, al multiplicarse por la matriz original da, como resultado la matriz identidad. Encontrarás la matriz inversa con el símbolo \(A^{-1}\).
La matriz inversa surge de la necesidad de despejar ecuaciones de matrices como:\[AX=C\]
Si pudiéramos encontrar una matriz \(B\), que al multiplicarla por \(A\) diese la identidad, se despejaría la matriz incógnita \(X\):\[AX=C\Rightarrow BAX=BC\Rightarrow IX=BC\Rightarrow X=BC\]
Por tanto, nos gustaría tener una matriz que, al multiplicarla por otra, nos diese la matriz identidad. Para esto, la matriz buscada tiene que ser cuadrada.
Se dice que una matriz \(A\) es regular o invertible si existe otra matriz \(B\), de modo que se cumple:\[AB=BA=I\]
Esta matriz \(B\) sería la matriz inversa de \(A\), y se escribe como \(A^{-1}\).
El que la matriz \(A\) tenga que ser cuadrada se debe a que, como mencionamos anteriormente, el producto de la matriz original por la inversa tiene que dar la matriz identidad; pero, lo contrario también se debe cumplir: el producto de la matriz inversa por la original también debe dar la identidad.
Debido a esto las tres matrices deben tener la misma dimensión \(n\times n\). Esta operación es:\[A_{n\times n}A^{-1}_{n\times n}=A^{-1}_{n\times n}A_{n\times n}=I_{n\times n}\]
Sin embargo, no todas las matrices cuadradas pueden invertirse. Que una matriz sea cuadrada no es suficiente para que esta tenga una matriz inversa.
La matriz del siguiente ejemplo tiene determinante nulo. Es esta propiedad la que determina si una matriz tiene inversa o no. Por tanto, definimos:
Una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es invertible si, y solo si, \(Rg(A)=n\).
Halla la matriz inversa de \(A=\begin{pmatrix} 1&2\\2&4\end{pmatrix}\).
Solución
Si la matriz \(A\) tiene inversa \(A^{-1}\), se debe cumplir que:\[AA^{-1}=I\]
Si definimos la inversa como:\[A^{-1}=\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]
Entonces:\[AA^{-1}=\begin{pmatrix} 1&2\\2&4\end{pmatrix}\begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix}\]
Así, obtenemos el siguiente sistema de ecuaciones:
\[\left\{\begin{array}\, a+2c=1\\b+2d=0\\2a+4c=0\\2b+4d=1 \end{array}\right.\]
Si simplificamos la tercera ecuación y la comparamos con la primera:
\[\left\{\begin{array}\, a+2c=1\\a+2c=0 \end{array}\right.\]
Como podemos ver, esto hace que el sistema sea incompatible y, por tanto, no existe solución. Esta matriz no tiene inversa.
La matriz inversa tiene propiedades interesantes, estas son tres las más importantes:
Si las matrices \(A\) y \(B\) son invertibles, entonces se cumple: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa: \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).
La inversa de la inversa de \(A\) es la propia \(A\): \((A^{-1})^{-1}=A\).
Estas propiedades resultarán muy útiles para despejar matrices y para aplicarlas en ecuaciones matriciales.
Hay un método general para obtener la matriz inversa de matrices, este es el método de Gauss-Jordan. Este método implica realizar operaciones en las filas de una matriz, hasta convertirla en la matriz identidad. El método es:
Construye una matriz en la que en el lado izquierdo tengas la matriz que quieres invertir y en el derecho la matriz identidad con la misma dimensión.
Mediante transformaciones elementales, convierte cada fila de la matriz original en la matriz identidad. Estas mismas operaciones las tienes que realizar en la matriz identidad de la derecha.
La matriz inversa será la matriz resultante de la derecha.
Vamos a ver un ejemplo donde apliquemos este método:
Mediante el método de Gauss-Jordan, halla la matriz inversa de:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]
Solución
Creamos la matriz ampliada, a la que añadimos la matriz identidad del mismo orden a la derecha:
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ -2 & 1 & 1 & 0 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{array}\right)\]
Ahora, hacemos operaciones para transformar las filas de la primera matriz en la matriz identidad.
Por ejemplo, empezamos obteniendo los ceros en la primera columna. Haciendo \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\) y, también, \(F_3\rightarrow 2F_1-F_3\) llegamos a (recuerda hacer las mismas operaciones en la matriz identidad de la derecha):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & 3 & 2 & 0 & -1 \end{array}\right)\]
A continuación, hacemos \(F_3\rightarrow F_2-F_3\):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 2 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 5 & 2 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\]
Ahora, hacemos \(F_1\rightarrow F_1-F_3\) y \(F_2\rightarrow 2F_2-5F_3\):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 2 & 0 & 4 & -3 & -5 \\ 0 & 0 & 2 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right)\]
Por último, hacemos \(F_2\rightarrow F_2/2\) y \(F_3\rightarrow F_3/2\):
\[\left( \begin{array}{rrr|rrr}\, 1 & 0 & 0 & 1 & -1 & -1 \\ 0 & 1 & 0 & 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1/2 & 1/2 \end{array}\right)\]
La matriz inversa de \(A\) es, entonces:
\[A^{-1}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]
Puedes comprobar que esta es correcta, haciendo:\[AA^{-1}=A^{-1}A=I\]
Para aplicar este método no necesitas saber hacer el determinante de la matriz, ni preocuparte por los adjuntos.
Este método se puede aplicar a matrices cuadradas de cualquier orden.
Ya conoces el método de Gauss-Jordan para hallar la matriz inversa. Sin embargo, si ya estás familiarizado con el cálculo del determinante de una matriz, puedes usar el siguiente método, que utiliza el determinante de la matriz y la matriz adjunta asociada.
Como ya hemos mencionado, para que una matriz tenga una matriz inversa, esta debe ser cuadrada; pero, además, tiene que cumplirse:
\[\det(A)\neq 0 \]
Si esto se cumple, podemos asegurar que:
\[\text{existe }A^{-1}\Leftrightarrow \det(A)\neq 0\]
Para el cálculo de la matriz adjunta debes conocer lo que es el adjunto de un elemento de una matriz. En este caso, el adjunto de un elemento es:\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
El menor complementario es el determinante que se obtiene al eliminar la fila \(i\) y la columna \(j\) de la matriz original.
Vamos a hacer un ejercicio de ejemplo.
Dada la matriz \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\), halla los menores \(M_{12}\), \(M_{31}\) y \(M_{22}\).
Solución
Según la definición del menor complementario, el menor \(M_{12}\) se calcula eliminando la primera fila y la segunda columna:\[M_{12}=\begin{vmatrix}2 & -1 \\ 0 & 2\end{vmatrix}\]
El menor \(M_{31}\) se calcula eliminando la tercera fila y la primera columna:
\[M_{31}=\begin{vmatrix}0&-1\\1&-1\end{vmatrix}\]
Por último, el menor \(M_{22}\) se obtiene eliminando la segunda fila y la segunda columna:
\[M_{22}=\begin{vmatrix}1&-1\\0&2\end{vmatrix}\]
Ya sabiendo cómo se calcula el menor complementario a un elemento, podemos calcular el adjunto de un elemento, según la fórmula anterior:
\[A_{ij}=(-1)^{i+j}M_{ij}\]
Una vez que tenemos el adjunto asociado a cada elemento, podemos definir la matriz adjunta, como una matriz en la que cada uno de sus elementos se sustituye por el adjunto de ese elemento; es decir:
\[\mathrm{Adj}(A)=(A_{ij})\]
Como siempre, la mejor manera de entender esto es viendo un ejemplo:
Calcula la matriz adjunta de \(A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & -1 \\ 2 & 1 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{pmatrix}\).
Solución
Según la definición, la matriz adjunta tiene el adjunto del elemento (que a su vez está formado por el menor complementario) el término \((-1)^{ij}\). Puede parecer lioso, pero realmente es:
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1&-1\\1&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2&-1\\0&2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}2&1\\0&1\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}0&-1\\1&2\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&-1\\0&2\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\0&1\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}0&1\\1&-1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&-1\\2&-1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&0 \\2&1\end{vmatrix} \end{pmatrix}\]
Ahora, solo queda hacer el determinante que hay en cada elemento.
Así, obtenemos que la matriz adjunta es:
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}3&-4&2\\-1&2&-1\\1&-1&1\end{pmatrix}\]
Una vez que tenemos la matriz adjunta, para encontrar el cálculo de la matriz inversa, no es más que hacer:
\[A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}(\mathrm{Adj}(A))^t\]
Es decir, para hallar la matriz inversa tenemos que calcular la matriz adjunta, trasponerla y dividirla entre el determinante de la matriz original.
Usando el método de la matriz adjunta y el determinante, halla la matriz inversa de la matriz del método de Gauss-Jordan:
\[A=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{pmatrix}\]
Solución
En el ejemplo del método de Gauss-Jordan, ya hemos hallado la matriz inversa. Pero ahora vamos a hacerlo por este otro método, para comprobar que es la misma matriz inversa:
En primer lugar debemos hallar la matriz adjunta:
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix} \begin{vmatrix} 1&1\\-1&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}-2&1\\2&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}-2&1\\2&-1\end{vmatrix}\\ -\begin{vmatrix}0&2\\-1&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&2\\2&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&0\\2&-1\end{vmatrix}\\ \begin{vmatrix}0&2\\1&1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}1&2\\-2&1\end{vmatrix} & \begin{vmatrix}1&0 \\-2&1\end{vmatrix} \end{pmatrix}\]
\[\mathrm{Adj}(A)=\begin{pmatrix}2&4&0\\-2&-3&1\\-2&-5&1\end{pmatrix}\]
Ahora que ya la tenemos, calculamos el determinante de \(A\): \[\det(A)=2\].
Por tanto, para hallar la matriz inversa debemos trasponer la matriz adjunta, lo que queda como:
\[(\mathrm{Adj}(A))^t=\begin{pmatrix}2&-2&-2\\4&-3&-5\\0&1&1\end{pmatrix}\]
Por último, la inversa será la división del determinante entre la traspuesta de la adjunta:
\[A^{-1}=\dfrac{1}{2}\begin{pmatrix}2&-2&-2\\4&-3&-5\\0&1&1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 1 & -1 & -1 \\ 2 & -3/2 & -5/2 \\ 0 & 1/2 & 1/2 \end{pmatrix}\]
Como puedes comprobar, esta matriz inversa es la misma que en el ejercicio en el que hemos aplicado el método de Gauss-Jordan.
Ahora depende de ti definir qué método utilizar en cada caso. Con la experiencia irás observando matrices que son más fáciles de invertir usando el método de Gauss-Jordan y otras, usando el determinante y la matriz adjunta.
Al igual que con el método de Gauss-Jordan, este método de inversión de una matriz, usando el determinante y la matriz adjunta, puede aplicarse a matrices cuadradas de cualquier orden (siempre que tengan determinante no nulo).
Como último detalle, mencionamos que, si existe la matriz inversa, se cumple:
\[\det(A^{-1})=\dfrac{1}{\det(A)}\]
Se dice que una na matriz \(A\) es regular o invertible si existe otra matriz \(B\), de modo que se cumple:
\[AB=BA=I\]
Una matriz cuadrada \(A\) de orden \(n\) es invertible si, y solo si, \(Rg(A)=n\).
La matriz inversa tiene propiedades interesantes, estas son tres importantes:
Si las matrices \(A\) y \(B\) son invertibles, entonces se cumple: \((AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}\).
La inversa de la transpuesta es la transpuesta de la inversa: \((A^t)^{-1}=(A^{-1})^t\).
La inversa de la inversa de \(A\) es la propia \(A\): \((A^{-1})^{-1}=A\).
El método de Gauss-Jordan consiste en:
Construir una matriz en la que en el lado izquierdo tengas la matriz que quieres invertir y en el derecho la matriz identidad con la misma dimensión.
Mediante transformaciones elementales, convertir cada fila de la matriz original en la matriz identidad. Estas mismas operaciones las tienes que realizar en la matriz identidad de la derecha.
La matriz inversa será la matriz resultante de la derecha.
Si se quiere calcular la inversa de una matriz, se debe tener en cuenta:
\[\text{existe }A^{-1}\Leftrightarrow \det(A)\neq 0\]
La matriz adjunta se define como una matriz en la que cada uno de sus elementos se sustituye por el adjunto de ese elemento; es decir:\[\mathrm{Adj}(A)=(A_{ij})\]
El cálculo de la matriz inversa no es más que hacer:\[A^{-1}=\dfrac{1}{\det(A)}(\mathrm{Adj}(A))^t\]
Regístrate gratis para acceder a todas nuestras tarjetas.
¿Cómo se calcula la matriz inversa?
El cálculo de la matriz inversa se puede realizar utilizando el método de Gauss-Jordan, o el método por el que se usa el determinante y la matriz adjunta.
¿Cómo se calcula la matriz inversa por el método de Gauss?
¿Cuáles son las propiedades de la inversa de una matriz?
Las propiedades de la matriz inversa son:
¿Cómo se calcula la matriz inversa con determinantes?
Para calcular la matriz inversa por el determinante, debes calcular primero la matriz adjunta. Esta matriz está formada por los adjuntos correspondientes a cada elemento, de modo que: Adj(A)=Aij=(-1)i+jMij.
Una vez calculada la matriz adjunta, la matriz inversa será la transpuesta de la adjunta dividida entre el determinante de A:
A-1=(Adj(A))t/det(A).
¿Cómo se calcula la matriz adjunta?
La matriz adjunta se calcula reemplazando cada entrada de la matriz original por el menor de esta entrada; esto es el determinante de la matriz que resulta de eliminar la columna y fila que esta entrada tiene.
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Get to know Lily
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Get to know Gabriel
StudySmarter es una compañía de tecnología educativa reconocida a nivel mundial, que ofrece una plataforma de aprendizaje integral diseñada para estudiantes de todas las edades y niveles educativos. Nuestra plataforma proporciona apoyo en el aprendizaje para una amplia gama de asignaturas, incluidas las STEM, Ciencias Sociales e Idiomas, y también ayuda a los estudiantes a dominar con éxito diversos exámenes y pruebas en todo el mundo, como GCSE, A Level, SAT, ACT, Abitur y más. Ofrecemos una extensa biblioteca de materiales de aprendizaje, incluidas tarjetas didácticas interactivas, soluciones completas de libros de texto y explicaciones detalladas. La tecnología avanzada y las herramientas que proporcionamos ayudan a los estudiantes a crear sus propios materiales de aprendizaje. El contenido de StudySmarter no solo es verificado por expertos, sino que también se actualiza regularmente para garantizar su precisión y relevancia.
Aprende másGuarda las explicaciones en tu espacio personalizado y accede a ellas en cualquier momento y lugar.
Regístrate con email Regístrate con AppleAl registrarte aceptas los Términos y condiciones y la Política de privacidad de StudySmarter.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
Regístrate para poder subrayar y tomar apuntes. Es 100% gratis.
La primera app de aprendizaje que realmente tiene todo lo que necesitas para superar tus exámenes en un solo lugar.
¿Ya tienes una cuenta? Iniciar sesión
La primera plataforma de aprendizaje con todas las herramientas y materiales de estudio que necesitas.
Resumenes 
Flashcards 
StudySmarter AI 
Apuntes 
Plan de estudios 
Sets de estudio 
Repeticion espaciada 
Exámenes 
Magazine 
Hacer carrera 
Formacion Profesional 
Mobile App 
