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Sistemas de ecuaciones equivalentes
Primero, vamos a definir qué son los sistemas de ecuaciones equivalentes.
Dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
Veamos:
Si se tiene el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,a_1x+b_1y=c_1\\d_1x+e_1y=f_1\end{array}\right.\]
tiene soluciones \(x_1\) y \(y_1\).
Asimismo, si se tiene el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,a_2x+b_2y=c_2\\d_2x+e_2y=f_2\end{array}\right.\]
las soluciones son \(x_2\) y \(y_2\).
En caso de que ambos sean equivalentes, se cumple que:
\[y_1=y_2\]
\[x_1=x_2\]
Calcula las soluciones de los siguientes sistemas y determina si estos son equivalentes:
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=6\\3x+7y=12\end{array}\right.\]
y
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=6\\\frac{3}{2}x+\frac{7}{2}y=6\end{array}\right.\]
Solución:
Comenzamos resolviendo el primer sistema. Despejamos \(x\) de la primera ecuación, y esto nos da:
\[x=\dfrac{6-3y}{2}\]
Y si sustituimos esto en la segunda ecuación, que es \(3x+7y=12\) y resolvemos para \(y\), obtenemos:
\[y=\dfrac{6}{5}\]
Si ahora usamos este valor para sustituir de regreso en la primera ecuación, que es: \(2x+3y=6\), obtendremos:
\[x=\dfrac{6}{5}\]
Ahora, debemos encontrar la solución del segundo sistema de ecuaciones. Para esto, te daremos un truco: solo debes sustituir la solución del primer sistema de ecuaciones en el segundo, y ver si cumple:
\[2 \dfrac{6}{5}+3 \dfrac{6}{5} =6\]
\[\frac{3}{2} \dfrac{6}{5}+\frac{7}{2} \dfrac{6}{5}=6\]
Y esto nos da:
\[6=6\]
\[6=6\]
Por lo que, si las soluciones del primer sistema se cumplen en el segundo, significa que ambos sistemas tienen la misma solución.
Si ambos sistemas tienen la misma solución, estos son sistemas son equivalentes.
Cómo saber si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes
Resolver un sistema puede ser muy complejo, si el sistema es bastante grande. Pero, hay otras maneras de saber si dos sistemas son equivalentes.
Aquí te enseñaremos tres posibilidades:
1. Se tiene un sistema \(A\) y un sistema \(B\). Si el sistema \(B\) es resultado de hacer operaciones —como sumas o restas— entre las ecuaciones del sistema \(A\). Entonces, ambos sistemas son equivalentes.
Se tiene el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=-4\\x-2y=5\end{array}\right.\]
Si sumamos las dos ecuaciones de este sistema, obtenemos una tercera ecuación:
\[E_1+E_2\rightarrow 3x+y=1\]
Con esta nueva ecuación y una de las anteriores podemos formar un nuevo sistema, que será equivalente al primero. Por ejemplo, cogiendo la primera ecuación y la nueva que hemos obtenido:
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=-4\\3x+y=1\end{array}\right.\]
2. Se tiene un sistema \(A\) y un sistema \(B\). Si el sistema \(B\) resulta de multiplicar el sistema \(A\) por una constante, entonces ambos sistemas son equivalentes.
Se tiene el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=-4\\x-2y=5\end{array}\right.\]
Si se multiplica el sistema por dos, se genera el siguiente:
\[\left\{\begin{array}\,4x+6y=-8\\2x-4y=10\end{array}\right.\]
Este sistema resultante y el anterior son equivalentes.
Esto es cierto, también, si se multiplica solo una o algunas de las ecuaciones.
3. Se tiene un sistema \(A\) y un sistema \(B\). Si el sistema \(B\) resulta de cambiar de orden las ecuaciones en el sistema \(A\), estos son equivalentes:
Se tiene el sistema:
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=-4\\x-2y=5\end{array}\right.\]
Si la segunda ecuación se cambia por la primera, se tiene:
\[\left\{\begin{array}\,x-2y=5\\2x+3y=-4\end{array}\right.\]
El sistema resultante y el anterior son equivalentes.
Esto lo verás en cursos más avanzados de la universidad, pero hay relaciones importantes escondidas aquí:
La primera:
- Los sistemas de ecuaciones lineales tienen una representación matricial. Es decir, los sistemas de ecuaciones lineales pueden ser representados usando matrices.
La segunda:
- Hacer operaciones como sumar ecuaciones, restar ecuaciones, multiplicar por una constante o cambiar columnas y filas, no modifican el resultado de un sistema.
La tercera:
- Un sistema lineal se puede resolver usando operaciones básicas, mediante eliminación gaussiana, al obtener un sistema triangular.
Esto nos lleva, finalmente, a que:
Se puede tomar un sistema de ecuaciones a una forma matricial en la que, mediante operaciones que no modifican el resultado de una matriz —como sumas, restas, multiplicaciones, etc.,—, este se lleva a una forma triangular superior que permite resolverlo. Este el método de Gauss para resolver matrices.
Sistemas de ecuaciones equivalentes: ejemplo
¿Son los siguientes sistemas de ecuaciones equivalentes?
Sistema \(A\):
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=-4\\x+5y=-9\end{array}\right.\]
Sistema \(B\):
\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=-4\\x-2y=5\end{array}\right.\]
Solución:
Para comprobar si son sistemas equivalentes, debemos ver si las soluciones de un sistema sirven también para el otro. Por tanto, calculamos las soluciones del sistema \(A\).
Despejamos \(x\) en la segunda ecuación:
\[x=-9-5y\]
Introducimos esto en la primera ecuación:
\[3(-9-5y)+y=1\]
Despejamos \(y\):
\[y=-2\]
Ahora calculamos el valor de \(x\), sustituyendo en la ecuación:
\[x=1\]
Para comprobar si son homogéneos, basta con introducir estas soluciones en el sistema \(B\):
\[2·1+3·(-2)=-4\Rightarrow -4=-4\]
\[1-2·(-2)=5\Rightarrow 5=5\]
Las soluciones del sistema \(A\) funcionan para el sistema \(B\); por lo tanto, estos sistemas son equivalentes.
Soluciones de un sistema homogéneo
Ya hemos visto sistemas con ecuaciones cuya solución es distinta de cero. Sin embargo, en tus clases y cursos más avanzados habrá un nuevo término; este es: Sistemas homogéneos.
Un sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos independientes son cero, se llama sistema homogéneo.
Esto significa que en un sistema cuyos términos que no poseen una variable (son solo constantes) sean nulos, será denominado homogéneo.
¿Qué sucede si tienes la siguiente ecuación \(ax+by=0\)? Algo interesante en este punto es que, en esta ecuación, tanto \(a\) como \(b\) deben ser distintos de cero.
Así que esta suma tiene dos opciones: o se da que \(ax=-by\), o tanto \(x\) como \(y\) valen ambas \(0\). Solo hay estas dos posibilidades como soluciones de esta ecuación. Esto mismo sucede cuando se tiene más de una ecuación.
Una característica especial de estos sistemas es que tienen, al menos, una solución conocida como la solución trivial. La solución trivial es la que hace que todas las incógnitas sean nulas.
Solución trivial
La solución trivial de un sistema es aquella en la cual el sistema puede ser resuelto al sustituir las variables como:
\[x=0\]
\[y=0\]
\[z=0\]
\[.\]
\[.\]
\[.\]
\[n=0\]
Cualquier sistema de ecuaciones lineales que es homogéneo tiene una solución trivial.
Sistemas equivalentes y homogéneos - Puntos clave
- Dos sistemas de ecuaciones que son equivalentes entre sí tienen las mismas soluciones.
- Un sistema de ecuaciones lineales en el que todos los términos independientes son nulos se llama sistema homogéneo.
- Cualquier sistema de ecuaciones lineales que es homogéneo tiene, al menos, la solución trivial.
- La solución trivial es la solución en la cual todas las incógnitas son iguales a cero.
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Preguntas frecuentes sobre Sistemas equivalentes y homogéneos
¿Qué es un sistema de ecuaciones equivalentes?
Se dice que dos sistemas de ecuaciones son equivalentes si tienen las mismas soluciones.
¿Cómo saber si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes?
Para saber si dos sistemas de ecuaciones son equivalentes tienes que comprobar que las soluciones de ambos son las mismas. Puedes crear un sistema equivalente a otro haciendo operaciones elementales en las ecuaciones del sistema, puesto que esto no cambia la solución del sistema.
¿Cuándo un sistema es homogéneo?
Se dice que un sistema de ecuaciones es homogéneo cuando todos los términos independientes del sistema son nulos.
¿Qué es la solución trivial de un sistema homogéneo?
La solución trivial de un sistema de ecuaciones es la solución que hace que todas las incógnitas sean nulas. Esta solución siempre es una posible solución de los sistemas de ecuaciones homogéneos.
¿Cuáles serían ejemplos de un sistema equivalente y de un sistema homógeneo?
Un ejemplo de sistemas equivalentes sería el sistema:
x+2y=1
-2x+3y=2
Y el sistema:
2x+4y=1
-2x+3y=2
Si te fijas, la primera ecuación del segundo sistema es igual a la primera ecuación del primer sistema multiplicada por 2. Esta operación no cambia la solución del sistema por lo que estos sistemas son equivalentes.
Un ejemplo de sistema homogéneo sería:
x+2y=0
3x-y=0
Este sistema es homogéneo porque sus términos independientes (sin incógnitas) son todos nulos.
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