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Un ejemplo de cuando escuchas esa frase sería si preguntas a alguien si dos más dos es cuatro; a lo cual, la otra persona podría responderte que, lógicamente, es cuatro.
Esto es porque, en el mundo físico, si agrupas dos objetos (como dos manzanas) con otros dos objetos del mismo tipo (como otras dos manzanas), tendrías cuatro veces el mismo objeto. Esto implica que no puedes crear más o destruir alguna porque en ese caso, al agruparlas, te daría mágicamente cinco, tres u otro número de manzanas.
¿Qué es la lógica?
La lógica viene de griego logikos, que en uno de sus significados es "razonable”. La lógica es un área de la ciencia por sí misma y es la base sobre la cual se construyen las matemáticas y, por lo tanto, también las otras ramas de la ciencia.
La lógica es el estudio de las ideas y de cómo estas ideas son correctas o no.
Por ejemplo, una idea podría ser como la anterior caso, que nos dice que si agrupas dos manzanas con otras dos manzanas, tendrías cuatro manzanas. Esta idea es un argumento: “sumar dos más dos te da cuatro”. Podemos comprobar que esta idea es correcta y, por lo tanto, es verdadera.
Seguramente este ejemplo te parecerá muy simple; pero, de hecho, una idea así es la que contradice la existencia de máquinas como las de movimiento perpetuo o que obtienen energía de la nada. Lo veremos en un ejemplo más adelante.
Entonces, si la lógica estudia argumentos, lo que nos importa del argumento es su resultado: si este es verdadero o falso.
Veamos otros dos ejemplos muy sencillos.
Si Roberto es más alto que Arturo y Arturo es más alto que Ana, entonces Ana es más pequeña que Roberto.
Solución
Argumento: Ana es más pequeña que Roberto.
Si analizamos el enunciado: debido a que Roberto es más alto que Arturo, esto significa que cualquier persona menos alta que Arturo es, también, menos alta que Roberto. Por lo tanto, Roberto es más alto que Ana.
Resultado: Verdadero.
Si una longitud \(a\) más una longitud \(b\) nos da una longitud \(c\); entonces, la longitud \(b\) menos \(c\) nos debe dar \(a\).
Solución
Si hacemos la suma y conocemos las reglas de los signos, veremos que esto es así.
Resultado: Verdadero
La importancia de estas reglas básicas, gracias a las cuales puedes relacionar objetos para poder concluir algo, es un principio fundamental de la lógica.
Ahora, veamos un problema más complejo, pero a su vez muy sencillo de comprender:
¿Qué forma tiene la tierra?
Solución
Supongamos que estás parado en un campo y, a decenas de kilómetros, solo hay praderas: todo es plano y no puedes ver el fin. Esa imagen te podría hacer creer que la tierra es plana.
Pero, si te mueves a la playa para tomar un poco el sol y disfrutar del clima, allí puedes mirar hacia el horizonte. Si observas muy bien e, incluso, obtienes unos prismáticos, podrás ver algo muy curioso: los barcos no se alejan infinitamente en el horizonte hasta que se hacen cada vez más pequeños, sino que parece que se sumergieran en el mar, poco a poco, hasta desaparecer.
Para comprenderlo mejor, miremos el caso del siguiente barco:
Fig. 1. Cuando observamos un barco en el horizonte, el barco no se hace infinitamente pequeño, sino que desaparece parcialmente de tu vista a medida que se hace más pequeño. En /(A/) el barco aún es visible y, mientras se aleja más, parte del barco parece sumergirse en el mar.
Sin embargo, el barco no se ha hundido; el barco, en realidad, sigue flotando. Por tanto, la única explicación es que el barco ahora esté a un nivel inferior que tú. En ese caso, hay dos posibilidades:
- La superficie del mar es curva y el barco ahora está debajo de la curva.
- El barco bajó un escalón, aunque nunca nadie ha visto una cascada en el mar.
Fig. 2. Hay dos opciones: en la parte superior, el barco sigue una trayectoria curva y está ahora debajo de nuestra línea de visión, que es la recta de color rojo; el barco baja un escalón, en la parte inferior, lo cual es tremendamente improbable.
Debido a que nadie ha visto un escalón en el mar, esto significa que la segunda opción es la correcta.
Si te diste cuenta, lo que pasó en el ejemplo pasado es que:
Obtuvimos una idea de una observación.
Pusimos esa observación a prueba en otro escenario: cambiamos del campo a la playa.
Usamos herramientas para observar lo que suponíamos: en este caso, unos prismáticos.
Extrapolamos ideas lógicas y obtuvimos dos posibilidades.
Descartamos la que era poco creíble, ya que nadie jamás ha visto una caída en vertical en el mar.
Llegamos a una conclusión.
En este método, las observaciones son evidencias y las premisas son aquellas cosas que sabemos, con las que iniciamos el proceso de deducción. En nuestro ejemplo, la deducción inicia con que no podemos ver fin en el horizonte. Pero, como el argumento inicial decía que la tierra podría ser plana, podemos notar que se contradice con las pruebas o evidencias: la observación en el mar con nuevos instrumentos. Por tanto, se procede a decir que el argumento es falso: la tierra no es plana, la tierra tiene una curvatura y, en este caso, se trata de la curvatura de una esfera.
Un ejemplo famoso del uso de la lógica y las mediciones para obtener un resultado es el usado por el griego Eratóstenes. Él supuso que la tierra era esférica, basándose en mediciones de la sombra de un objeto vertical en dos posiciones separadas por cientos de kilómetros.Así, utilizando trigonometría y algunos instrumentos, Eratóstenes llegó a la conclusión que la tierra era una esfera, en el 194 AC.
Dependiendo de las fuentes históricas y las interpretaciones, Eratóstenes pudo haber tenido de un 15% a un 1% de error en sus cálculos. Pero, para alguien que vivió mucho tiempo antes de que las calculadoras existiesen, solamente comprobar que la tierra era esférica fue un logro impresionante.
El poder de la lógica es el llegar a conclusiones verdaderas, dado algún problema: "de allí es, precisamente, de donde se nutren también las matemáticas".
Lógica básica matemática
Así como la lógica estudia la argumentación de ideas, la lógica matemática estudia la argumentación de las ideas matemáticas. Aquí las ideas son, por ejemplo, los numerosos teoremas que poseen las matemáticas o, incluso, temas como las propiedades de los números. Por tanto, matemáticas, la lógica nos sirve para demostrar problemas, teoremas e, incluso, propiedades. En los siguientes párrafos introduciremos algunas herramientas de la lógica como:
La inducción matemática
La deducción matemática
Todas estas son importantes, ya que te permitirán demostrar fórmulas o resolver problemas matemáticos.
Las demostraciones matemáticas
Una demostración matemática es un argumento que sigue una serie de pasos lógicos para probar un argumento. Su función es, pues, probar un argumento matemático usando lógica.
Los teoremas están basados en axiomas. Los axiomas son proposiciones en las cuales se basa el argumento que se desea demostrar.
Esencialmente, los axiomas son aquello que asumimos como cierto, pero no podemos probarlo. Algunos ejemplos de axiomas son:
Todos los múltiplos de 2 son pares.
Si \(a>b\) entonces \(a+c>b+c\).
Los números son infinitos.
Entonces, ¿qué se debe hacer en una demostración matemática?
Los elementos clave cuando se escribe una demostración matemática son:
Escribir cualquier información que se esté utilizando.
Asegurarse de que cada paso siga una sucesión lógica.
Asegurarse de que todos los casos posibles estén cubiertos. Por ejemplo: si la demostración se aplica a cualquier número entero, y una demostración solo funciona con los números impares, se debe demostrar que funciona también con los números pares; si se pretende que sea válida para todos los números enteros.
Finalizar la demostración con un enunciado.
Hay varios métodos para hacer demostraciones. Algunos de ellos son:
Prueba por deducción.
Prueba por inducción.
Prueba por contraejemplo.
Prueba por demostración de casos.
Inducción matemática
La inducción matemática es el proceso en el cual se procede a demostrar una propiedad de forma general. En el caso de las matemáticas, una proposición en la que algún número u objeto \(n\) tiene una propiedad \(B\).
De este modo, se dice que si el objeto o número tiene una propiedad \(P\), también lo tendrá el siguiente objeto o número; es decir, \(n+1\).
Este método nos permite hacer generalizaciones de fórmulas o teoremas, fácilmente:
Fig. 3. La inducción nos permite tener una regla en un número y poder generalizar esta regla a más números. Por ejemplo, si decimos que cualquier múltiplo de \(2\) es par, podemos usar inducción para probar esto.
Deducción matemática
La deducción matemática implica llegar a una conclusión usando el conocimiento que ya se tiene. Si la inducción te permite generalizar una propiedad, la deducción es la herramienta contraria. Esta última te permite utilizar una regla o propiedad general para llegar a un resultado específico. La deducción se usa incluso en temas básicos, como el siguiente ejemplo:
Axiomas:
- Todas las aves vuelan.
- Los animales dentro de la jaula son aves.
- Mi mascota está dentro de la jaula.
Pregunta:
¿Tu mascota vuela?
Solución
Deducción:
Tu mascota está dentro de la jaula y los animales en la jaula son aves: por lo tanto, tu mascota es un ave.
Tu mascota es un ave y todas las aves vuelan: como resultado, tu mascota vuela.
Aquí hay un pequeño error, claro está: no todas las aves vuelan, también existen los avestruces, emús, ñandúes, casuarios, pingüinos y más. Pero, lo hemos generalizado para que veas cómo funciona la deducción.
Ejercicios de lógica básica
La lógica básica no solo tiene que ver con matemáticas o axiomas, sino también con razonamiento y cómo deduces información con ella. De hecho, el primer ejemplo que viste en deducción matemática es un ejemplo que es un ejercicio de razonamiento deductivo verbal; es decir, que usa un enunciado, y no matemáticas.
La deducción es la obtención de información, a partir de otra información previa que se sabe es cierta. Justo como en la deducción matemática.
Veamos algunos ejemplos de uso de deducción, lógica y patrones. Estos podrían parecer simples, pero es importante que los desarrolles, ya que te ayudarán a identificar patrones, falacias o resultados erróneos que podrías encontrarte.
Una falacia es, simplemente, una mentira; en el sentido de que es una información falsa o errónea.
Patrones
A veces tendrás que identificar un patrón; para ello, debes relacionar qué figuras o formas tienes y cuál es la que podrías esperar después.
Se tiene el siguiente patrón:
¿Cuál es la figura en \(B\) que completa el patrón de \(A\) ?
Fig. 4. En la serie /(A/) aparecen 3 figuras, en la serie /(B/) una de las figuras es la continuación de la serie /(A/).
Solución
La respuesta correcta es la figura dos de la fila \(B\); ya que, si se tiene un cuadrado en la primera y tercera posición, es lógico que se alternen cuadrados y rombos. Esto reduce las posibilidades a la primera y segunda figura en la fila \(B\).
Después, podemos observar que el tercer cuadrado tiene una diagonal; pero, en lugar de ir de abajo hacia arriba, va de arriba hacia abajo.
La primera figura en \(B\) tiene dos líneas —lo cual es raro—. Pero, la segunda figura en B tiene exactamente una sola línea; aunque, en lugar de ir de izquierda a derecha, va de arriba hacia abajo.
La segunda es la correcta, porque tiene una sola línea y esta línea tiene un patrón que es el contrario del primer rombo en la segunda posición; justo como las líneas en el primer y tercer cuadrado tienen un patrón contrario.
Logica verbal deductiva
La lógica verbal deductiva tiene que ver con el análisis de un enunciado para poder obtener información útil de este.
Si Elena tiene \(20\) años más que Arturo y cuando Arturo recién cumplió \(18\) años Roberto tenía \(2\) años menos que Elena, ¿cuál es la edad de Arturo, si han pasado dos años desde que Arturo tenía \(18\) años?
Solución
El enunciado parecería ser enredado; pero, no lo es. Veamos:
Elena tiene \(20\) años más que Arturo. Esto es cierto siempre. Así que, cuando Arturo tenía \(18\),
\[Elena-18=20\]
\[elena=38\]
Ya que Elena tiene \(38\) ,y se sabe que Roberto tiene \(2\) años menos que Elena,
\[Elena-Roberto=2\]
\[Roberto=36\]
Roberto tenía /(36/) cuando Arturo cumplió /(18/), pero han pasado dos años desde eso. Así que:
\[Roberto +2=38\]
Roberto tiene \(38\) años actualmente.
Esta clase de ejemplos puede parecer complicado, por la manera en que se representa la información. Sin embargo, una recomendación es siempre tomar una hoja de papel y encontrar las relaciones entre los datos dados. En el ejemplo anterior, puedes relacionar las edad del siguiente modo:
\[Elena-Arturo=18\]
\(Elena-Roberto=2\), si \(Arturo=18\).
\[Elena=38+2\]
Listas y patrones
Muchas veces tendrás que identificar algún resultado que no tiene sentido, algo que rompe el patrón esperado. Esto puede deberse a un error o a que hay un efecto inesperado en tus datos. Para poder resolver lo que necesitas, siempre es bueno identificar patrones sencillos y su progresión, donde la progresión es la forma en la que crecen. Por ejemplo:
En la siguiente lista, ¿cuál es el número que hace falta?
\[a=3,5,7,9,…,13\]
Solución
El número que hace falta es el \(11\). Esta lista son los números impares que se generan con la siguiente formula:
\[m=2n+1\]
donde, \(n\) es un número natural del \(1\) a \(\infty\).
Lógica básica - Puntos clave
- La lógica es el estudio de las ideas y de cómo estas ideas son correctas o no.
- Así como la lógica estudia la argumentación de ideas, la lógica matemática estudia la argumentación de las ideas matemáticas. Aquí las ideas son, por ejemplo, los numerosos teoremas que poseen las matemáticas o, incluso, las propiedades de los números.
- Una demostración matemática es un argumento que sigue una serie de pasos lógicos para probar un argumento. Su función es, pues, probar un argumento matemático usando lógica.
- Algunas herramientas de la lógica matemática son: la inducción matemática y la deducción matemática.
- La inducción matemática es el proceso en el cual se procede a demostrar una propiedad desde un caso particular a uno general.
- La deducción matemática es el proceso inverso de la inducción; en este caso, se parte de leyes generales conocidas para encontrar un caso particular.
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Preguntas frecuentes sobre Lógica básica
¿Qué es la inducción matemática?
La inducción matemática es el proceso mediante el cual se procede a demostrar una propiedad, partiendo de una idea general a una particular.
¿Qué estudia la lógica matemática?
Así como la lógica estudia la argumentación de ideas, la lógica matemática estudia la argumentación de las ideas matemática. En este caso, las ideas son, por ejemplo, los numerosos teoremas que poseen las matemáticas o, incluso, cosas como las propiedades de los números.
¿Qué es la lógica básica?
La lógica es el estudio de las ideas y de cómo estas ideas son correctas o no.
¿Qué es la deducción matemática?
La deducción matemática implica llegar a una conclusión usando el conocimiento que ya se tiene. En el sentido básico, es el opuesto de la inducción.
¿Cuáles son los 3 métodos de demostración matemática?
Hay muchos métodos de demostración matemática, entre ellos encontramos:
- Demostración por deducción
- Demostración por inducción
- Demostración por casos
- Etc.
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