Teorema de Rouché Frobenius

Por ejemplo, el sistema de ecuaciones lineales que se ve a continuación:

\[\left\{\begin{array}\,2x+3y=6\\-x+6y=1\end{array}\right.\]

Tiene la solución:

\[x=11\]

\[y=\dfrac{5}{3}\]

Esto se ve del siguiente modo:

Fig: 1. Solución única de un sistema de ecuaciones.

Se tiene el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\,3x+4y-z=0\\6x+8y-2z=0\end{array}\right.\]

Solución:

Si tomas la ecuación \(3x+4y-z=0\) y la multiplicas por dos, obtienes la segunda ecuación:

\[2(3x+4y-z=0) \Rightarrow (6x+8y-2z=0) \]

De este modo, puedes obtener la segunda ecuación usando operaciones básicas de multiplicación y, por lo tanto, el sistema no es independiente. Este sistema, de hecho, está compuesto por dos rectas paralelas con infinitas soluciones.

Se tiene el sistema de ecuaciones siguiente:

\[\left\{\begin{array}\,x+2y-z=0\\5x+10y-5z=0\\3x+5y-2z=0\end{array}\right.\]

Solución:

Aquí procederemos a usar el método de eliminación gaussiana. Primero, multiplicamos la primera ecuación por \(5\) y la restamos a la segunda, como primer paso:

\[5(x+2y-z=0)-(5x+10y-5z=0)\]

Esto nos da:

\[0=0\]

Puedes ver que la ecuación se eliminó por completo, esto significa que las ecuaciones no son independientes y, por lo tanto, el sistema es indeterminado.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\, x+3y+z=0\\ 2x+y-z=1\\-2x-3y+z=1\\x+y+z=2\end{array}\right.\]

Solución:

La discusión de un sistema de ecuaciones es determinar qué tipo de soluciones tiene el sistema; es decir, si es incompatible, compatible determinado o compatible indeterminado.

Para esto, aplicamos el teorema de Rouché-Frobenius.

Sacamos la matriz ampliada asociada al sistema:

\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r}\, 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ -2 & -3 & 1 & 1 \\ 1 & 1 & 1 & 2\end{array}\right)\]

Estudiamos, en primer lugar, el rango de la matriz ampliada. Puedes usar cualquier método para calcular este determinante de orden 4.

En este caso, queremos conseguir ceros en las posiciones \(a_{34}\) y \(a_{44}\), para después aplicar el desarrollo del determinante por los elementos de la cuarta columna.

Hacemos \(F_3\rightarrow F_3-F_2\) y \(F_4\rightarrow F_4-2F_2\):

\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 & 0 \\ 2 & 1 & -1 & 1 \\ -4 & -4 & 2 & 0 \\ -3 & -1 & 3 & 0\end{vmatrix}\]

Ahora, desarrollamos el determinante por la cuarta columna; como el único elemento distinto de cero es el \(a_{24}\), entonces el determinante es:

\[\det(A^*)=1·(-1)^{2+4}\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -4 & -4 & 2 \\ -3 & -1 & 3\end{vmatrix}=0\]

Como el determinante es igual a \(0\), entonces: \(Rg(A^*)<4\).

Ahora calculamos un menor de \(A*\) que también pertenezca a la matriz de coeficientes \(A\); por ejemplo:

\[\begin{vmatrix} 1 & 3 & 1 \\ 2 & 1 & -1 \\ -2 & -3 & 1 \end{vmatrix} = -6 \neq 0\]

Como este determinante es distinto de cero, y pertenece tanto a \(A\) como a \(A^*\), el rango de ambas es igual y vale \(3\):

\[Rg(A)=Rg(A^*)=3\]

Debido a que el rango de las dos matrices es el mismo e igual al número de incógnitas, podemos afirmar que el sistema es compatible determinado.

Discute la siguiente matriz asociada a un sistema de ecuaciones:

\[A^*=\left(\begin{array}{rrr|r} -1 & 1 & -3 & 2 \\ -1 & 0 & 1 & 3 \\ 2 & -1 & 2 & 1 \end{array}\right)\]

Solución:

Para discutir el sistema, como la matriz ampliada contiene la matriz de coeficientes, calculamos el rango de la de coeficientes:

\[\det(A)=\begin{vmatrix} -1 & 1 & -3 \\ -1 & 0 & 1 \\ 2 & -1 & 2 \end{vmatrix}=0\]

Por tanto, la matriz de coeficientes tiene \(Rg(A)<3\). Ahora determinamos si la matriz ampliada puede llegar a tener rango 3 usando en el determinante la columna de términos independientes:

\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} -1 & 1 & 2 \\ -1 & 0 & 3 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}=6\]

Por tanto, el rango de la matriz ampliada es mayor que el de la matriz de coeficientes:

\[Rg(A^*)>Rg(A)\]

Esto implica que el sistema es incompatible.

Discute el siguiente sistema de ecuaciones:

\[\left\{\begin{array}\, x-y+2z=3\\ kx+5y-4z=1 \\ 3x+2y-z=1 \end{array}\right.\]

Solución:

Vemos que es un sistema de 3 ecuaciones con 3 incógnitas y que hay un parámetro.

Calculamos, entonces, el rango de la matriz de coeficientes; puesto que si es distinto de cero, será igual al rango de la matriz ampliada y al número de incógnitas. En ese caso, es un sistema compatible determinado:

\[\det(A)=\begin{vmatrix} 1 & -1 & 2 \\ k & 5 & -4 \\ 3 & 2 & -1 \end{vmatrix}=-5+4k+12-30-k+8=3k-15\]

Por tanto, si \(k\neq 5\) el determinante de \(A\) es distinto de cero; por tanto, el de \(A*\) también es distinto de cero e igual al número de incógnitas, por lo que el sistema sería compatible determinado.

Pero, si \(k=5\), entonces \(Rg(A)<3\). Calculamos el rango de \(A^*\) con la columna de coeficientes y, sin coger la columna con el parámetro variable:

\[\det(A^*)=\begin{vmatrix} -1 & 2 & 3 \\ 5 & -4 & 1 \\ 2 & -1 & 1 \end{vmatrix}= 4-15+4+24-10-1=6\]

El rango de \(A*\) es igual a \(3\) siempre.

Aplicando el teorema de Rouché-Frobenius:

• Si \(k\neq 5 \rightarrow Rg(A)=Rg(A^*)=n\), el sistema es compatible determinado.
• Si \(k=5 \rightarrow Rg(A)<Rg(A^*)=n\), el sistema es incompatible.