Rango de una matriz

Determina cuántas filas o columnas son linealmente independientes en las siguientes matrices:

\[A=\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{pmatrix}\]

\[B=\begin{pmatrix} 2&1&-1\\ 0 & -1 & 2\\ 2 & 0 & 1\end{pmatrix}\]

\[C=\begin{pmatrix} 2 &1 &1\\0 & 2 &1\\0 & 0 &-1\end{pmatrix}\]

Solución A

Como puedes observar en la matriz \(A\), la segunda fila corresponde a la primera fila multiplicada por \(2\). Entonces, una fila es la combinación lineal de la otra y, por lo tanto, solo una de ellas es linealmente independiente: \(\mathrm{Rg}(A)=1\).

Solución B

Para la matriz \(B\), podemos observar que la tercera fila es la suma de la primera y la segunda fila. Las dos primeras son linealmente independientes entre sí, por lo que \(\mathrm{Rg}(B)=2\).

Solución C

En la matriz \(C\) no hay ninguna operación entre las filas o columnas que las relacione. Por tanto, \(\mathrm{Rg}(C)=3\). Esto también podría determinarse desde el principio, puesto que en toda matriz triangular en cuya diagonal principal no hay ningún cero, su rango corresponde a la dimensión de la propia matriz; en este caso, \(n=\mathrm{Rg}(C)=3\).

Tenemos la matriz \(A\) definida como:

\[A=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 1 & -1\end{pmatrix}\]

Si multiplicamos la segunda fila por \(2\), se mantiene el rango de la matriz:

\[A'=\begin{pmatrix} 2 & 2 \\ 2 & -2\end{pmatrix}\]

Calcula el rango de la siguiente matriz, por el método de Gauss: \[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

Solución

Vamos a triangularizar la matriz:

• Comenzamos haciéndolo por filas, con \(F_2\rightarrow 2F_1+F_2\) y \(F_3 \rightarrow 2F_1-F_3\):\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 1 & 3\end{pmatrix}\]
• Ahora, podemos hacer \(F_3\rightarrow F_2-F_3\):\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ 0 & 1 & 5 \\ 0 & 0 & 2\end{pmatrix}\]

Hemos llegado a una matriz triangular en la que ninguna de sus filas o columnas es nula; por tanto, \(\mathrm{Rg}(A=3\).

Calcula el rango de la siguiente matriz, por el método de Gauss:

\[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ -1 & 0 & 2 \\ 1 & 1 & 3\end{pmatrix}\]

Solución

• Empezamos a triangularizar la matriz, haciendo \(F_2\rightarrow F_1+2F_2\):\[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & -1 & -4\end{pmatrix}\]
• Aquí, ya podemos ver que la segunda y tercera fila son una combinación lineal (la una de la otra) y una de ellas está multiplicada por \(-1\).
• Sin embargo, vamos a seguir el proceso de triangularización, haciendo \(F_3\rightarrow F_2+F_3\):\[B=\begin{pmatrix}2 & 1 & 2\\ 0 & 1 & 4 \\ 0 & 0 & 0\end{pmatrix}\]

La última fila se ha anulado (todos sus elementos son ceros); por tanto, esta fila no es linealmente independiente a las demás. Entonces, podemos decir que \(\mathrm{Rg}(B)=2\).

Por ejemplo, si tenemos la siguiente matriz:

\[A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 2\\ -2 & 1 & 1 \\ 2 & -1 & 1\end{pmatrix}\]

El menor asociado al elemento \(a_{23}\) es el determinante obtenido al eliminar la segunda fila y la tercera columna:

\[M_{23}=\begin{vmatrix} 1 & 0 \\ 2 & -1\end{vmatrix}\]

Calcula el rango de la siguiente matriz:

\[A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 0 & 3 \\ -1 & 2 & 2 & 1 \\ 3 & 1 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Solución

Tenemos que mirar los menores asociados a esta matriz, que es de orden \(3\times 4\).

Lo usual es empezar por los menores de mayor orden; es decir, determinantes de orden \(3\).

Sin embargo, podemos también empezar por los de orden \(2\) y así asegurarnos que (mínimo) se cumple que \(\mathrm{Rg}(A)=2\).

• Por ejemplo, podemos elegir el primer menor de orden \(2\), (primeros dos elementos de la primera fila y de la segunda fila): \[\begin{vmatrix} 2 & 1 \\ -1 & 2\end{vmatrix}=4+1=5\neq 0\]. Por tanto, el rango mínimo de \(A\) es de \(2\).
• Pero, asimismo, podríamos haber elegido otro menor; por ejemplo, el menor de orden \(2\): \[\begin{vmatrix}2 & 2 \\ 1 & 1 \end{vmatrix}=2-2=0\].
  • Este menor es igual a \(0\), y podríamos suponer entonces que \(\mathrm{Rg}(A)<2\). Pero, como ya hemos encontrado otro menor del mismo orden distinto de \(0\), podemos asegurar que el rango es de \(2\), al menos.

Por esto mismo, no basta con calcular un único menor, si este da \(0\); puesto que puede haber otros del mismo orden que sean distintos de \(0\). Así, hay que calcular todos los menores hasta que uno sean distintos de \(0\).

Ahora calculamos un menor de orden \(3\), por ejemplo, tomando las tres primeras columnas:

\[\begin{vmatrix} 2 & 1 & 0 \\ -1 & 2 & 2 \\ 3 & 1 & 1 \end{vmatrix}=7\neq 0\]

Este menor de orden \(3\) es distinto de \(0\); por tanto, podemos afirmar que \(\mathrm{Rg}(A)=3\).

Obviamente, este es el máximo rango que puede tener esta matriz rectangular.

Calcula, por el método de Gauss, el rango de la siguiente matriz:

\[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 3 & -2 & 1 & 0 \\ 2 & -1 & 3 & 3 \end{pmatrix}\]

Solución

Para calcular el rango por el método de Gauss, tenemos que triangularizar la matriz. Para esto, podemos hacer \(F_2\rightarrow 3F_1+F_2\) y \(F_3\rightarrow 2F_1+F_3\):

\[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \end{pmatrix}\]

Ya podemos ver que la segunda y la tercera fila son iguales. Sin embargo, terminamos de triangularizar, haciendo \(F_3\rightarrow F_2-F_3\):

\[A=\begin{pmatrix} -1 & 1 & 2 & 3 \\ 0 & 1 & 7 & 9 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Hemos obtenido una fila nula, las otras dos son linealmente independientes. Por tanto, \(\mathrm{Rg}(A)=2\).

Calcula el rango de la siguiente matriz por el método de Gauss y por menores:

\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ -1 & 4 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Solución

1. Primero, calculamos por el método de Gauss, triangularizando la matriz.

Hacemos \(F_2\rightarrow F_1+F_2\):

\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Ahora, podemos hacer \(F4\rightarrow F_2+F_4\):

\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \end{pmatrix}\]

Por último, hacemos \(F_4\rightarrow F_3-F_4\):

\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}\]

Hemos obtenido una fila nula y otras tres que son linealmente independientes; por tanto:

\[\mathrm{Rg}(B)=3\]

2. Ahora, vamos a calcular este mismo rango, pero usando menores.

En este caso, al ser una matriz cuadrada, su menor de mayor orden es justamente el determinante de la propia matriz \(B\). Por tanto, lo más fácil es calcular el determinante de la matriz \(B\). Según lo que hemos explicado, si el determinante de esta matriz es distinto de \(0\), entonces podemos afirmar que el rango es igual al orden de la matriz; en este caso, \(\mathrm{Rg}(B)=4\).

Por tanto, calculamos el determinante. Puedes usar cualquier método; en esta ocasión, vamos a calcularlo por los elementos de la primera columna, puesto que hay 2 ceros. Aunque, antes podemos hacer \(F_2\rightarrow F_1+F_2\), lo cual nos llevará a obtener otro cero en esta primera columna:

\[B=\begin{pmatrix} 1 & -1 & 3 & 2 \\ 0 & 3 & 3 & 3 \\ 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & -3 & 1 & 2 \end{pmatrix}\]

Ahora, desarrollamos el determinante por el único elemento de la primera columna (no confundas esto con uno de los menores de la matriz):

\[\det(B)=1·(-1)^{1+1}\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}=\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}\]

Para calcular este determinante, puedes usar (también) cualquier método; nosotros vamos a aplicar la regla de Sarrus:

\[\det(B)=\begin{vmatrix} 3 & 3 & 3 \\ 0 & 4 & 5 \\ -3 & 1 & 2\end{vmatrix}=24-45+0-36+0-15=0\]

El determinante de la matriz \(B\) es \(0\). Esto implica que su rango es menor de \(4\).

Cojamos un menor de orden \(3\). Por ejemplo:

\[M_{14}=\begin{vmatrix} -1 & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & -3 & 1 \end{vmatrix}=-12\neq 0\]

Hemos encontrado un menor de orden \(3\), que es distinto de \(0\). Podemos afirmar entonces que:

\[\mathrm{Rg}(B)=3\]