Representación matricial

Sistema de ecuaciones lineales

Empecemos recordando rápidamente en qué consiste un sistema de ecuaciones lineales.

Por ejemplo, el siguiente sistema de ecuaciones no es lineal:

\[\left\{ \begin{array}\, x^2+3y=0\\-x-\sqrt[3]{5}y=0\end{array}\right.\]

Esto se debe a que la variable \(x\) en la primera ecuación tiene un término al cuadrado.

La expresión general de un sistema de \(n\) ecuaciones con \(m\) incógnitas es:

\[\left\{\begin{array}\, a_{11}x_1+a_{12}x_2+...+a_{1m}x_{m}=b_1\\a_{21}x_1+a_{22}x_2+...+a_{2m}x_m=b_2\\...\\a_{n1}x_1+a_{n2}x_2+...+a_{nm}x_m=b_n \end{array}\right.\]

Aquí, los elementos \(a_{ij}\) representan los coeficientes de la incógnita \(x_j\) y en la ecuación \(i\). El elemento \(b_i\) es el término independiente de la ecuación \(i\).

Los sistemas de ecuaciones lineales se pueden resolver usando sustitución, como podrás haber leído en nuestro artículo de sistemas de ecuaciones lineales o, también, usando el método de Gauss (eliminación gaussiana) y Gauss-Jordan.

Pero, hay otro método más sencillo y más organizado que consiste en el uso de matrices y operaciones elementales de matrices para encontrar determinantes. Esto lo puedes estudiar en los temas de las reglas de Sarrus y Cramer y usando la matriz inversa de la matriz de coeficientes.

Representación matricial de un sistema de ecuaciones lineales

A partir de la expresión general de un sistema de ecuaciones que hemos mencionado anteriormente, formamos las siguientes matrices:

• Matriz de coeficientes: \[A=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}\]

• Matriz de incógnitas: \[X=\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_m \end{pmatrix}\]

• Matriz de términos independientes: \[B=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix}\]

• Matriz ampliada: \[A^*=\begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} & b_1 \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} & b_2 \\ ... & ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} & b_n \end{pmatrix}\]

Podemos expresar un sistema de ecuaciones como una ecuación matricial de este modo:

\[AX=B\Rightarrow \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & ... & a_{1m} \\ a_{21} & a_{22} & ... & a_{2m} \\ ... & ... & ... & ... \\ a_{n1} & a_{n2} & ... & a_{nm} \end{pmatrix}\begin{pmatrix} x_1 \\ x_2 \\ ... \\ x_m \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} b_1 \\ b_2 \\ ... \\ b_n \end{pmatrix}\]

Matriz de coeficientes

Es muy importante que no la confundas con la matriz ampliada, puesto que muchas veces se comparan estas dos para llegar a resultados como saber si el sistema de ecuaciones es compatible o incompatible.

Matriz ampliada

En la ecuación matricial anterior no hemos representado la matriz ampliada \(A^*\), porque esta matriz es la unión de la matriz de coeficientes y de la matriz de términos independientes. Muchas veces se escribe la matriz ampliada separando la matriz de coeficientes de la matriz de términos independientes con una línea vertical:

\[A^*=(A|B)\]

Ecuaciones lineales y matrices: ejemplos

Hagamos unos ejemplos para que practiques cómo pasar un sistema de ecuaciones a su representación matricial.

Esta representación matricial nos ayuda, ya que podemos usar operaciones de suma, resta y multiplicación entre las filas para reducir estas matrices a matrices triangulares superiores. Este es uno de los distintos tipos de matrices y nos ayuda a resolver problemas más fácilmente.

Expresión vectorial de un sistema de ecuaciones lineales

Hay otra manera de expresar un sistema de ecuaciones lineales: usando una serie de vectores que se denota de la siguiente manera.

\[\begin{pmatrix}a_{11}\\a_{21}\\...\\a_{n1}\end{pmatrix}x_1+\begin{pmatrix}a_{12}\\a_{22}\\...\\a_{n2}\end{pmatrix}x_2+...+\begin{pmatrix}a_{1m}\\a_{2m}\\...\\a_{nm}\end{pmatrix}x_m=\begin{pmatrix}b_1\\b_2\\...\\b_n\end{pmatrix}\]

\[A_1x_1+A_2x_2…A_mx_m=B\]

• Donde \(A_i\) son las columnas de la matriz de coeficientes.